隨州市重點中學2025-2026學年數學高二第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數列滿足，，則（）A. B.C.1 D.22．已知數列滿足，，在（）A.25 B.30C.32 D.643．已知F為橢圓C：=1(a>b>0)右焦點，O為坐標原點，P為橢圓C上一點，若|OP|=|OF|，∠POF=120°，則橢圓C的離心率為（）A. B.C.-1 D.-14．在區(qū)間內隨機地取出兩個數，則兩數之和小于的概率是（）A. B.C. D.5．直線與圓相切，則實數等于（）A.或 B.或C.3或5 D.5或36．已知數列中，前項和為，且點在直線上，則=A. B.C. D.7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）A. B.C. D.8．設直線的傾斜角為，且，則滿足A. B.C. D.9．已知正四面體的底面的中心為為的中點，則直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.10．已知數列滿足，（且），若恒成立，則M的最小值是（）A.2 B.C. D.311．在正方體中，E，F分別為AB，CD的中點，則與平面所成的角的正弦值為（）A. B.C. D.12．饕餮（tāotiè）紋，青銅器上常見的花紋之一，盛行于商代至西周早期，最早出現在距今五千年前長江下游地區(qū)的良渚文化玉器上．有人將饕餮紋的一部分畫到了方格紙上，如圖所示，每個小方格的邊長為，有一點從點出發(fā)每次向右或向下跳一個單位長度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它經過次跳動后恰好是沿著饕餮紋的路線到達點的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．寫出一個同時滿足下列條件①②③的圓C的標準方程：__________①圓C的圓心在第一象限；②圓C與x軸相切；③圓C與圓外切14．已知焦點在軸上的雙曲線，其漸近線方程為，焦距為，則該雙曲線的標準方程為________15．已知圓的半徑為3，，為該圓的兩條切線，為切點，則的最小值為___________.16．已知等差數列的公差不為零，若，，成等比數列，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知點、，點M滿足，記點M的軌跡為C（1）求C的方程；（2）若直線l過圓圓心D且與圓交于A，B兩點，點P為C上一個動點，求的最小值18．（12分）已知數列為等差數列，，數列滿足，且（1）求的通項公式；（2）設，記數列的前項和為，求證：19．（12分）北京、張家港2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會，某公司為了競標配套活動的相關代言，決定對旗下的某商品進行一次評估.該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.（1）據市場調查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？（2）為了抓住申奧契機，擴大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到x元.公司擬投入萬作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用.試問：當該商品改革后的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價.20．（12分）設數列滿足，數列的前項和為，且（1）求證：數列為等差數列，并求的通項公式；（2）設，若對任意正整數，當時，恒成立，求實數的取值范圍.21．（12分）已知，是函數的兩個極值點.（1）求的解析式；（2）記，，若函數有三個零點，求的取值范圍.22．（10分）已知函數在與處都取得極值.（1）求a，b的值；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數c的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】結合遞推關系式依次求得的值.【詳解】因為，，所以，得由，得.故選：C2、A【解析】根據題中條件，得出數列公差，進而可求出結果.【詳解】由得，所以數列是以為公差的等差數列，又，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查等差數列的基本量運算，屬于基礎題型.3、D【解析】記橢圓的左焦點為，在中，通過余弦定理得出，，根據橢圓的定義可得，進而可得結果.【詳解】記橢圓的左焦點為，在中，可得，在中，可得，故，故，故選：D.4、C【解析】利用幾何概型的面積型，確定兩數之和小于的區(qū)域，進而根據面積比求概率.【詳解】由題意知：若兩個數分別為，則，如上圖示，陰影部分即為，∴兩數之和小于的概率.故選：C5、C【解析】先求出圓的圓心和半徑，再利用圓心到直線的距離等于半徑列方程可求得結果【詳解】由，得，則圓心為，半徑為2，因為直線與圓相切，所以，得，解得或，故選：C6、C【解析】點在一次函數上的圖象上，，數列為等差數列，其中首項為，公差為，，數列的前項和，，故選C考點：1、等差數列；2、數列求和7、C【解析】按照程序框圖的流程進行計算.【詳解】，故輸出S的值為.