第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025-2026學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市虹橋中學(xué)教育集團(tuán)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共10道小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．（3分）若，則的值為（）A．4 B． C． D．2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosB＝（）A． B． C． D．3．（3分）將拋物線y＝x2向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后所得新拋物線的表達(dá)式為（）A．y＝（x+2）2 B．y＝（x﹣2）2 C．y＝x2+2 D．y＝x2﹣24．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OC在y軸正半軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣6，4），且相似比為，那么點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（）A．（3，2） B．（﹣3，2）或（3，﹣2） C．（﹣12，8） D．（﹣12，8）或（12，﹣8）5．（3分）某校舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，班主任王老師決定從本班4名（其中3男1女）同學(xué)中隨機(jī)選擇2名同學(xué)參加競(jìng)賽，記下姓名，再?gòu)氖Ｓ嗟?名同學(xué)中隨機(jī)選擇另一名同學(xué)，則選中的兩名同學(xué)中沒有女同學(xué)的概率為（）A． B． C． D．6．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝DC，則四邊形EGFH是（）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形7．（3分）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)B為圓心，交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．再分別以點(diǎn)D，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，過點(diǎn)F作BC的平行線交AB于點(diǎn)G．若AB＝4，BC＝6（）A．3 B． C．2 D．8．（3分）如圖，雙曲線與直線y＝mx+n圖象交于A，則時(shí)x的取值范圍是（）A．1＜x＜2 B．x＜0 C．1＜x＜2或x＜0 D．x＜1或x＞2或x＜09．（3分）設(shè)A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y＝﹣（x+1）2+3上的三點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y210．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，部分圖象如圖所示，下列判斷中：①abc＞02+bx+c＝0的兩個(gè)根是x1＝1，x2＝﹣3；③當(dāng)x＞0時(shí)，y的值隨x增大而增大，y1），（﹣2.5，y2）均在拋物線上，則y1＝y(tǒng)2，其中正確的判斷是（）A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）在一個(gè)不透明的盒子中裝有3個(gè)紅球和若干個(gè)白球，這些球除顏色外均相同，若每次將球充分?jǐn)噭蚝?，通過大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.2左右個(gè)白球．12．（3分）驗(yàn)光師通過檢測(cè)發(fā)現(xiàn)近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，小雪的鏡片焦距由0.25米調(diào)整到0.5米，則近視眼鏡的度數(shù)減少了度．13．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠DBC＝∠A，若AC＝4，則BD的長(zhǎng)度為．14．（3分）如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線y＝上，C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形．15．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，CF與AB相交于點(diǎn)G．若AD＝2，tan∠FCE＝．三、解答題（本題共8小題，共75分，解答題應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）16．（10分）（1）計(jì)算：cos245°+tan30°（1﹣sin60°）；（2）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．17．（8分）隨著國(guó)家對(duì)地?cái)偨?jīng)濟(jì)的支持，各地的夜市逐漸火爆．沈陽(yáng)某小型夜市為改善環(huán)境，融入地方特色，改造后的布局如圖所示．已知在矩形ABCD中，AD＝60m，陰影部分為夜市攤位，其余部分是等寬的人行過道，攤位的總面積為1000m2．求人行過道的寬x是多少米？18．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合時(shí)，過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AB，DE與PE相交于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）線段AD的長(zhǎng)cm；（用含t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)點(diǎn)E落在BC邊上時(shí)，求t的值；（3）設(shè)△DPE與△ABC重疊部分的面積為S（cm2）．