專題6.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"13"\h\u【題型1等差數(shù)列的基本量計(jì)算】 3【題型2等差數(shù)列的判定與證明】 5【題型3等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】 7【題型4等差數(shù)列的通項(xiàng)公式】 8【題型5等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】 11【題型6等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值】 12【題型7等差數(shù)列的簡單應(yīng)用】 14【題型8等差數(shù)列的奇偶項(xiàng)討論問題】 16【題型9含絕對(duì)值的等差數(shù)列問題】 20【題型10等差數(shù)列中的恒成立問題】 22【題型11與等差數(shù)列有關(guān)的新定義、新情景問題】 251、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義(2)探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系(3)能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題(4)體會(huì)等差數(shù)列與一元函數(shù)的關(guān)系2023年新高考I卷：第7題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第18題，12分2024年新高考I卷：第19題，17分2024年新高考Ⅱ卷：第12題，5分2025年全國一卷：第16題，15分2025年全國二卷：第7題，5分2025年北京卷：第5題，4分2025年天津卷：第19題，15分2025年上海卷：第3題，4分等差數(shù)列是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的常考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，等差數(shù)列的基本量計(jì)算和基本性質(zhì)、等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)、判定是高考考查的熱點(diǎn)，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；等差數(shù)列的證明、求和及綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)，一般出現(xiàn)在解答題中，難度中等.近年高考?jí)狠S題中也會(huì)出現(xiàn)數(shù)列的新定義、新情景題，難度較大，需要靈活求解.知識(shí)點(diǎn)1等差數(shù)列的概念1．等差數(shù)列的概念一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，常用字母d表示.2．等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列，這時(shí)A叫做a與b的等差中項(xiàng)，則有2A=a+b.反之，若2A=a+b，則a,A,b三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.3．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n1)d，其中a1為首項(xiàng)，d為公差.4．等差數(shù)列的單調(diào)性由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和一次函數(shù)的關(guān)系可知等差數(shù)列的單調(diào)性受公差d影響.①當(dāng)d>0時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，如圖①所示；②當(dāng)d<0時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列，如圖②所示；③當(dāng)d=0時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，如圖③所示.因此，無論公差為何值，等差數(shù)列都不會(huì)是擺動(dòng)數(shù)列. 5．等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè){an}為等差數(shù)列，公差為d，則(1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，則am+an=ap+aq.(2)數(shù)列{λan+b}(λ,b是常數(shù))是公差為λd的等差數(shù)列.(5)在等差數(shù)列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，則有am+n=0.知識(shí)點(diǎn)2等差數(shù)列的基本運(yùn)算的解題策略1．等差數(shù)列的基本運(yùn)算的兩大求解思路：(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題.(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.知識(shí)點(diǎn)3等差數(shù)列的判定的方法與結(jié)論1．證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法：(1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證anan1為同一常數(shù).即作差法，將關(guān)于an1的an代入anan1，在化簡得到定值.(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an1=an+an2（n≥3，n∈N*）都成立.2．判定一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列還常用到的結(jié)論：問題的最終判定還是利用定義.