基于經(jīng)驗(yàn)似然的刪失線性模型統(tǒng)計診斷：理論、方法與應(yīng)用一、引言1.1研究背景與意義在社會生活的眾多領(lǐng)域，尤其是生存分析中，刪失線性模型扮演著舉足輕重的角色。生存分析作為統(tǒng)計學(xué)的重要分支，主要研究對象是“事件”和“壽命”，即從某個起始事件到終點(diǎn)事件所經(jīng)歷的時間。在實(shí)際研究中，由于各種因素的限制，我們常常無法觀測到研究對象完整的生存時間，從而產(chǎn)生了刪失數(shù)據(jù)。刪失數(shù)據(jù)按其類型可分為左刪失、右刪失、雙向刪失和區(qū)間刪失。例如在醫(yī)學(xué)臨床試驗(yàn)中，研究某種藥物對患者生存期的影響時，部分患者可能在研究結(jié)束前就已失訪，我們無法得知其確切的死亡時間，只能知道其生存時間大于最后一次觀測時間，這就產(chǎn)生了右刪失數(shù)據(jù)；又如在工業(yè)產(chǎn)品壽命測試中，由于測試時間的限制，部分產(chǎn)品在測試結(jié)束時仍未失效，同樣產(chǎn)生了右刪失數(shù)據(jù)。刪失線性模型相較于一般形式的線性模型，由于刪失數(shù)據(jù)所反映的信息存在缺失，導(dǎo)致其復(fù)雜度大幅增加。這使得通常的診斷理論難以直接應(yīng)用于刪失線性模型，給統(tǒng)計分析帶來了巨大挑戰(zhàn)。因此，尋求一種有效的方法來研究刪失線性模型的統(tǒng)計診斷問題顯得尤為必要。經(jīng)驗(yàn)似然方法作為一種非參數(shù)統(tǒng)計推斷方法，自O(shè)wen于1988年提出以來，憑借其諸多獨(dú)特優(yōu)勢，在統(tǒng)計領(lǐng)域得到了廣泛關(guān)注與應(yīng)用。該方法無需對總體分布做出具體假設(shè)，能夠充分利用樣本數(shù)據(jù)自身的信息，對模型的誤設(shè)具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性。這些優(yōu)點(diǎn)使得經(jīng)驗(yàn)似然方法在處理復(fù)雜數(shù)據(jù)和模型時展現(xiàn)出獨(dú)特的價值。將經(jīng)驗(yàn)似然方法應(yīng)用于刪失線性模型的統(tǒng)計診斷，為解決刪失數(shù)據(jù)帶來的問題提供了新的思路和途徑。通過經(jīng)驗(yàn)似然方法，我們能夠更加準(zhǔn)確地分析刪失線性模型，識別數(shù)據(jù)中的異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)，從而提高模型的可靠性和準(zhǔn)確性，為實(shí)際應(yīng)用提供更為可靠的理論支持和決策依據(jù)。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀刪失線性模型作為生存分析中的重要模型，在國內(nèi)外均受到了廣泛的研究關(guān)注。在國外，早期的研究主要集中在刪失數(shù)據(jù)的處理方法以及模型參數(shù)的估計上。例如，Kaplan和Meier于1958年提出了著名的Kaplan-Meier估計方法，用于處理右刪失數(shù)據(jù)下生存函數(shù)的估計問題，該方法無需對生存時間的分布做出假設(shè)，具有很強(qiáng)的實(shí)用性，為刪失數(shù)據(jù)的分析奠定了重要基礎(chǔ)。Cox在1972年提出了Cox比例風(fēng)險模型，這是一種半?yún)?shù)模型，能夠有效地處理刪失數(shù)據(jù)并分析多個協(xié)變量對生存時間的影響，成為生存分析領(lǐng)域的經(jīng)典模型，被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、生物學(xué)等多個領(lǐng)域。隨著研究的深入，學(xué)者們開始關(guān)注刪失線性模型的統(tǒng)計診斷問題。在異常點(diǎn)識別和強(qiáng)影響點(diǎn)分析方面，一些基于傳統(tǒng)統(tǒng)計方法的診斷技術(shù)被提出。例如，通過殘差分析來檢測數(shù)據(jù)中的異常點(diǎn)，利用Cook距離等統(tǒng)計量來衡量觀測值對模型參數(shù)估計的影響程度。然而，這些方法在處理刪失數(shù)據(jù)時存在一定的局限性，因?yàn)閯h失數(shù)據(jù)的存在使得數(shù)據(jù)的分布和結(jié)構(gòu)變得更加復(fù)雜，傳統(tǒng)方法難以準(zhǔn)確地識別出異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)。在國內(nèi)，刪失線性模型的研究也取得了顯著的進(jìn)展。