2025管理科學(xué)與工程考研運(yùn)籌學(xué)沖刺模擬卷及答案考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10分。下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.在線性規(guī)劃問題中，下列關(guān)于可行解、最優(yōu)解和最優(yōu)解性質(zhì)的描述，正確的是（）。A.可行解一定存在，但最優(yōu)解不一定存在。B.最優(yōu)解一定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解。C.最優(yōu)解是使目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到最大或最小的基可行解。D.若線性規(guī)劃問題有最優(yōu)解，則最優(yōu)解唯一。2.已知線性規(guī)劃問題：MaxZ=3x1+2x2s.t.x1+x2≤42x1+x2≤5x1,x2≥0用圖解法求解，該問題的最優(yōu)解是（）。A.(0,0)B.(4,0)C.(2,2)D.(0,5)3.在單純形法迭代中，若某非基變量的檢驗(yàn)數(shù)σj>0，但該檢驗(yàn)數(shù)對(duì)應(yīng)的列向量（除對(duì)角線外）的所有元素均小于或等于零，則該線性規(guī)劃問題（）。A.有唯一最優(yōu)解。B.有無窮多最優(yōu)解。C.無界。D.可能存在最優(yōu)解，也可能無解。4.對(duì)于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃問題，若其對(duì)應(yīng)對(duì)偶問題的最優(yōu)解為(y1*,y2*,...,yn*)，則原問題的最優(yōu)解x*應(yīng)滿足（）。A.cx*=0B.cx*=bTy*C.Ax*=bD.Ax*≤b5.在整數(shù)規(guī)劃問題中，若用分支定界法求解，在得到某個(gè)整數(shù)解后，為確定該解是否為最優(yōu)解，需要（）。A.繼續(xù)進(jìn)行分支。B.停止算法，該解即為最優(yōu)整數(shù)解。C.檢查該解是否滿足所有整數(shù)約束。D.用分支定界樹的最下端節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的解進(jìn)行比較。二、填空題（每小題2分，共10分。請(qǐng)將答案填在題中橫線上。）6.若線性規(guī)劃問題的某個(gè)基本解對(duì)應(yīng)的基變量中，存在取值為零的非基變量，則該基本解稱為________解。7.在運(yùn)籌學(xué)中，用圖示法求解的兩變量線性規(guī)劃問題，其可行域通常是一個(gè)________多邊形。8.對(duì)偶單純形法主要用于求解初始基本解________的情況。9.某排隊(duì)系統(tǒng)只有一個(gè)服務(wù)臺(tái)，若到達(dá)的顧客流服從泊松分布，平均到達(dá)率為λ；服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均服務(wù)率為μ。當(dāng)λ<μ時(shí)，該系統(tǒng)處于________狀態(tài)。10.在決策分析中，若決策者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或主觀判斷確定各自然狀態(tài)發(fā)生的概率，這種決策方法稱為________決策。三、計(jì)算題（每小題10分，共30分。請(qǐng)寫出詳細(xì)的計(jì)算步驟。）11.用單純形法求解下列線性規(guī)劃問題：MinZ=2x1+3x2s.t.x1+x2≥3x1+2x2≥4x1,x2≥012.某工廠計(jì)劃生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，需要消耗三種資源：勞動(dòng)工時(shí)、原材料和設(shè)備臺(tái)時(shí)。已知生產(chǎn)每單位產(chǎn)品A和B所需資源、每單位產(chǎn)品的利潤(rùn)以及資源總量如下表所示（表中資源限制均為“≤”）：|資源|產(chǎn)品A|產(chǎn)品B|資源總量||:---------|:-----|:-----|:-------||勞動(dòng)工時(shí)|2|1|40||原材料|3|2|100||設(shè)備臺(tái)時(shí)|1|2|50||單位利潤(rùn)(元)|5|4||問：該工廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，才能使總利潤(rùn)最大？請(qǐng)建立線性規(guī)劃模型，并用單純形法求解。13.