2025~2026學(xué)年上海市長(zhǎng)征中學(xué)高二上學(xué)期期中測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、填空題(★)1.用符號(hào)表示“平面與相交于直線”________．(★★)2.已知空間中的兩個(gè)角和，若，則_____.(★★)3.已知向量，若與平行，則_____.(★★)4.一球體積為，它的表面積為_(kāi)_____.(★★)5.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，異面直線BD1與AC所成角的度數(shù)為．(★★)6.在長(zhǎng)方體中，，則直線與所成角的余弦值為_(kāi)____.(★★★)7.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)為，而點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，則_____.(★★★)8.已知圓錐的母線與底面所成角為，高為則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)____.(★★★)9.如圖，在四面體OABC中，M是棱OA上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N，P分別是BC，MN的中點(diǎn)．設(shè)，，，用，，表示________．(★★★)10.如圖，設(shè)P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，直線PA⊥平面ABCD，AB=3，BC=4，PA=1，則點(diǎn)P到直線BD的距離為_(kāi)_____.(★★★)11.下列命題中，是真命題的是_____.（請(qǐng)?zhí)钌纤姓_命題的序號(hào)）①底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體②正四面體的高為其棱長(zhǎng)的倍③用一個(gè)平面截正方體，得到的截面可能為五邊形④過(guò)圓錐頂點(diǎn)的所有截面中，軸截面面積最大(★★★)12.我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了著名的原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，這句話的意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截.如果截得的這兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖（1）有一段彎曲的水管，其橫截面為圓面，最大縱截面是由曲線與兩直線圍成的平面區(qū)域如圖（2），則根據(jù)祖暅原理可得該段水管的體積為_(kāi)____.二、單選題(★★)13.“直線平面”是“直線與平面內(nèi)的任意直線都沒(méi)有公共點(diǎn)”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(★)14.工人師傅在檢測(cè)椅子的四個(gè)“腳”是否在同一個(gè)平面上時(shí)，只需連接對(duì)“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格.工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是（）

A．兩條相交直線確定一個(gè)平面B．兩條平行直線確定一個(gè)平面C．四點(diǎn)確定一個(gè)平面D．直線及直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面(★★★)15.在正方體中，若的中點(diǎn)為，則過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)的截面是（）

A．三角形B．梯形C．菱形D．矩形(★★★)16.如圖，體積為V的大球內(nèi)有4個(gè)小球，每個(gè)小球的球面過(guò)大球球心且與大球球面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，4個(gè)小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，為小球相交部分（圖中陰影部分）的體積，為大球內(nèi)?小球外的圖中黑色部分的體積，則下列關(guān)系中正確的是（）

A．B．C．D．三、解答題(★★★)17.如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為3，試計(jì)算以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積.(★★★)18.敘述并證明三垂線定理（要求寫出已知?求證?證明過(guò)程并畫圖）；(★★★)19.在五面體中，面為平行四邊形，，且，為棱的中點(diǎn).(1)的中點(diǎn)為，證明：平面平面；(2)請(qǐng)畫出過(guò)點(diǎn)，，的平面與平面的交線，證明．(★★★)20.從一張半徑為3的圓形鐵皮中裁剪出一塊扇形鐵皮（如圖1陰影部分），并卷成一個(gè)深度為米的圓錐筒（如圖2）．若所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為．(1)求圓錐筒的容積；(2)在（1）中的圓錐內(nèi)有一個(gè)底面圓半徑為的內(nèi)接圓柱（如圖3），求內(nèi)接圓柱側(cè)面積的最大值以及取最大值時(shí)的取值．(★★★)21.如圖，三棱柱中，側(cè)面，已知，，，點(diǎn)是棱