求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量t的取值范圍．19．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+2的圖象分別與x軸，點(diǎn)C，與反比例函數(shù)（﹣2，3）．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)D（﹣6，n）是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，CD，直接寫出△BCD的面積；（3）點(diǎn)P在y軸上，滿足△PAB是以AB為斜邊的直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．20．（8分）在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小剛同學(xué)要測(cè)量古塔AB的高度，他從古塔底部點(diǎn)B處前行15m到達(dá)斜坡CD的底部點(diǎn)C處，在點(diǎn)D處測(cè)得塔頂A的仰角為35°，已知斜坡CD的斜面坡度i＝4：3，B，C，D，E在同一平面內(nèi)．（1）求點(diǎn)D到地面的距離DH．（2）求古塔AB的高度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）21．（6分）【定義】在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)“虹橋值”給出如下定義：點(diǎn)A（x，y）是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x的差“y﹣x”稱為點(diǎn)A的“虹橋值”【舉例】已知點(diǎn)A（1，3）在函數(shù)y＝2x+1圖象上．點(diǎn)A（1，3）的“虹橋值”為y﹣x＝3﹣1＝2；函數(shù)y＝2x+1圖象上所有點(diǎn)的“虹橋值”可以表示為y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，當(dāng)3≤x≤6時(shí)，4≤x+1≤7，因此y﹣x的最大值為7（3≤x≤6）的“最優(yōu)虹橋值”為7．【問題】根據(jù)定義，解答下列問題：（1）點(diǎn)B（﹣3，7）的“虹橋值”為；（2）直接寫出函數(shù)的“最優(yōu)虹橋值”；（3）若二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)在直線上，且最優(yōu)虹橋值為6，直接寫出c的值．22．（14分）問題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對(duì)角線剪開，得到兩個(gè)全等的三角形紙片，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D．將△ABC和△DFE按圖2所示方式擺放（標(biāo)記為點(diǎn)B）．當(dāng)∠ABE＝∠A時(shí)，延長(zhǎng)DE交AC于點(diǎn)G．（1）試判斷四邊形BCGE的形狀，并說明理由；（2）深入探究：老師將圖2中的△DBE繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在△ABC內(nèi)部．①“善思小組”提出問題：如圖3，當(dāng)∠ABE＝∠BAC時(shí)，過點(diǎn)A作AM⊥BE交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，并加以證明；②“智慧小組”提出問題：如圖4，當(dāng)∠CBE＝∠BAC時(shí)，此時(shí)AB、DE交于點(diǎn)P，若BC＝9，AC＝1223．（13分）如圖1，直線y＝﹣x+4與x軸，y軸分別交于點(diǎn)C，A2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，C．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）如圖2，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線AC于點(diǎn)Q，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；（3）如圖1，連接AB，在x軸上找一點(diǎn)M，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（4）若二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c與y＝﹣x+4組成新函數(shù)G：，點(diǎn)E（﹣1，2），F(xiàn)（3，2），G（3，0），當(dāng)函數(shù)G的圖象與矩形EBGF四條邊有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)

2025-2026學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市虹橋中學(xué)教育集團(tuán)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案DDBBABBCAB一、選擇題（本題共10道小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．（3分）若，則的值為（）A．4 B． C． D．【解答】解：∵，∴m＝4n，∴＝＝．故選：D．2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosB＝（）A． B． C． D．【解答】解：由題意，得sinA＝cosB＝，cosA＝＝，tanA＝＝，故選：D．3．（3分）將拋物線y＝x2向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后所得新拋物線的表達(dá)式為（）A．y＝（x+2）2 B．y＝（x﹣2）2 C．y＝x2+2 D．y＝x2﹣2【解答】解：將拋物線y＝x2向右平移2個(gè)單位，所得拋物線的表達(dá)式為y＝（x﹣8）2，故選：B．4．