專題3.7拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 教學(xué)目標(biāo)1.了解拋物線的定義，能推導(dǎo)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．2.能根據(jù)已知條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．3.會求直線與拋物線的交點坐標(biāo)．4.通過對恰當(dāng)坐標(biāo)系的選擇和建立過程，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；在推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，發(fā)展直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)；在解決與拋物線有關(guān)問題的過程中，發(fā)展數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．教學(xué)重難點1.重點拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的求法．2.難點區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式．知識點01拋物線的定義雙曲線的定義：平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線．定點F叫作拋物線的焦點，定直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線．注意：（1）定點F不在這條定直線l上；（2）設(shè)點M(x,y)是拋物線上任意一點，點M到直線l的距離為d，則拋物線就是點的集合P={M||MF|=d}.【即學(xué)即練】A． B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義運算求解即可.故選：B．2．已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，若拋物線上一點M到直線x=?2的距離為5，則MFA．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合焦半徑公式即可求解.【解析】由于拋物線C:y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=?1，拋物線上點M故點M到直線x=?1的距離為4，故MF=4故選：B.知識點02拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解待定系數(shù)法：求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【即學(xué)即練】1．若拋物線y2=2pxp>0上一點P6,A．y2=16x B．y2=12x C．【答案】B【分析】將拋物線上點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離求解.【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?p所以點P到焦點的距離為6??所以p=6，拋物線的方程為y2故選：B.2．拋物線x2=2py(p>0)上縱坐標(biāo)為2的點到焦點的距離5，則該拋物線的方程為（A．x2=12y B．x2=10y C．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線定義將到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離建立關(guān)系可求出p.【解析】∵拋物線x2=2py(p>0)上縱坐標(biāo)為2的點到焦點的距離5，可知此點到準(zhǔn)線的距離為又拋物線x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線方程為所以可得2+p2=5所以拋物線方程為x2故選：A.知識點03與拋物線有關(guān)的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：由條件建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)求最值的方法進行求解，如利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法，利用函數(shù)的單調(diào)性等，亦可用均值不等式求解.【即學(xué)即練】1．已知拋物線C:y=a2x2的焦點為0,2，點P是拋物線C上任意一點，則點P到點AA．26 B．5 C．27【答案】A【分析】利用拋物線的焦點坐標(biāo)，求出a，設(shè)出P的坐標(biāo)，表示出距離，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最小值即可．【解析】因為拋物線C的焦點為0,2，由題意得14a2=2，則a2則PA=所以當(dāng)y=1時，PAmin故選：A.A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】過點A作AB垂直于準(zhǔn)線，垂足為B，過點P作PD垂直于準(zhǔn)線，垂足為D，當(dāng)且僅當(dāng)，P為AB與拋物線的交點時，等號成立，故選：C.題型01拋物線的定義及辨析【典例1】已知拋物線y2=4x上一點P到焦點F的距離是4，則點P到y(tǒng)軸的距離為（A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由拋物線方程求焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，結(jié)合拋物線定義條件可轉(zhuǎn)化為點P到準(zhǔn)線的距離為4，由此可求結(jié)論.【解析】由拋物線y2=4x可得焦點F(1,0)，準(zhǔn)線方程為因為點P到焦點F的距離是4，由拋物線的定義，可得點P到準(zhǔn)線x=?1的距離為4，所以點P到y(tǒng)軸的距離為4?1=3.故選：B.拋物線的定義可歸納為“一動三定”，一個動點，一定焦點；一定直線；一個定值注意：（1）焦點不在準(zhǔn)線上，若在上，拋物線變?yōu)檫^且垂直與的一條直線．（2）解題時常與拋物線的定義聯(lián)系起來，將拋物線上的動點到焦點的距離與動點到準(zhǔn)線的距離互化，通過這種轉(zhuǎn)化使問題簡單化．【變式1】已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F，若C上的點Mx0,5與焦點F的距離為3p，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由條件結(jié)合拋物線定義列方程求p可得結(jié)論.【解析】拋物線x2=2py的準(zhǔn)線方程為點Mx0,5到直線y=?因為點Mx0,5與焦點F所以5+p所以p=2.故選：B.【答案】D【分析】由條件結(jié)合拋物線定義即可求解.故選：D.【答案】2【分析】利用拋物線定義即可求解.又點到焦點的距離與到軸的距離之差為1，故答案為：2【答案】4【分析】由條件結(jié)合拋物線定義即可求解.故答案為：4.題型02軌跡問題——拋物線【典例1】已知動點P到點F2,0的距離比它到直線x=?1的距離大1，則動點P的軌跡方程為（