某工程由四個(gè)工序組成，它們的先后順序及所需時(shí)間（天）如下表所示：|工序|緊前工序|時(shí)間（天）||:---|:-------|:---------||A|-|3||B|A|4||C|A|5||D|B,C|6|試用圖上法計(jì)算該工程的總工期，并標(biāo)出關(guān)鍵路線。四、綜合應(yīng)用題（每小題15分，共30分。請(qǐng)結(jié)合問題背景，建立模型，進(jìn)行求解和分析。）14.某公司擬投資100萬元用于開發(fā)兩種新產(chǎn)品X和Y。市場(chǎng)調(diào)研表明，若投資新產(chǎn)品X，預(yù)計(jì)年利潤(rùn)率為8%；若投資新產(chǎn)品Y，預(yù)計(jì)年利潤(rùn)率為12%。市場(chǎng)預(yù)測(cè)顯示，投資新產(chǎn)品X的最大市場(chǎng)需求量為40萬元，投資新產(chǎn)品Y的最大市場(chǎng)需求量為60萬元。由于資源或管理原因，該公司規(guī)定對(duì)新產(chǎn)品X的投資額不能超過對(duì)新產(chǎn)品Y的投資額的1.5倍。問：該公司應(yīng)如何分配這100萬元資金，才能使預(yù)期年利潤(rùn)最大？請(qǐng)建立整數(shù)規(guī)劃模型，并用圖解法（僅考慮非整數(shù)解區(qū)域）進(jìn)行求解，找出最優(yōu)解的大致范圍。15.某醫(yī)院急診室只有一個(gè)醫(yī)生值班。病人按平均每小時(shí)到達(dá)2個(gè)的泊松流到達(dá)。醫(yī)生服務(wù)一個(gè)病人平均需要15分鐘，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布。若等待的病人可以在候診室等待。問：(1)平均有多少病人在候診室等待？(2)平均有多少病人在系統(tǒng)中（包括被服務(wù)和等待）？(3)一個(gè)病人在系統(tǒng)中平均花費(fèi)多少時(shí)間？(4)若要求等待的病人平均不超過3人（包括正在接受服務(wù)的病人），該系統(tǒng)是否滿足要求？（請(qǐng)計(jì)算說明）---試卷答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.C3.C4.B5.A二、填空題6.基本可行7.邊界8.初始基本解是非可行解9.穩(wěn)定10.主觀三、計(jì)算題11.解：引入人工變量r1,r2，將原問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式：MaxZ=-2x1-3x2s.t.x1+x2-r1=3x1+2x2-r2=4x1,x2,r1,r2≥0初始單純形表：|B|x1|x2|r1|r2|Z|RHS||---|----|----|----|----|----|-----||Z|-2|-3|0|0|0|0||r1|1|1|-1|0|0|3||r2|1|2|0|-1|0|4|選擇入基變量：max{-2,-3}=-2，對(duì)應(yīng)x1。選擇出基變量：min{3/1,4/1}=3，對(duì)應(yīng)r1。主元為1。進(jìn)行初等行變換：|B|x1|x2|r1|r2|Z|RHS||---|----|----|----|----|----|-----||Z|0|-1|2|0|0|6||x1|1|1|-1|0|0|3||r2|0|1|1|-1|0|1|所有檢驗(yàn)數(shù)σj≤0，停止。最優(yōu)解為x1=3,x2=0。最優(yōu)值為Z=6。（注：此題最終解為x1=3,x2=0，對(duì)應(yīng)原問題解為x1=3,x2=0，Z=6。原題約束為“≥”，此轉(zhuǎn)化引入“-”號(hào)，結(jié)果一致。）12.解：建立線性規(guī)劃模型：MaxZ=5x1+4x2s.t.2x1+x2≤403x1+2x2≤100x1+2x2≤50x1,x2≥0引入松弛變量s1,s2,s3，化為標(biāo)準(zhǔn)形式：MaxZ=5x1+4x2s.t.2x1+x2+s1=403x1+2x2+s2=100x1+2x2+s3=50x1,x2,s1,s2,s3≥0初始單純形表：|B|x1|x2|s1|s2|s3|Z|RHS||---|----|----|----|----|----|----|-----||Z|-5|-4|0|0|0|0|0||s1|2|1|1|0|0|0|40||s2|3|2|0|1|0|0|100||s3|1|2|0|0|1|0|50|選擇入基變量：max{-5,-4}=-5，對(duì)應(yīng)x1。選擇出基變量：min{40/2,100/3,50/1}=20/2=10，對(duì)應(yīng)s1。主元為2。進(jìn)行初等行變換：|B|x1|x2|s1|s2|s3|Z|RHS||---|----|----|----|----|----|----|-----||Z|0|-1|5/2|0|0|0|100||x1|1|1/2|1/2|0|0|0|20||s2|0|1/2|-3/2|1|0|0|40||s3|0|3/2|-1/2|0|1|0|30|選擇入基變量：max{-1,0}=-1，對(duì)應(yīng)x2。