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OC在y軸正半軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣6，4），且相似比為，那么點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（）A．（3，2） B．（﹣3，2）或（3，﹣2） C．（﹣12，8） D．（﹣12，8）或（12，﹣8）【解答】解：∵矩形OA'B'C'與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，且相似比為，8），∴點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（）或（），2）或（3．故選：B．5．（3分）某校舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，班主任王老師決定從本班4名（其中3男1女）同學(xué)中隨機(jī)選擇2名同學(xué)參加競(jìng)賽，記下姓名，再?gòu)氖Ｓ嗟?名同學(xué)中隨機(jī)選擇另一名同學(xué)，則選中的兩名同學(xué)中沒有女同學(xué)的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：畫樹狀圖如圖所示，共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中2名同學(xué)中沒有女同學(xué)的結(jié)果數(shù)為6，所以其中有乙同學(xué)的概率為＝，故選：A．6．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝DC，則四邊形EGFH是（）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【解答】解：∵E、F、G、H分別是AD、BD，∴EG、GF、HE分別為△ABD、△ABC，∴EG＝ABCDABCD，∵AB＝CD，∴EG＝GF＝FH＝HE，∴四邊形EGFH為菱形，故選：B．7．（3分）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)B為圓心，交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．再分別以點(diǎn)D，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，過點(diǎn)F作BC的平行線交AB于點(diǎn)G．若AB＝4，BC＝6（）A．3 B． C．2 D．【解答】解：由作圖得：BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC，∵GF∥BC，∴∠GFB＝∠FBC，∴∠ABF＝∠GFB，∴GB＝GF，∵FG∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得：GF＝，故選：B．8．（3分）如圖，雙曲線與直線y＝mx+n圖象交于A，則時(shí)x的取值范圍是（）A．1＜x＜2 B．x＜0 C．1＜x＜2或x＜0 D．x＜1或x＞2或x＜0【解答】解：由函數(shù)圖象可得，當(dāng)x＜0或1＜x＜8時(shí)在直線y＝mx+n的下方，∴時(shí)x的取值范圍x＜0或1＜x＜4，故選：C．9．（3分）設(shè)A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y＝﹣（x+1）2+3上的三點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2【解答】解：∵拋物線y＝﹣（x+1）2+8的開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，而A（﹣5，y5）離直線x＝﹣1的距離最遠(yuǎn)，B（1，y2）點(diǎn)離直線x＝﹣1最近，∴y2＞y6＞y1．故選：A．10．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，部分圖象如圖所示，下列判斷中：①abc＞02+bx+c＝0的兩個(gè)根是x1＝1，x2＝﹣3；③當(dāng)x＞0時(shí)，y的值隨x增大而增大，y1），（﹣2.5，y2）均在拋物線上，則y1＝y(tǒng)2，其中正確的判斷是（）A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④【解答】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵對(duì)稱軸在y軸的左邊，∴a、b同號(hào)，∵拋物線與y軸負(fù)半軸相交，∴c＜0，∴abc＜2，所以①錯(cuò)誤；∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，而點(diǎn)（1，4）關(guān)于直線x＝﹣1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，∴方程ax7+bx+c＝0的兩個(gè)根是x1＝7，x2＝﹣3，所以②正確；∵拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝﹣2，∴當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y隨x增大而增大，∴當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x增大而增大，所以③正確；∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣3，∴點(diǎn)（0.5，y6），（﹣2.5，y2）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴y1＝y(tǒng)2，所以④正確．故選：B．二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）在一個(gè)不透明的盒子中裝有3個(gè)紅球和若干個(gè)白球，這些球除顏色外均相同，若每次將球充分?jǐn)噭蚝?，通過大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.2左右12個(gè)白球．【解答】解：由題意知，盒子中球的總個(gè)數(shù)約為3÷0.4＝15（個(gè)），則盒子種白球個(gè)數(shù)約為15﹣3＝12（個(gè)），故答案為：12．