2025年線性代數(shù)與圖像處理應用試題一、單項選擇題（每題5分，共30分）圖像矩陣表示：一幅分辨率為1920×1080的24位RGB彩色圖像，在計算機中對應的矩陣維度為（）A.1920×1080×3B.1080×1920×3C.1920×1080×24D.3×1920×1080矩陣運算與圖像翻轉：對灰度圖像矩陣(A)進行水平翻轉，等價于以下哪種矩陣操作？（）A.轉置運算(A^T)B.與置換矩陣(P)相乘（(P)為單位矩陣列互換）C.求逆運算(A^{-1})D.數(shù)乘運算(kA)（(k=-1)）特征值與圖像清晰度：圖像矩陣的特征值中，較大的特征值對應圖像的（）A.細節(jié)信息B.噪聲成分C.整體輪廓D.色彩分布奇異值分解（SVD）壓縮：對512×512的灰度圖像矩陣進行SVD分解后，保留前20個奇異值重構圖像，與原圖相比（）A.分辨率提升B.存儲容量減少C.色彩飽和度增加D.對比度增強卷積與圖像濾波：使用3×3均值濾波器對圖像去噪，本質是對圖像矩陣進行（）A.特征值分解B.矩陣乘法（與濾波核卷積）C.秩1分解D.正交變換線性方程組與圖像修復：已知某圖像中3個相鄰像素滿足方程(2x_1+x_2-x_3=255)，(x_1-3x_2+2x_3=0)，(4x_1+2x_2+x_3=128)，則該方程組的解為（）A.唯一解B.無窮多解C.無解D.僅零解二、填空題（每空4分，共40分）圖像矩陣基礎：灰度圖像中，像素值范圍為0~255，其中0代表______色，255代表______色；若將圖像矩陣所有元素取反（(255-A_{ij})），等價于線性變換中的______運算。矩陣秩與圖像信息量：秩為1的圖像矩陣對應的圖像呈現(xiàn)______特征；若圖像矩陣的秩從512降至10，圖像會出現(xiàn)______現(xiàn)象。正交變換與壓縮：JPEG壓縮中，對圖像分塊進行DCT變換（離散余弦變換），其本質是將圖像塊矩陣投影到______基向量空間，變換后的系數(shù)矩陣呈現(xiàn)______分布（填“稀疏”或“密集”）。線性相關性與噪聲檢測：若圖像中某區(qū)域像素對應的列向量組線性相關，則該區(qū)域可能存在______；若線性無關，則該區(qū)域大概率為______（填“平滑區(qū)域”或“邊緣區(qū)域”）。PCA降維與彩色圖像：對RGB彩色圖像的三維矩陣（(R,G,B)通道）進行主成分分析（PCA），第一步需將矩陣重塑為______維數(shù)據(jù)矩陣，再計算其______矩陣的特征向量。三、計算題（共60分）1.矩陣運算與圖像旋轉（20分）已知某灰度圖像的局部區(qū)域可表示為2×2矩陣：[A=\begin{bmatrix}100&150\200&250\end{bmatrix}]（1）計算矩陣(A)的轉置(A^T)，并說明其對應圖像的幾何變換效果；（2）若對圖像進行45°旋轉，需使用旋轉矩陣(R=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix})，求旋轉后圖像矩陣(B=RA)（結果保留整數(shù)）。2.特征值分解與圖像重構（20分）給定圖像矩陣(A=\begin{bmatrix}5&3\3&5\end{bmatrix})，（1）求(A)的特征值(\lambda_1,\lambda_2)及對應的特征向量(\alpha_1,\alpha_2)；（2）若僅保留最大特征值對應的特征向量重構圖像，寫出重構矩陣(A')的表達式，并計算重構誤差(|A-A'|_F)（Frobenius范數(shù)）。3.SVD壓縮與存儲優(yōu)化（20分）對128×128的灰度圖像矩陣(M)進行SVD分解，得到奇異值矩陣(\Sigma=\text{diag}(1000,800,500,200,100,\dots,0))。（1）計算保留前3個奇異值時的壓縮比（存儲量=原矩陣元素數(shù)/重構所需元素數(shù)）；（2）若要求重構圖像誤差小于原圖像能量的5%，至少需保留多少個奇異值？（提示：圖像能量近似為奇異值平方和）四、綜合應用題（共70分）1.