知識(shí)點(diǎn)4等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用1．項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，則am+an=ap+aq.2．和的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和，則(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)；(2)S2n1=(2n1)an；(3)依次k項(xiàng)和成等差數(shù)列，即Sk,S2kSk,S3kS2k,…成等差數(shù)列.3．求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的常用方法：(1)鄰項(xiàng)變號(hào)法：利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，或者利用性質(zhì)求其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；(2)二次函數(shù)法：利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn（A,B為常數(shù)，A≠0）為二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.【方法技巧與總結(jié)】1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=pn+q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.2．在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值.3．等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d>0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d=0時(shí)，{an}是常數(shù)列.【題型1等差數(shù)列的基本量計(jì)算】【例1】（2025·山西呂梁·三模）已知等差數(shù)列an的公差d>0,a1=1,a22A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，將a2、a3用a1和d【解答過程】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=a已知a1=1，所以a2將a2=1+d，a3=1+2d代入則1+2d+d2?1?2d=9，化簡可得：d2=9因?yàn)橐阎頳>0，所以舍去d=?3，得到故選：B.【變式11】（2025·全國二卷·高考真題）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S3=6,SA．?20 B．?15 C．?10 D．?5【答案】B【解題思路】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合題意列出關(guān)于首項(xiàng)a1和公差d的方程求出首項(xiàng)a1和公差d，再由等差數(shù)列前【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由題可得3所以S6故選：B.【變式12】（2025·山東·一模）已知數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，若a1a2=a3A．?1 B．?12 C．1【答案】A【解題思路】設(shè)等差數(shù)列an是公差為d【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an是公差為d由a1a2=a因?yàn)閐≠0，所以得3a由a5=2，得解得：a1故選：A.【變式13】（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S5=2SA．14 B．12 C．2【答案】C【解題思路】由等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式有5a3=6a2【解答過程】由S5=2S3，則所以5(a2+d)=6由a1+a故選：C.【題型2等差數(shù)列的判定與證明】【例2】（2025·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an，則“an?2+an+2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列定義以及等差中項(xiàng)性質(zhì)對(duì)充分性和必要性分別進(jìn)行判斷即可得結(jié)論.【解答過程】判斷充分性：因?yàn)閍n?2+a令n=2kk∈N*，則a令n=2k?1k∈N*，則a但數(shù)列an所以“an?2+a再判斷必要性：若數(shù)列an是等差數(shù)列，則2所以2an=an?2綜上，“an?2+a故選：B.【變式21】（2425高二下·廣東茂名·階段練習(xí)）已知數(shù)列an和數(shù)列bn滿足an=bA．a(chǎn)n+1an B．a(chǎn)n【答案】D【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的定義逐一判斷即可.【解答過程】依題意，對(duì)an?1an=?2bn消去所以bn2是等差數(shù)列，故D正確，C錯(cuò)誤；若an?1與bn2是公差為1的等差數(shù)列矛盾，故B錯(cuò)誤；因?yàn)楣蔬x：D．【變式22】（2025·河北·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足a1=(1)求證：1a(2)若bn=anan+1(n∈【答案】(1)證明見解析；(2)Tn【解題思路】（1）變形給定等式，利用等差數(shù)列定義推理得證.（2）由（1）求出an【解答過程】（1）數(shù)列an中，a1=12，a所以數(shù)列1an是以（2）由（1）知，1an=2+(n?1)?2=2n，則a所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和T【變式23】（2025·江西新余·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，an+1(1)證明：數(shù)列1S(2)求an(3)求1a【答案】(1)證明見解析；(2)an(3)3.