12．（3分）驗(yàn)光師通過檢測(cè)發(fā)現(xiàn)近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，小雪的鏡片焦距由0.25米調(diào)整到0.5米，則近視眼鏡的度數(shù)減少了200度．【解答】解：設(shè)y＝（k≠0），把（0.7，500）代入y＝，∴k＝500×0.2＝100，∴函數(shù)解析式為y＝，當(dāng)x＝4.25時(shí)，y＝，當(dāng)x＝0.2時(shí)，y＝，∴度數(shù)減少了400﹣200＝200（度），故答案為：200．13．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠DBC＝∠A，若AC＝4，則BD的長(zhǎng)度為．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，∴AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A＝＝，∴BD＝3×＝，故答案為：．14．（3分）如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線y＝上，C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形2．【解答】解：延長(zhǎng)BA交y軸于E，∵AB∥x軸，∴AE垂直于y軸，∵點(diǎn)A在雙曲線上，∴四邊形AEOD的面積為1，∵點(diǎn)B在雙曲線y＝上，且AB∥x軸，∴四邊形BEOC的面積為3，∴矩形ABCD的面積為3﹣7＝2．故答案為：2．15．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，CF與AB相交于點(diǎn)G．若AD＝2，tan∠FCE＝．【解答】解：過點(diǎn)F作FH⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB∥CD，AD＝CD＝2，∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，∴AE＝ED＝1，∴CE＝＝．在Rt△CFH中，∵tan∠FCE＝，tan∠FCE＝，∴，設(shè)FH＝2k，則CH＝3k，∴HE＝CH﹣CE＝8k﹣．∵∠FHE＝∠D＝90°，∠HEF＝∠DEC，∴△FHE∽△CDE，∴，∴，∴k＝，∴FH＝，CH＝，∴HE＝．∴FE＝＝，∴FA＝FE﹣AE＝，F(xiàn)D＝FE+DE＝．∵AB∥CD，∴△FAG∽△FDC，∴，∴，∴AG＝．故答案為：．三、解答題（本題共8小題，共75分，解答題應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）16．（10分）（1）計(jì)算：cos245°+tan30°（1﹣sin60°）；（2）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．【解答】解：（1）原式＝＝＝；（2）x2﹣3x﹣1＝0，x7﹣2x+1＝2+1，（x﹣1）8＝2，則x﹣2＝，所以．17．（8分）隨著國(guó)家對(duì)地?cái)偨?jīng)濟(jì)的支持，各地的夜市逐漸火爆．沈陽(yáng)某小型夜市為改善環(huán)境，融入地方特色，改造后的布局如圖所示．已知在矩形ABCD中，AD＝60m，陰影部分為夜市攤位，其余部分是等寬的人行過道，攤位的總面積為1000m2．求人行過道的寬x是多少米？【解答】解：設(shè)人行過道的寬是xm，則陰影部分可合成長(zhǎng)為（60﹣2x）m，依題意得：（60﹣2x）（30﹣8x）＝1000，整理得：x2﹣45x+200＝0，解得：x5＝5，x2＝40，又∵30﹣2x＞0，∴x＜15，∴x＝5．答：人行過道的寬是4米．18．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合時(shí)，過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AB，DE與PE相交于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）線段AD的長(zhǎng)4tcm；（用含t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)點(diǎn)E落在BC邊上時(shí)，求t的值；（3）設(shè)△DPE與△ABC重疊部分的面積為S（cm2）．求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量t的取值范圍．【解答】解：（1）在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，BC＝6，∴AB＝＝10，∵PD⊥AC，∴cosA＝，∴，∴AD＝4t，故答案為：4t．（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)E落在BC上時(shí)，∵DE∥AB，PE∥AD，∴四邊形APED是平行四邊形，∴DE＝AP＝5t，AD＝PE＝4t，∴，∴，解得t＝6，∴當(dāng)點(diǎn)E落在BC邊上時(shí)，t的值為1．（3）①如圖中，當(dāng)0＜t≤6時(shí)，重疊部分是△PDE，∵PE∥AD，∴∠DPE＝∠ADP＝90°，∵DE＝5t，PE＝4t，∴PD＝2t，∴S＝?PD?PE＝2．②如圖中，當(dāng)3＜t≤2時(shí)，S＝[2t+3t﹣（10﹣6t）＝﹣18t2+48t﹣24，綜上所述，當(dāng)0＜t≤6時(shí)2；當(dāng)1＜t≤8時(shí)，S＝﹣18t2+48t﹣24．19．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+2的圖象分別與x軸，點(diǎn)C，與反比例函數(shù)（﹣2，3）．