許多學(xué)者致力于將國外的先進(jìn)理論和方法引入國內(nèi)，并結(jié)合實(shí)際問題進(jìn)行應(yīng)用和拓展。在參數(shù)估計方面，一些學(xué)者提出了改進(jìn)的估計方法，以提高估計的精度和穩(wěn)定性。例如，通過引入懲罰函數(shù)的方法，對刪失線性模型中的參數(shù)進(jìn)行估計，能夠有效地處理高維數(shù)據(jù)和多重共線性問題。在統(tǒng)計診斷方面，國內(nèi)學(xué)者也進(jìn)行了一系列的研究。他們針對刪失數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，提出了一些新的診斷方法和統(tǒng)計量。例如，基于經(jīng)驗(yàn)似然方法，構(gòu)造了適用于刪失線性模型的診斷統(tǒng)計量，通過該統(tǒng)計量來識別數(shù)據(jù)中的異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)，取得了較好的效果。經(jīng)驗(yàn)似然方法作為一種非參數(shù)統(tǒng)計推斷方法，自提出以來在國內(nèi)外得到了廣泛的應(yīng)用和研究。在國外，Owen首先將經(jīng)驗(yàn)似然方法應(yīng)用于總體均值的推斷，并隨后將其推廣到線性回歸模型的統(tǒng)計推斷中。此后，眾多學(xué)者將經(jīng)驗(yàn)似然方法應(yīng)用到各種統(tǒng)計模型，如廣義線性模型、部分線性模型、分位數(shù)回歸模型等。在處理刪失數(shù)據(jù)方面，國外學(xué)者也進(jìn)行了一些嘗試。例如，通過對刪失數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，將刪失線性模型轉(zhuǎn)換為可應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)似然方法的形式，從而實(shí)現(xiàn)對刪失線性模型的統(tǒng)計推斷。在國內(nèi)，經(jīng)驗(yàn)似然方法的研究也日益受到重視。學(xué)者們在理論研究方面取得了一系列的成果，包括對經(jīng)驗(yàn)似然方法的漸近性質(zhì)、相合性等方面的深入研究。在應(yīng)用方面，經(jīng)驗(yàn)似然方法被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的數(shù)據(jù)分析。在刪失線性模型的研究中，國內(nèi)學(xué)者結(jié)合經(jīng)驗(yàn)似然方法和刪失數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，提出了一些新的統(tǒng)計診斷方法和模型估計方法。例如，通過構(gòu)造基于經(jīng)驗(yàn)似然的估計方程，對刪失線性模型的參數(shù)進(jìn)行估計，并利用經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計量進(jìn)行模型檢驗(yàn)和診斷。盡管國內(nèi)外在刪失線性模型和經(jīng)驗(yàn)似然方法的研究上取得了豐碩的成果，但仍存在一些不足之處。一方面，現(xiàn)有的刪失線性模型統(tǒng)計診斷方法在處理復(fù)雜數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和高維數(shù)據(jù)時，效果仍有待提高，診斷的準(zhǔn)確性和可靠性需要進(jìn)一步增強(qiáng)。另一方面，經(jīng)驗(yàn)似然方法在計算效率和模型適應(yīng)性方面還存在一定的挑戰(zhàn)，如何進(jìn)一步優(yōu)化經(jīng)驗(yàn)似然方法的計算過程，使其能夠更好地應(yīng)用于大規(guī)模數(shù)據(jù)和復(fù)雜模型，是未來研究需要解決的問題。此外，將經(jīng)驗(yàn)似然方法與其他統(tǒng)計方法相結(jié)合，探索更加有效的刪失線性模型統(tǒng)計診斷方法，也是該領(lǐng)域的一個重要研究方向。1.3研究內(nèi)容與方法本文圍繞經(jīng)驗(yàn)似然方法在刪失線性模型統(tǒng)計診斷中的應(yīng)用展開深入研究，具體研究內(nèi)容如下：刪失線性模型的轉(zhuǎn)換：針對刪失線性模型中數(shù)據(jù)刪失導(dǎo)致信息缺失、診斷難度增加的問題，通過對刪失數(shù)據(jù)進(jìn)行合理變換，將刪失線性模型轉(zhuǎn)化為一般形式的線性模型。在這一過程中，詳細(xì)分析刪失數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，如右刪失數(shù)據(jù)中觀測值只知道大于某個特定值，而不知道其確切數(shù)值。