【解題思路】（1）利用an,Sn的關(guān)系，將（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，求出1S（3）根據(jù)通項(xiàng)公式即可得解.【解答過程】（1）因?yàn)閍n+1=Sn+1?又1S1=（2）由（1）知1S當(dāng)n≥2時(shí)，an而n=1時(shí)，a1所以an（3）由（2）知，當(dāng)n≥2時(shí)，1a又1a1=3>0，所以1【題型3等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】【例3】（2025·遼寧·二模）已知等差數(shù)列an滿足a2+a4+aA．1 B．32 C．4 【答案】C【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)有a2【解答過程】因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，且a2+所以3a4=3，3a5=9，解得故選：C．【變式31】（2025·重慶·二模）已知等差數(shù)列an的前4項(xiàng)為a，3b，2，5b，則a9=A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解題思路】根據(jù)等差中項(xiàng)可得b=1【解答過程】由題意可知3b，2，5b成等差，故3b+5b=4，解得b=1故公差d=2?3b=1故a9故選：A.【變式32】（2025·廣東·模擬預(yù)測）在等差數(shù)列an中，若a5+a7A．18 B．15 C．12 D．9【答案】D【解題思路】由等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)求出a7=9，再化簡【解答過程】在等差數(shù)列an中，a則2a故選：D.【變式33】（2025·山東日照·一模）已知等差數(shù)列an中，a2+a4A．15 B．9 C．36 D．【答案】B【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，利用已知條件求出a3【解答過程】在等差數(shù)列{an}中，已知a2+a4同樣根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，所以a1則a1把a(bǔ)3=3代入可得故選：B.【題型4等差數(shù)列的通項(xiàng)公式】【例4】（2025·北京通州·一模）已知等差數(shù)列an滿足：a5?2a3=1，且A．2026 B．2025 C．2024 D．2023【答案】D【解題思路】根據(jù)題意求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而可求出通項(xiàng)，即可得解.【解答過程】設(shè)公差為d，由a5?2a得a1+4d?2a所以an所以a2025故選：D.【變式41】（2025·遼寧·二模）已知數(shù)列an滿足a1=3，an+1=A．a(chǎn)n=2n+1 B．a(chǎn)n=2n C．【答案】C【解題思路】由已知等式變形得出an+1+1=an+1【解答過程】因?yàn)閍1=3，an+1=an+4以此類推可知，對(duì)任意的n∈N?，且an+1所以，an+1+1=所以，an+1+1?所以，數(shù)列an+1是以2為首項(xiàng)，以故an+1=2+2故選：C.【變式42】（2425高二下·四川廣安·期中）等差數(shù)列an中，a7=4，a(1)求an(2)設(shè)bn=1n+3an，求數(shù)列【答案】(1)an=(2)S【解題思路】（1）由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)列出方程組求解即可；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法求和即可．【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d∵a7=4，a解得，a1=1，∴an=1+（2）∵b∴=1【變式43】（2425高二下·安徽蕪湖·期末）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a2=4(1)求an(2)設(shè)數(shù)列1anan+1的前n項(xiàng)和為【答案】(1)a(2)證明見解析【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合已知條件求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到數(shù)列an（2）先對(duì)1anan+1進(jìn)行裂項(xiàng)，然后利用裂項(xiàng)相消法求出【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，首項(xiàng)為根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1+a用第二個(gè)方程a1+3d=10減去第一個(gè)方程a1a解得d=3將d=3代入a1+d=4，可得a所以an的通項(xiàng)公式為（2）由（1）可知an=3n?2所以1對(duì)其進(jìn)行裂項(xiàng)相消變形，利用分式拆分技巧1A1則TnT括號(hào)內(nèi)中間項(xiàng)可相互抵消，可得：T因?yàn)?3n+1>0，所以1?13n+1<1【題型5等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】【例5】（2025·四川樂山·一模）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，若S3=9，S6A．18 B．27 C．45 D．63【答案】C【解題思路】根據(jù)S3【解答過程】由題意得S3即9,36?9,a即2×36?9=9+a故選：C.【變式51】（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm=?3,SA．