A．y2=4x B．y2=?4x C．【答案】D【分析】利用拋物線的定義求解即可.【解析】由題意可知，動點P到點F2,0的距離等于它到直線x=?2由拋物線的定義可知，點P在以F2,0為焦點，x=?2為準(zhǔn)線的拋物線上，其軌跡方程為y故選：D.求軌跡方程的常見方法：(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)拋物線的定義列方程．(3)相關(guān)點法：由相關(guān)點法求軌跡方程時，先設(shè)所求曲線上一點的坐標(biāo)，根據(jù)題中條件，確定已知曲線上的點與所求點之間的關(guān)系，用所求點的坐標(biāo)表示出已知點，代入已知曲線方程化簡整理，即可得出結(jié)果．有時也需要用參數(shù)表示出所求點，再消去參數(shù)，即可得出結(jié)果．A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】先對原方程合理變形，再結(jié)合拋物線的定義求解軌跡類型即可.故選：D【變式2】已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓C：x2＋(y＋3)A．x2=?12y B．x2=12y C．y【答案】A【分析】根據(jù)動圓M與直線y=2相切，且與定圓C：x2＋(y＋3)2=1外切，可得動點【解析】設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意可得M到C(0，－3)的距離與到直線y＝3的距離相等,由拋物線的定義可知，動圓圓心的軌跡是以C(0，3)為焦點，以y＝3為準(zhǔn)線的一條拋物線，所以p2=3,2p=12，其方程為故選：A.A．橢圓上 B．雙曲線的左支上C．雙曲線的右支上 D．圓上【答案】B【分析】設(shè)所求圓的圓心為，半徑為，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，結(jié)合雙曲線的定義可得出結(jié)論.設(shè)所求圓的圓心為，半徑為，如圖所示，故選：B.A．圓 B．橢圓的一部分C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分【答案】D故點P的軌跡為拋物線的一部分．故選：D．【分析】利用拋物線軌跡方程的概念求解.題型03拋物線的焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程【典例1】拋物線x=?14y2A．x=?1 B．x=1 C．y=?1 D．y=1【答案】B【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得結(jié)果.【解析】依題意得y2=?4x，所以2p=4，所以所以拋物線y2=?4x的準(zhǔn)線方程為故選：B.拋物線的焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程的求解方法:將所給拋物線方程化簡得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)，即可求得其準(zhǔn)線和焦點坐標(biāo)【變式1】已知拋物線的方程為y=4x2，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（A．y=?116 B．y=18 C．【答案】A【分析】把拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得結(jié)果.【解析】∵拋物線的方程為y=4x∴標(biāo)準(zhǔn)方程為x2∴拋物線的準(zhǔn)線方程為y=?1故選：A.【變式2】已知拋物線C的方程為x2+8y=0，則拋物線的焦點坐標(biāo)為（A．?2,0 B．?4,0 C．0,?2 D．0,?4【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得出該拋物線的焦點坐標(biāo).【解析】拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=?8y，則2p=8，可得p=4，故拋物線C的焦點坐標(biāo)為0,?2.故選：C.【分析】化簡得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)，即可求得其準(zhǔn)線和焦點坐標(biāo)，得到答案.題型04拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解【典例1】已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線C:y2=2pxp>0的焦點，點Mx0,4在C上，且A．y2=4x B．y2=8x C．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義得MF=x0+p2，結(jié)合MF=2OF得【解析】由拋物線的定義，得MF=又2OF=p，MF=2OF，則因此，由點Mp2,4在C上，得16=2p×p2所以C的方程為y2故選：B．求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法定義法根據(jù)定義求p，最后寫標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)法設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，列有關(guān)的方程組求系數(shù)直接法建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用拋物線的定義列出動點滿足的條件，列出對應(yīng)方程，化簡方程注意：當(dāng)拋物線的焦點位置不確定時，應(yīng)分類討論，也可以設(shè)y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以簡化討論過程．【答案】B故選：B.【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合已知條件，求得，即可求得拋物線方程.