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)D（﹣6，n）是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，CD，直接寫出△BCD的面積；（3）點(diǎn)P在y軸上，滿足△PAB是以AB為斜邊的直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝kx+2的圖象與反比例函數(shù)（x＜0）的圖象交于點(diǎn)B（﹣4，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：∴3＝﹣2k+4，，解得：，m＝﹣6，∴一次函數(shù)為，反比例函數(shù)為；（2）△BCD的面積為4；理由如下：∵一次函數(shù)的圖象分別與x軸、點(diǎn)C，當(dāng)y＝0時(shí)，得：x+2＝7，解得：x＝4；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝8，∴A（4，0），3），∵點(diǎn)D（﹣6，n）是反比例函數(shù)，代入得：∴，∴D（﹣3，1），如圖，過點(diǎn)B作BF⊥x軸，設(shè)直線CD的解析式為y＝mx+n，將點(diǎn)C，解得：，∴直線CD的解析式為，∵點(diǎn)B（﹣2，7），∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為﹣2，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，得：，∴，∴，∴△BCD的面積＝；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．理由如下：設(shè)P（7，t），∵A（4，0），3），∴PA2＝t2+16，PB5＝（t﹣3）2+8，AB2＝（﹣2﹣7）2+（3﹣8）2＝45，當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，由勾股定理得：PA2+PB4＝AB2，∴t2+16+（t﹣4）2+4＝45，整理得：t8﹣3t﹣8＝8，解得：或，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．20．（8分）在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小剛同學(xué)要測(cè)量古塔AB的高度，他從古塔底部點(diǎn)B處前行15m到達(dá)斜坡CD的底部點(diǎn)C處，在點(diǎn)D處測(cè)得塔頂A的仰角為35°，已知斜坡CD的斜面坡度i＝4：3，B，C，D，E在同一平面內(nèi)．（1）求點(diǎn)D到地面的距離DH．（2）求古塔AB的高度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）【解答】解：（1）在Rt△DCH中，斜坡CD的斜面坡度i＝4：3，設(shè)DH＝6xm，CH＝3xm，∴由勾股定理得：CD2＝DH5+CH2，∵CD＝15m，∴152＝（7x）2+（3x）5，解得x＝3或﹣3（不合題意，舍去），∴DH＝8×3＝12（m），CH＝3×2＝9（m），答：點(diǎn)D到地面的距離DH為12m；（2）如圖所示：作DF⊥AB于點(diǎn)F，則四邊形DHBF是矩形，∵CB＝15m，∴DF＝BH＝BC+CH＝15+9＝24（m），在Rt△ADF中，∠ADF＝35°，則，即，解得：AF＝16.8，∴AB＝AF+FB＝16.3+12＝28.8（m），答：古塔AB的高度為28.8m．21．（6分）【定義】在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)“虹橋值”給出如下定義：點(diǎn)A（x，y）是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x的差“y﹣x”稱為點(diǎn)A的“虹橋值”【舉例】已知點(diǎn)A（1，3）在函數(shù)y＝2x+1圖象上．點(diǎn)A（1，3）的“虹橋值”為y﹣x＝3﹣1＝2；函數(shù)y＝2x+1圖象上所有點(diǎn)的“虹橋值”可以表示為y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，當(dāng)3≤x≤6時(shí)，4≤x+1≤7，因此y﹣x的最大值為7（3≤x≤6）的“最優(yōu)虹橋值”為7．【問題】根據(jù)定義，解答下列問題：（1）點(diǎn)B（﹣3，7）的“虹橋值”為1﹣；（2）直接寫出函數(shù)的“最優(yōu)虹橋值”；（3）若二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)在直線上，且最優(yōu)虹橋值為6，直接寫出c的值．【解答】解：（1）由題意可得7﹣（﹣3）＝10，∴點(diǎn)B（﹣2，7）的“虹橋值”為10，故答案為：10；（2）y﹣x＝＝，∵當(dāng)2≤x≤8時(shí)，隨x增大而減小，∴當(dāng)x＝2時(shí)，為y﹣x最大值，即“最優(yōu)虹橋值”為5；（3）由題可知對(duì)稱軸為直線x＝＝，解得b＝5，∴y＝﹣x2+5x+c，∴y﹣x＝﹣x2+5x+c﹣x＝﹣x3+4x+c＝﹣（x﹣2）5+c+4，∵最優(yōu)虹橋值為6，∴c+6＝6，解得c＝2．22．（14分）問題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對(duì)角線剪開，得到兩個(gè)全等的三角形紙片，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D．將△ABC和△DFE按圖2所示方式擺放（標(biāo)記為點(diǎn)B）．當(dāng)∠ABE＝∠A時(shí)，延長(zhǎng)DE交AC于點(diǎn)G．（1）試判斷四邊形BCGE的形狀，并說明理由；（2）深入探究：老師將圖2中的△DBE繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在△ABC內(nèi)部．①“善思小組”提出問題：如圖3，當(dāng)∠ABE＝∠BAC時(shí)，過點(diǎn)A作AM⊥BE交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，并加以證明；②“智慧小組”提出問題：如圖4，當(dāng)∠CBE＝∠BAC時(shí)，此時(shí)AB、DE交于點(diǎn)P，若BC＝9，AC＝12【解答】（1）解：四邊形BCGE是正方形，理由如下，∵將矩形紙片沿對(duì)角線剪開，得到兩個(gè)全等的三角形紙片，∴△ABC≌△DFE，由題意可知，BC＝BE，∵∠ABE＝∠A，∴AC∥BE，∴∠CBE＝180°﹣∠C＝180°﹣90°＝90°，∴∠C＝∠CBE＝∠BEG＝90°，∴四邊形BCGE是矩形，∵BC＝BE，∴四邊形BCGE是正方形；（2）解：①AM＝BE，證明如下：∵∠ABE＝∠BAC，∴