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【解題思路】方法一：先利用an方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)即Sn【解答過程】方法一：由題意得：am+1=S則等差數(shù)列的公差d=a則a1=3?m，所以m=6.方法二：因?yàn)榈炔顢?shù)列的性質(zhì)即Sn則Smm+Sm+2故選：C.【變式52】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若A．289 B．149 C．28 【答案】D【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)來計(jì)算求得正確答案.【解答過程】依題意，an和b而SnTn其中k≠0，所以S5T4a2故選：D.【變式53】（2024·河南周口·模擬預(yù)測）設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S3=4,SA．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【解題思路】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列片段和的性質(zhì)求解即得.【解答過程】由等差數(shù)列的片段和性質(zhì)知，S3由S3所以a16故選：B.【題型6等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值】【例6】（2025·廣西南寧·三模）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a5=2，a3A．?14 B．?494 C．?12 【答案】C【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)求得an【解答過程】假設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a3+所以3d=12?3a5=12?6=6，所以d=2則S則Sn故選：C．【變式61】（2025·河北衡水·模擬預(yù)測）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a5=1，S11A．16 B．18 C．23 D．25【答案】D【解題思路】設(shè)出公差，根據(jù)通項(xiàng)公式和求和公式得到方程組，求出首項(xiàng)和公差，得到通項(xiàng)公式，當(dāng)n≥6時(shí)，an<0，當(dāng)1≤n≤5時(shí)，an>0，從而確定當(dāng)【解答過程】設(shè)公差為d，則a1+4d=1，解得a1=9,d=?2，所以當(dāng)n≥6時(shí)，an<0，當(dāng)1≤n≤5時(shí)，所以當(dāng)n=5時(shí)，Sn取得最大值，最大值為S故選：D.【變式62】（2025·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1<0，S9=SA．12 B．13 C．14 D．25【答案】C【解題思路】利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡S9=S19，得到5(a14+【解答過程】由S9=S19可得因a1<0，則等差數(shù)列an的公差d>0故a14<0,a15>0故選：C.【變式63】（2025·浙江·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和是Sn，前n項(xiàng)積是Tn，若S6=3A．Sn無最大值，Tn無最小值 B．SnC．Sn無最大值，Tn有最小值 D．Sn【答案】D【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求基本量，進(jìn)而確定an=4?n且Sn=?1【解答過程】令數(shù)列公差為d，則S3=3(a1所以d=?1，則a1=3，故當(dāng)an>0得1≤n<4，當(dāng)an=0得n=4，當(dāng)顯然，當(dāng)1≤n<4時(shí)Tn>0，n≥4時(shí)Tn且Sn=n(7?n)2=?故選：D.【題型7等差數(shù)列的簡單應(yīng)用】【例7】（2025·山東青島·三模）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有“分錢問題”：現(xiàn)有5個(gè)人分5錢，5人分得錢數(shù)依次成等差數(shù)列，前兩人分得錢數(shù)之和等于后三人分得錢數(shù)之和，則分得錢數(shù)最少的一人錢數(shù)為（

）A．13 B．12 C．23【答案】C【解題思路】設(shè)第n1≤n≤5,n∈N?所得錢數(shù)為an錢，設(shè)數(shù)列a1、a2、a3、a4、a5【解答過程】設(shè)第n1≤n≤5,n∈N?所得錢數(shù)為an錢，則數(shù)列a1、a2、設(shè)數(shù)列a1、a2、a3、a4、則5a1+5×42故選：C.【變式71】（2025·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，這十二個(gè)節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若小寒、雨水、清明日影長之和為36尺，前八個(gè)節(jié)氣日影長之和為92尺，則谷雨日影長為（）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】B【解題思路】令所給等差數(shù)列為{a【解答過程】令所給等差數(shù)列為{an},n∈N?則a2+a5+解得a4則數(shù)列{an}的公差d=故選：B.【變式72】（2025·陜西漢中·模擬預(yù)測）鬼工球，又稱同心球，要求制作者使用一整塊完整的材料，將其雕成每層均同球心的數(shù)層可自由轉(zhuǎn)動(dòng)的空心球，空心球的球面厚度不計(jì).為保證鬼工球的每一層均可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)，要求其從最內(nèi)層起，每層與其外一層球面的間距構(gòu)成首項(xiàng)為1mm?