圖像去噪中的線性方程組（30分）某5×5灰度圖像中心區(qū)域受噪聲干擾，已知噪聲滿足以下條件：噪聲像素(x_{22},x_{23},x_{32},x_{33})（中心4像素）與相鄰正常像素的關系為：(x_{22}+x_{23}+x_{32}+x_{33}=512)(2x_{22}-x_{23}+x_{32}-2x_{33}=0)(-x_{22}+2x_{23}-2x_{32}+x_{33}=0)(x_{22}-x_{23}-x_{32}+x_{33}=64)（1）寫出該方程組的矩陣形式(Ax=b)；（2）通過初等行變換求(A)的秩(R(A))及增廣矩陣([A|b])的秩，判斷方程組解的情況；（3）若有解，求出噪聲像素的真實值（假設像素值為0~255的整數(shù)）。2.PCA降維與人臉識別（40分）某人臉識別系統(tǒng)需對100張256×256的人臉圖像（灰度圖）進行降維處理：（1）將單張人臉圖像矩陣轉換為列向量，寫出向量維度；（2）若100張人臉圖像構成數(shù)據(jù)矩陣(X\in\mathbb{R}^{65536\times100})，計算其協(xié)方差矩陣(C)的表達式（(C\in\mathbb{R}^{65536\times65536})）；（3）對(C)進行特征值分解后，取前50個最大特征值對應的特征向量作為主成分，求降維后的數(shù)據(jù)維度；（4）說明降維后數(shù)據(jù)在存儲和計算效率上的優(yōu)勢。五、證明題（20分）正交變換與圖像能量守恒：設(A)為圖像矩陣，(P)為正交矩陣（(P^T=P^{-1})），證明：正交變換后的圖像矩陣(B=PA)與原矩陣(A)的Frobenius范數(shù)相等，即(|A|_F=|B|_F)。（提示：(|A|_F^2=\text{tr}(A^TA))，其中(\text{tr})為矩陣的跡）六、編程實踐題（共80分）1.基礎圖像操作（MATLAB實現(xiàn)，40分）給定灰度圖像矩陣(I\in\mathbb{R}^{256\times256})（像素值0~255），完成以下任務：（1）編寫代碼實現(xiàn)圖像的垂直翻轉（提示：使用矩陣索引(I(end:-1:1,:))）；（2）計算翻轉后圖像矩陣的秩，并與原圖秩比較，分析差異原因；（3）對原圖添加均值為0、方差為25的高斯噪聲，生成噪聲圖像(I_{\text{noise}})，使用3×3高斯濾波器（(\sigma=1)）去噪，寫出濾波核矩陣并計算去噪前后圖像的均方誤差（MSE）。2.SVD圖像壓縮（Python實現(xiàn)，40分）使用Python的NumPy庫對圖像進行SVD壓縮：（1）讀取一張256×256的灰度圖像，轉換為矩陣(A)；（2）調用numpy.linalg.svd函數(shù)進行分解，得到(U,\Sigma,V^T)；（3）分別保留前10、50、100個奇異值重構圖像，顯示結果并計算壓縮比；（4）繪制奇異值衰減曲線（橫軸為奇異值序號，縱軸為奇異值大?。?，解釋曲線下降速度與圖像冗余度的關系。參考答案及評分標準（部分）一、單項選擇題A2.B3.C4.B5.B6.A二、填空題黑，白，數(shù)乘（(k=-1)）+平移（(+255)）純色或梯度漸變，模糊（細節(jié)丟失）正交，稀疏噪聲，邊緣區(qū)域(n\times3)（(n)為像素總數(shù)），協(xié)方差三、計算題（示例）（1）(A^T=\begin{bmatrix}100&200\150&250\end{bmatrix})，對應圖像垂直翻轉；（2）(\theta=45^\circ)時，(R=\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{bmatrix}1&-1\1&1\end{bmatrix})，(B\approx\begin{bmatrix}-35&71\212&283\end{bmatrix})（四舍五入取整）。四、綜合應用題（示例）（1）單張人臉圖像向量維度為(256\times256=65536)；（2）協(xié)方差矩陣(C=\frac{1}{100-1}(X-\bar{X})(X-\bar{X})^T)，其中(\bar{X})為平均臉向量；（3）降維后數(shù)據(jù)維度為(50\times100)。（注：完整試題答案及編程題代碼解析可參考《線性代數(shù)