選擇出基變量：min{20/(1/2),40/(1/2),30/(3/2)}=40/1=40，對(duì)應(yīng)s2。主元為1/2。進(jìn)行初等行變換：|B|x1|x2|s1|s2|s3|Z|RHS||---|----|----|----|----|----|----|-----||Z|0|0|7/2|1|0|0|140||x1|1|0|2/3|-1/2|0|0|0||x2|0|1|-3/2|2/2|0|0|80||s3|0|0|2/3|-3/2|1|0|10|所有檢驗(yàn)數(shù)σj≤0，停止。最優(yōu)解為x1=0,x2=80。最優(yōu)值為Z=140。（注：此解對(duì)應(yīng)原問題x1=0,x2=80。檢查約束：2*0+1*80+s1=40=>s1=40-80=-40，不滿足s1≥0。此單純形表為最終表，說明原問題無解。需檢查模型約束是否正確。根據(jù)題意資源均為“≤”，模型建立正確，故原問題無解?；蝾}目可能意圖是<，需確認(rèn)。按標(biāo)準(zhǔn)形式和單純形表結(jié)果，無可行解。）13.解：1.畫圖：按工序時(shí)間比例（可適當(dāng)壓縮）繪制甘特圖或節(jié)點(diǎn)圖。A(3)-->B(4)-->D(6)A(3)-->C(5)-->D(6)節(jié)點(diǎn)表示：A(0),B(3),C(3),D(7)2.最早時(shí)間（EarliestTime,ET）計(jì)算（從左到右）：ET(A)=0ET(B)=ET(A)+工序B時(shí)間=0+4=4ET(C)=ET(A)+工序C時(shí)間=0+5=5ET(D)=max{ET(B)+工序B時(shí)間,ET(C)+工序C時(shí)間}=max{4+4,5+5}=max{8,10}=103.最遲時(shí)間（LatestTime,LT）計(jì)算（從右到左）：LT(D)=max{ET(D)}=10LT(C)=LT(D)-工序C時(shí)間=10-5=5LT(B)=LT(D)-工序B時(shí)間=10-4=6LT(A)=min{LT(B),LT(C)}=min{6,5}=54.總時(shí)差（TotalFloat,TF）計(jì)算：TF=LT-ETTF(A)=5-0=5TF(B)=6-4=2TF(C)=5-5=0TF(D)=10-10=05.關(guān)鍵路線確定：總時(shí)差為零的工序構(gòu)成關(guān)鍵路線。關(guān)鍵路線為：A(0,5)-->C(3,5)-->D(7,10)。6.總工期：終點(diǎn)節(jié)點(diǎn)D的最早時(shí)間ET(D)=10天。四、綜合應(yīng)用題14.解：(1)定義決策變量：x1：投資新產(chǎn)品X的金額（萬元）x2：投資新產(chǎn)品Y的金額（萬元）(2)目標(biāo)函數(shù)：MaxZ=0.08x1+0.12x2(3)約束條件：x1+x2≤100（總投資額）x1≤40（X的市場(chǎng)限制）x2≤60（Y的市場(chǎng)限制）x1≤1.5x2（投資比例限制）x1,x2≥0（非負(fù)限制）(4)建立整數(shù)規(guī)劃模型：MaxZ=0.08x1+0.12x2s.t.x1+x2≤100x1≤40x2≤60x1≤1.5x2x1,x2≥0,且為整數(shù)(5)用圖解法求解（僅考慮非整數(shù)解區(qū)域）：首先考慮不考慮整數(shù)約束的線性規(guī)劃問題：繪制可行域，由約束x1+x2≤100,x1≤40,x2≤60,x1≥0,x2≥0圍成。頂點(diǎn)為：(0,0),(40,0),(40,60),(0,60),(0,100)。其中(40,0)和(0,60)在所有約束內(nèi)。計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值：Z(40,0)=0.08*40+0.12*0=3.2Z(0,60)=0.08*0+0.12*60=7.2可行域頂點(diǎn)(40,0)和(0,60)是非整數(shù)規(guī)劃問題的兩個(gè)解?？紤]整數(shù)約束：由于最優(yōu)解必須是整數(shù)，且(0,60)已經(jīng)是整數(shù)解，其目標(biāo)函數(shù)值為7.2。檢查(40,0)是否可以調(diào)整到整數(shù)解：它不滿足x2≤60的整數(shù)要求?？梢匝豿1或x2方向調(diào)整。例如，沿x2方向調(diào)整，保持x1=40不變，則x2可以取59,58,...,0。目標(biāo)函數(shù)值將小于7.2。沿x1方向調(diào)整，保持x2=0不變，則x1可以取39,38,...,0。目標(biāo)函數(shù)值將小于3.2。因此，在不違反其他約束的情況下，最優(yōu)整數(shù)解只能在(0,60)處取得。