公差為4mm的等差數(shù)列，若一個(gè)鬼工球最外層與最內(nèi)層的半徑之差為190mmA．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解題思路】根據(jù)已知條件確定該等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差，再利用前n項(xiàng)和公式建立方程，進(jìn)而求解鬼工球的層數(shù)n.【解答過程】已知每層與其外一層球面的間距構(gòu)成首項(xiàng)a1=1mm、公差d=4由于最外層與最內(nèi)層的半徑之差就是這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，即Sn根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn將a1=1，d=4，Sn=190得到n1=10，n2該鬼工球的層數(shù)為11.故選：C.【變式73】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）元代數(shù)學(xué)家朱世杰編著的《算法啟蒙》中記載了有關(guān)數(shù)列的計(jì)算問題：“今有竹七節(jié)，下兩節(jié)容米四升，上兩節(jié)容米二升，各節(jié)欲均容，問逐節(jié)各容幾升？”其大意為：現(xiàn)有一根七節(jié)的竹子，最下面兩節(jié)可裝米四升，最上面兩節(jié)可裝米二升，如果竹子裝米量逐節(jié)等量減少，問竹子各節(jié)各裝米多少升？以此計(jì)算，這根竹子的裝米量為（

）A．9升 B．10.5升 C．12升 D．13.5升【答案】B【解題思路】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算即得.【解答過程】依題意，竹子自下而上的各節(jié)裝米量構(gòu)成等差數(shù)列{a則a1+a所以這根竹子的裝米量為S7故選：B.【題型8等差數(shù)列的奇偶項(xiàng)討論問題】【例8】（2025·山東威?！ひ荒＃┮阎獢?shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為an的前n(1)求數(shù)列an(2)記cn=?1nana【答案】(1)an(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn=n2+2n【解題思路】（1）根據(jù)Sn,a(2)數(shù)列{cn}的前n又a2，a4，…，【解答過程】（1）由2Sn=a兩式相減得2an=因?yàn)閍n>0，所以an?a在2Sn=a所以an（2）當(dāng)n=2k時(shí)T+a2k?3a又a2，a4，所以a2故T2k=2k當(dāng)n=2k+1時(shí)，T+a2k?3a又a2，a4，...，a所以2a故T2k+1=?2k+1當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn=n2+2n2【變式81】（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知an>0,4(1)求數(shù)列an(2)記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，若對(duì)于任意n∈N【答案】(1)a(2)?【解題思路】（1）由an與S（2）分n為奇數(shù)與偶數(shù)討論，由等差數(shù)列的求和公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【解答過程】（1）令n=1，可得4S1=a1an所以2a所以an+an?1a數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為a（2）由（1）得an+1?a所以bn當(dāng)n為偶時(shí)，TnTTn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn所以Tn因?yàn)閷?duì)于任意n∈N當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)λ≤n2當(dāng)n=3時(shí)，n2?7n取最小值，最小值為所以λ≤?12，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)λ≤n2當(dāng)n=4時(shí)，n2?9n取最小值，最小值為所以λ≤?20，綜上可得λ的取值范圍?∞【變式82】（2024·湖北·模擬預(yù)測）數(shù)列an中，a1=1，a(1)求數(shù)列an(2)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足bn2=【答案】(1)an(2)當(dāng)b1=1時(shí)，Sn=【解題思路】（1）依題意可得an+2?an+1=（2）由（1）可得bn=±2n?1，由bnbn+1<0【解答過程】（1）因?yàn)閍n+2+a所以數(shù)列an+1?an是公差為于是an+1則an?an?1=8a3?a所以an所以an=4n2?4n+1（2）由（1）問知，an=2n?1又bnbn+1<0，則bn+1因此bn與b因?yàn)閎1b2<0，所以當(dāng)b1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn當(dāng)b1=?1時(shí)，b2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn綜上，當(dāng)b1=1時(shí)，Sn=?1【變式83】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)積為T(1)求證：數(shù)列Tn是等差數(shù)列，并求數(shù)列a(2)令bn=?1n?1an+1【答案】(1)an(2)S【解題思路】（1）由前n項(xiàng)積定義可得an=TnT（2）利用裂項(xiàng)相消法求和，對(duì)n的奇偶進(jìn)行分類討論即可得Sn【解答過程】（1）由題意得當(dāng)n=1時(shí)，T1因?yàn)閍n≠0，所以Tn當(dāng)n≥2時(shí)，an=TnT所以數(shù)列Tn可得Tn所以an（2）由題意知bn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn所以Sn【題型9含絕對(duì)值的等差數(shù)列問題】【例9】（2025·貴州貴陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，且a4=3a7A．