故選：C.【變式3】求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：【分析】（1）根據(jù)準(zhǔn)線方程即可確定拋物線焦點位置以及值，即可求解；（2）根據(jù)拋物線上一點，設(shè)出拋物線方程，將點坐標(biāo)代入即可求解；（2）由題意頂點在原點，且過點?3,2，則拋物線焦點可能在軸正半軸或軸負(fù)半軸上，有拋物線焦點在軸正半軸上，根據(jù)拋物線定義有，拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，題型05利用拋物線方程求參數(shù)值（范圍）【典例1】拋物線y=mx2(m<0)上一點Ax0,?4A．?18 B．?14 C．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線方程，先求得準(zhǔn)線方程.結(jié)合拋物線定義即可求得點A到準(zhǔn)線的距離.【解析】因為y=mx2(m<0)，所以x2=根據(jù)拋物線定義，得?14m?(?4)=6故選：A根據(jù)拋物線方程以及拋物線定義求解參數(shù)值.有時還需借助幾何圖形求解【變式1】已知A是拋物線C:x2=2py(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為9，到x軸的距離為4，則p=A．4 B．5 C．8 D．10【答案】D【分析】確定拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的定義，即可求得答案.【解析】由題意知拋物線C:x2=2py(p>0)因為點A到C的焦點的距離為9，到x軸的距離為4，即A點縱坐標(biāo)為4，所以4?(?p2)=9故選：D.【變式2】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，準(zhǔn)線為l，點A在拋物線C上，點B在準(zhǔn)線l上，若△AFB是邊長為2的等邊三角形，則p的值是A．1 B．3 C．2 D．2【答案】A【分析】利用拋物線定義可知AB⊥l，再由等邊三角形的邊長為2即可求得p=BF【解析】根據(jù)題意，易知AF=AB，由拋物線定義可得設(shè)準(zhǔn)線與l的交點為D，如下圖所示：

因此AB與DF平行，又△AFB是邊長為2的等邊三角形，所以∠ABF=60°，即可得DF=BFcos故選：A.【答案】【分析】先求拋物線的準(zhǔn)線方程，再根據(jù)拋物線的定義得到關(guān)于的方程，求解即可.故答案為：.【答案】2【解析】因為O為中點，軸平行于準(zhǔn)線，所以為的中點，故答案為：2題型06求拋物線上的點到定點的距離最值【典例1】已知拋物線x2=2pyp>0，點A4,4在拋物線上，點B0,3，若P點是拋物線上的動點，則A．8 B．22 C．9 【答案】B【分析】把點A4,4代入拋物線中求出p=2，再設(shè)P【解析】因為點A4,4在拋物線上，所以42=2p?4所以拋物線方程為x2=4y，設(shè)則PB2所以PB的最小值為22故選：B.設(shè)Px【答案】C【分析】根據(jù)題意，由兩點間距離公式表示出PQ，再由二次函數(shù)的最值，即可得到結(jié)果.故選：C【變式2】設(shè)點P為圓(x?3)2+y2=1上的一動點，點Q為拋物線y2A．1?22 B．22?1 C．【答案】B【分析】設(shè)Q(y24,y)，可得【解析】如下圖，設(shè)Q(y則|PQ|≥|QC|?1，|QC|2=(y∴|QC|≥22，因此|PQ|≥|QC|?1≥2故選：B．【變式3】已知拋物線C1:y2=8x，圓C2:x?22+y2=1，若點【答案】4【分析】要使|PM||PQ|最小，則|PQ|需最大，根據(jù)拋物線的定義可得|PQ|max=|PF|+1=x+3，【解析】如圖，設(shè)圓心為F，則F為拋物線y2該拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?2，設(shè)P(x,y)，由拋物線的定義得|PF|=x+2，要使|PM||PQ|最小，則|PQ|如圖，|PQ|最大時，經(jīng)過圓心F，且圓F的半徑為1，|PQ|max=|PF|+1=x+3所以|PM||PQ|=x2+16所以|PM||PQ|=(t?3)而f(t)=25得1t=325<13，f(t)故答案為：45題型07拋物線上距離的和、差最值問題【典例1】已知點P是拋物線y=14x2上的動點，定點A1,0，則P到點A的距離與P到A．2?1 B．12 C．3?1【答案】A【分析】由拋物線焦半徑公式可得d=PM?1，PA+d=【解析】拋物線y=14x2?設(shè)P到x軸的距離為d，過點P作PN⊥準(zhǔn)線y=?1于點N，由拋物線焦半徑公式可得PN=PM，

則PA+d=PA+其中AM=12+12=2，所以P到點故選：A.求拋物線上的點到定點與焦點(或準(zhǔn)線)之和的最值：利用拋物線的定義將動點（在拋物線上）到焦點與到準(zhǔn)線的距離進行互化；定點所在位置是拋物線的內(nèi)部還是外部；根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，共線時取得最值.【變式1】已知拋物線C:32x=y2的焦點為F，點H4,2，P是拋物線C上的一個動點，則PF+A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】過點H作HM垂直于準(zhǔn)線，垂足為M，過點P作PD垂直于準(zhǔn)線，垂足為D，由拋物線的定義可得PD=PF，可得出PF+PH=PD+PH，利用當(dāng)【解析】由題意得F8,0，準(zhǔn)線方程為x=?8，過點H作HM垂直于準(zhǔn)線，垂足為M過點P作PD垂直于準(zhǔn)線，垂足為D，由拋物線的定義可得PD=PF+當(dāng)且僅當(dāng)P為線段HM與拋物線的交點時，等號成立，故PF+PH的最小值為故選：C.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用拋物線的定義及三角形性質(zhì)可得答案.如圖，過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，連接．故選：A．A．13 B．9 C．11 D．10【答案】D故選：D【答案】3【分析】求出焦點F0,1，準(zhǔn)線l:y=?1，設(shè)動點P到直線l,l1,l2的距離分別為d,d1,d2當(dāng)且僅當(dāng)點在點到直線的垂線上且在與之間時，等號成立，動點到直線直線的距離之和的最小值是3.故答案為：3.1．已知拋物線y2=2pxp>0上一點M2,yA．12 B．2 C．3 【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義運算求解即可.【解析】根據(jù)拋物線的定義，可知2+p2=3故選：B．A．橢圓 B．雙曲線的一支 C．拋物線 D．圓【答案】C【分析】由動圓與定圓相外切可得兩圓圓心距與半徑的關(guān)系，然后利用圓與直線相切的可得圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，借助等量關(guān)系可得動點滿足的條件，即可得動點的軌跡.由拋物線的定義知：