故選：C8、D【解析】因為，所以，，，，故選D9、B【解析】連接，再取中點，連接，得到為直線與所成角，再解三角形即可.【詳解】連接，再取中點，連接，因為分別為VC，中點，則，且底面,所以為直線與所成角，令正四面體邊長為1，則，,，所以，故選：.10、C【解析】根據，（且），利用累加法求得，再根據恒成立求解.【詳解】因為數列滿足，，（且）所以，，，，因為恒成立，所以，則M的最小值是，故選：C11、B【解析】作出線面角構造三角形直接求解，建立空間直角坐標系用向量法求解.【詳解】設正方體棱長為2，、F分別為AB、CD的中點，由正方體性質知平面，所以平面平面，在平面作，則平面，因為，所以即為所求角，所以.故選：B12、B【解析】本題首先可根據題意列出次跳動的所有基本事件，然后找出沿著饕餮紋的路線到達點的事件，最后根據古典概型的概率計算公式即可得出結果.【詳解】點從點出發(fā)，每次向右或向下跳一個單位長度，次跳動的所有基本事件有：（右，右，右）、（右，右，下）、（右，下，右）、（下，右，右）、（右，下，下）、（下，右，下）、（下，下，右）、（下，下，下），沿著饕餮紋的路線到達點的事件有：（下，下，右），故到達點的概率，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、(答案不唯一，但圓心坐標需滿足，)【解析】首先設圓的圓心和半徑，根據條件得到關于的方程組，即可求解.【詳解】設圓心坐標為，由①可知，半徑為，由②③可知，整理可得，當時，，，所以其中一個同時滿足條件①②③的圓的標準方程是.故答案為：(答案不唯一，但圓心坐標需滿足，)14、【解析】根據漸近線方程、焦距可得，，再根據雙曲線參數關系、焦點的位置寫出雙曲線標準方程.詳解】由題設，可知：，，∴由，可得，，又焦點在軸上，∴雙曲線的標準方程為.故答案為：.15、【解析】設（），，則，，，根據數量積的定義和余弦的二倍角公式結合基本不等式即可求解詳解】如圖所示，設（），，則，，，，當且僅當即時等號成立，∴的最小值是.故答案為：16、0【解析】設等差數列的公差為，，根據，，成等比數列，得到，再根據等差數列的通項公式可得結果.【詳解】設等差數列的公差為，，因為，，成等比數列，所以，所以，整理得，因為，所以，所以.故答案為：0.【點睛】本題考查了等比中項，考查了等差數列通項公式基本量運算，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）23【解析】（1）根據雙曲線的定義判斷軌跡，直接寫出軌跡方程即可；（2）設，利用向量坐標運算計算，再由二次函數求最值即可.【小問1詳解】由，則軌跡C是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，設軌跡C的方程為，則，可得，，所以C的方程為；【小問2詳解】設，則，且，圓心，則因為，則當時，取最小值23.18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）求出的值，可求得等差數列的公差，進而可求得數列的通項公式，再由前項和與通項的關系可求得的表達式，可求得，然后對是否滿足在時的表達式進行檢驗，綜合可得出數列的通項公式；（2）求得，利用裂項求和法可求得的表達式，利用不等式的性質和數列的單調性可證得所證不等式成立.【小問1詳解】解：因為，，所以，因為，，所以，設數列公差為，則，所以，當時，由，可得，所以，所以，因為滿足，所以，對任意的，【小問2詳解】證明：因為，所以，因為，所以，因為，所以，故數列單調遞增，當時，，所以19、（1）40；（2）a至少達到10.2萬件時,才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和,此時該商品的每件定價為30元.【解析】（1）設每件定價為x元,可得提高價格后的銷售量，根據銷售的總收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定價；（2）依題意，x>25時，不等式有解，等價于x>25時,有解,利用基本不等式,可以求得a.【詳解】（1）設每件定價為t元,依題意得,整理得,解得：25≤t≤40.所以要使銷售的總收入不低于原收入,每件定價最多為40元.（2）依題意知：當x>25時,不等式有解，等價于x>25時,有解.由于,當且僅當,即x=30時等號成立,所以a≥10.2.當該商品改革后的銷售量a至少達到10.2萬件時,才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和,此時該商品的每件定價為30元.20、（1）證明見解析，；（2）或.【解析】（1）結合與關系用即可證明為常數；求出通項公式后利用累加法即可求的通項公式；（2）裂項相消求，判斷單調性求其最大值即可.【小問1詳解】當時，得到，∴，當時，是以4為首項，2為公差的等差數列∴當時，當時，也滿足上式，.【小問2詳解】令，當，因此的最小值為，的最大值為對任意正整數，當時，恒成立，得，即在時恒成立，，解得t＜0或t＞3.21、（1）；（2）【解析】（1）根據極值點的定義，可知方程的兩個解即為，，代入即得結果；（2）根據題意，將方程轉化為，則函數與直線在區(qū)間，上有三個交點，進而求解的取值范圍【詳解】解：（1）因為，所以根據極值點定義，方程的兩個根即為，，，代入，，可得，解之可得，，故有；（2）根據題意，，，，根據題意，可得方程在區(qū)間，內有三個實數根，即函數與直線在區(qū)間，內有三個交點，又因為，則令，解得；令，解得或，所以函數在，上單調遞減，在上單調遞增；又因為，，，，函數圖象如