80 B．208 C．680 D．780【答案】B【解題思路】根據(jù)題意求出等差數(shù)列an的首項(xiàng)，可得到通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和，再根據(jù)通項(xiàng)公式判斷出前20項(xiàng)中，前8項(xiàng)為負(fù)數(shù)，后12項(xiàng)為正數(shù)，故所求數(shù)列的前20項(xiàng)之和為S【解答過程】因?yàn)閍4=3a7?所以an=?17+2n，前n項(xiàng)和所以數(shù)列an所以a=20故選：B．【變式91】（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知等差數(shù)列an中，a1=9，a4=3，設(shè)TA．245 B．263 C．281 D．290【答案】C【解題思路】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列an的公差及通項(xiàng)公式，判斷正數(shù)、負(fù)數(shù)項(xiàng)，再求出T【解答過程】等差數(shù)列an中，由a1=9，a則an=a1+(n?1)d=?2n+11，顯然當(dāng)n≤5時(shí)，a所以T=2(a故選：C.【變式92】（2025·福建漳州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，a(1)求數(shù)列an(2)若bn+an=19，求數(shù)列b【答案】(1)a(2)S【解題思路】（1）結(jié)合已知條件，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得公差即可求解；（2）結(jié)合（1）得到bn=20?2n，再分n≤10和【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d因?yàn)閍3+a又因?yàn)閍5=9，則所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式a（2）由（1）知，bn當(dāng)n≤10時(shí)，bnSn當(dāng)n≥11時(shí)，bnSn=S綜上，Sn【變式93】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a6(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和T【答案】(1)a(2)T【解題思路】（1）根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公差的方程，即可求解；（2）根據(jù)數(shù)列正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)的分界，討論Tn與S【解答過程】（1）設(shè)數(shù)列an的公差為d∵S12=6，∴a6+a7=1，∵a6∴an（2）由已知Snn≤5時(shí)，Tnn≥6時(shí)，Tn綜上Tn【題型10等差數(shù)列中的恒成立問題】【例10】（2024·湖北·二模）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=n2+m，n∈N*A．?2 B．0 C．1 D．2【答案】A【解題思路】由Sn與an的關(guān)系且an為等差數(shù)列，求出an，由ann<2，得x2?(1+a)x?2【解答過程】因?yàn)镾n=n2+mn≥2時(shí)，an所以a1=1+m，a2因?yàn)閍n為等差數(shù)列，所以a1=1從而an=2n?1，所以x2?(1+a)x?2a則當(dāng)0≤a≤1時(shí)，g(a)=2ag(0)=?x2+x≤0g(1)=2+1+x?x只有選項(xiàng)A符合題意，故選：A.【變式101】（2024·陜西西安·二模）已知數(shù)列an滿足a1=3，an+1?an=2，bn=?1n+11A．110,+∞ B．15,+∞【答案】D【解題思路】先求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得bn=?1n+112n+1【解答過程】因?yàn)閿?shù)列an滿足a1=3所以數(shù)列an是以a所以an所以bn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，T=1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，T=1因?yàn)椴坏仁絋n<4所以815所以25<λ3?5λ所以解得15<λ<25，所以故選：D.【變式102】（2024·貴州六盤水·三模）已知an為等差數(shù)列，且a5＝(1)求an(2)若2n?λ≥a【答案】(1)a(2)[【解題思路】（1）根據(jù)題意建立方程求出等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，從而可求解；（2）先求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，再將恒成立問題參變分離，接著利用數(shù)列的單調(diào)性求出最值，從而得解．【解答過程】（1）設(shè)數(shù)列an的公差為d，則根據(jù)題意可得a解得a1=4d=2（2）由（1）可知運(yùn)用等差數(shù)列求和公式，得到Sn又2n?λ≥a設(shè)fn=n當(dāng)n＝1時(shí)，f2當(dāng)n≥2時(shí)，?n2?n+4≤?2，則f(n+1)?f則fnmax=f(2)故實(shí)數(shù)λ的取值范圍為[5【變式103】（2024·全國·模擬預(yù)測）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，2S(1)證明：1S(2)對(duì)于任意n∈N*，不等式2n【答案】(1)證明見解析(2)?【解題思路】（1）根據(jù)an=S（2）根據(jù)Sn可得an的表達(dá)式，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為λ<2【解答過程】（1）當(dāng)n≥2,n∈N*時(shí)，an化簡得Sn?1?S所以1Sn?所以1S（2）由（1）得1Sn=1+故a則an+1由2nan+1+λ令cn則cn+1?c又c1=43，故λ<4【題型11與等差數(shù)列有關(guān)的新定義、新情景問題】【例11】（2025·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中討論過高階等差數(shù)列，高階等差數(shù)列是指逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等的數(shù)列，例如數(shù)列1，3，6，10，15，…的逐項(xiàng)差，a2?a1=2，a3?A．38 B．51 C．66 D．83【答案】B【解題思路】由高階等差數(shù)列的定義，通過列舉即可求解.【解答過程】由3?2=1，6?3=3，11?6=5，18?11=7，可知：a6?18=9a7?a8?a即第8項(xiàng)是51，故選：B.【變式111】（2025·上海楊浦·模擬預(yù)測）已知an是一個(gè)公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn.若存在正整數(shù)p,q(其中p<q)使得Sp+Sq=0，則稱an具有性質(zhì)Γ，稱有序數(shù)對(duì)p,q是an的一組“Γ數(shù)對(duì)”，記由an的全體“Γ數(shù)對(duì)”所組成的集合為Ωan.關(guān)于命題①“若an具有性質(zhì)Γ且1,4∈Ωan，則ΩanA．①是真命題，②是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題 D．①是假命題，②是假命題【答案】A【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，依據(jù)題目所給定義，判斷命題真假.【解答過程】解析：Sn∵1,4∈Ωan，帶入S∴S當(dāng)Sp+S化簡得p2+若p=1，則q2?175q?125若p=2，則q2?175q?145若p=3，則q2?175q?65若p≥4，則q≥5，p,q∈因?yàn)閜2?17所以p2+q設(shè)Sn=n故選：A.【變式112】（2025·廣西·模擬預(yù)測）我們把公差不為0的等差數(shù)列ann∈N*稱為“一階等差數(shù)列”，若數(shù)列(1)若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=(2)若數(shù)列an為“二階等差數(shù)列”，且a1=1【答案】(1)是，理由見解析(2)a【解題思路】（1）結(jié)合已知定義及等差數(shù)列的定義即可判斷；（2）由已知定義及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式即可求解.【解答過程】（1）因an=n故an+1∴an+1?（2）由題意an+1又an+1?a則a=3又a1=1滿足上式，故則“二階等差數(shù)列”an的通項(xiàng)公式為a【變式113】（2025·山東臨沂·三模）定義：若數(shù)列an滿足an?n(1)若an=1?3n，bn=2(2)若等差數(shù)列cn為“數(shù)項(xiàng)增數(shù)列”，且c1=2，求c(3)若數(shù)列dn為共4項(xiàng)的“數(shù)項(xiàng)增數(shù)列”，滿足di∈【答案】(1)an是，b(2)(?∞(3)31.【解題思路】（1）由|an?n|=4n?1（2）利用定義列式，取特值求出d范圍，再就一般情況分類判斷即可.（3）根據(jù)給定的定義，再分類推理計(jì)算判斷..【解答過程】（1）對(duì)于數(shù)列an，|an?n|=|1?4n|=4n?1，則即|an?n|>|對(duì)于數(shù)列bn，|bn?n|=|2所以數(shù)列bn（2）依題意，設(shè)cn=2+(n?1)d，則由等差數(shù)列cn為“數(shù)項(xiàng)增數(shù)列”，得|cn即|(n?1)d?n+2|>|(n?2)d?n+3|，當(dāng)n=2時(shí)，|d|>1，解得d<?1或d>1，當(dāng)d>1時(shí)，|cn?n|=|(d?1)(n?1)+1|=(d?1)(n?1)+1隨n當(dāng)d<?1時(shí)，令|cn0當(dāng)n>n0時(shí)，?d+1>0，|an?n|隨n所以cn的公差d的取值范圍是(?（3）由di∈1,2,3,4,5,6,7,8,9①若|d4?4|=5，則d若|d3?3|=2，則d3=1或d3=5，|d1=1，因此數(shù)列{d若|d3?3|=3，則d3=6，|d2|d1?1|=1或|d1?1|=0，此時(shí)d1=2或此時(shí)|d1?1|=0，d1=1若|d3?3|=4，則d3=7，|當(dāng)|d2?2|=3時(shí)，d2=5當(dāng)|d2?2|=2時(shí)，d2=4，|d1當(dāng)|d2?2|=1時(shí)，d2=3或d3=1，此時(shí)|②若|d4?4|=4，則d4=8，|③若|d4?4|=3，則d4=7,1，|d3|d1?1|=0，d1=1所以所有滿足條件的數(shù)列dn的個(gè)數(shù)是4+4+7+8+8=31一、單選題1．（2025·四川成都·一模）在等差數(shù)列an中，a3=3，a4+A．?2 B．?1 C．1 D．2【答案】B【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)若m+n=p+q，則am【解答過程】在等差數(shù)列an中，a4+故選：B.2．（2025·廣西柳州·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S4?SA．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解題思路】由等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合S4?S1=9【解答過程】因?yàn)镾4?S1=9,又a1+a所以公差為a3故選：A．3．（2025·北京·高考真題）已知an是公差不為零的等差數(shù)列，a1=?2，若a3,A．?20 B．?18 C．16 D．18【答案】C【解題思路】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的基本量運(yùn)算即可求解.【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,因?yàn)閍3,a所以a42=a3a6所以a10故選：C.4．（2025·江蘇南通·模擬預(yù)測）設(shè)an為等差數(shù)列，且a1+a2A．16 B．18 C．20 D．22【答案】C【解題思路】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解出基本量，計(jì)算求解即可.【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d由于a13a1+3d=3解得a1=?1，所以a6故選：C.5．（2025·江蘇泰州·模擬預(yù)測）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Tn是數(shù)列Snn的前n項(xiàng)和.若SA．49 B．50 C．51 D．52【答案】C【解題思路】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，根據(jù)題意，列出方程組求得a1,【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d因?yàn)镾4=12，S8所以Sn=3n所以T12故選：C.6．（2025·廣東惠州·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=2，公差d=12，在an中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，組成一個(gè)新的等差數(shù)列bnA．4n?2 B．3n?1C．3n D．2n+1【答案】B【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的定義求解即可.【解答過程】設(shè)bn的公差為d′，則b1故bn故選：B.7．（2025·江西·模擬預(yù)測）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a2=2a1=2A．40 B．41 C．42 D．43【答案】B【解題思路】由等差數(shù)列求和公式得Sn【解答過程】由已知可得a1an的公差為a2?故Sn令n(n+1)2<888，又n∈N?，所以驗(yàn)證S41=41×42所以n的最大值為41.故選：B.8．（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知Sn，Tn分別是等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和，且SnA．710 B．1118 C．2138【答案】C【解題思路】根據(jù)條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得a3【解答過程】因?yàn)閍n所以a3b4所以a3故選：C.二、多選題9．（2025·海南三亞·一模）數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，已知a3A．a(chǎn)7=?2 C．S5=30 D．當(dāng)n=8或n=9時(shí)，【答案】AB【解題思路】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式進(jìn)行運(yùn)算，即可得到判斷.【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則d=所以a7S5由a1=a由于二次函數(shù)y=12x所以當(dāng)n=8或n=9時(shí)，Sn故選：AB.10．（2025·安徽·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，且SA．d=1 B．S5=15 C．a(chǎn)n【答案】ABC【解題思路】根據(jù)條件列出關(guān)于a1和d【解答過程】由條件S5=4a4?1數(shù)列2Snan是以1為公差的等差數(shù)列，所以即4a1+2d=3綜合①②可知，aS5=5a1+10d=15故選：ABC.11．（2025·四川成都·一模）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球……設(shè)第n層有an個(gè)球，則（

A．a(chǎn)5=15 B．C．a(chǎn)2025為偶數(shù) D．【答案】ABD【解題思路】根據(jù)題意an?an?1=n,an?1【解答過程】根據(jù)題意，當(dāng)n≥2時(shí)，an累加得an∴an=nn+1∴aan+1a2025∵an=1a∵n∈N即1≤1故選：ABD.三、填空題12．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=?3，公差d=2【答案】12【解題思路】直接根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解.【解答過程】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，S6故答案為：12.13．（2025·新疆喀什·模擬預(yù)測）已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S4=12,S8【答案】84【解題思路】分析可知S4【解答過程】因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，則S可得2S8?S4故答案為：84.14．（2025·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an中，a1=10，an=an?1?4n≥2【答案】18【解題思路】由題意可知數(shù)列an是首項(xiàng)為10，公差為?4的等差數(shù)列，求出前n【解答過程】當(dāng)n≥2時(shí)，an?a所以，數(shù)列an是首項(xiàng)為10，公差為?4則數(shù)列an的前n項(xiàng)和