根據(jù)這些特點(diǎn)，采用合適的數(shù)據(jù)變換方法，使得變換后的模型能夠適用于后續(xù)的經(jīng)驗(yàn)似然分析，為進(jìn)一步研究刪失線性模型的統(tǒng)計診斷奠定基礎(chǔ)?；诮?jīng)驗(yàn)似然的診斷方法構(gòu)建：在將刪失線性模型轉(zhuǎn)換為一般線性模型后，應(yīng)用基于估計方程的經(jīng)驗(yàn)似然方法來尋找模型中的異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)。首先，深入理解經(jīng)驗(yàn)似然方法的基本原理，即通過構(gòu)造經(jīng)驗(yàn)似然比函數(shù)，利用樣本數(shù)據(jù)自身的信息來進(jìn)行統(tǒng)計推斷，無需對總體分布做出具體假設(shè)。然后，根據(jù)估計方程的性質(zhì)，構(gòu)建基于經(jīng)驗(yàn)似然的診斷統(tǒng)計量，如經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計量。通過這些診斷統(tǒng)計量的計算和分析，來判斷數(shù)據(jù)點(diǎn)是否為異常點(diǎn)或強(qiáng)影響點(diǎn)。同時，證明這些通過經(jīng)驗(yàn)似然方法識別出的異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)同樣適用于原刪失模型，從而間接解決刪失線性模型的統(tǒng)計診斷問題。診斷方法的驗(yàn)證與分析：通過模擬計算和實(shí)例分析對基于經(jīng)驗(yàn)似然的刪失線性模型統(tǒng)計診斷方法的可行性和有效性進(jìn)行驗(yàn)證。在模擬計算部分，設(shè)定不同的模型參數(shù)和數(shù)據(jù)生成機(jī)制，生成大量的模擬刪失數(shù)據(jù)。對這些模擬數(shù)據(jù)應(yīng)用所提出的統(tǒng)計診斷方法，觀察診斷結(jié)果是否與預(yù)設(shè)的異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)相符，分析診斷方法在不同數(shù)據(jù)條件下的性能表現(xiàn)，如診斷的準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性等。在實(shí)例分析部分，選取實(shí)際的刪失數(shù)據(jù)案例，如醫(yī)學(xué)研究中的患者生存時間數(shù)據(jù)、工業(yè)生產(chǎn)中的產(chǎn)品壽命數(shù)據(jù)等。運(yùn)用構(gòu)建的診斷方法對實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，與其他傳統(tǒng)診斷方法的結(jié)果進(jìn)行對比，進(jìn)一步驗(yàn)證該方法在實(shí)際應(yīng)用中的優(yōu)勢和效果，為實(shí)際問題的解決提供有力的支持。本文綜合運(yùn)用理論分析、模擬計算和實(shí)例分析等多種研究方法，深入研究基于經(jīng)驗(yàn)似然的刪失線性模型的統(tǒng)計診斷問題。在理論分析方面，通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和證明，闡述刪失線性模型的轉(zhuǎn)換原理以及基于經(jīng)驗(yàn)似然的診斷方法的理論基礎(chǔ)；在模擬計算方面，利用計算機(jī)模擬生成大量數(shù)據(jù)，對診斷方法進(jìn)行全面的測試和評估；在實(shí)例分析方面，結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)案例，驗(yàn)證診斷方法的實(shí)際應(yīng)用效果，確保研究的科學(xué)性、可靠性和實(shí)用性。二、相關(guān)理論基礎(chǔ)2.1刪失線性模型概述2.1.1模型定義與分類刪失線性模型作為線性模型的一種拓展形式，在實(shí)際應(yīng)用中具有重要的地位。其一般定義為：在傳統(tǒng)線性模型y=X\beta+\epsilon的基礎(chǔ)上，由于觀測數(shù)據(jù)的刪失現(xiàn)象，導(dǎo)致我們無法完整地觀測到響應(yīng)變量y的真實(shí)值。其中，X是設(shè)計矩陣，\beta是回歸系數(shù)向量，\epsilon是隨機(jī)誤差項。刪失數(shù)據(jù)主要分為左刪失、右刪失、雙向刪失和區(qū)間刪失四種類型，它們在實(shí)際問題中有著不同的表現(xiàn)形式和產(chǎn)生原因。左刪失是指我們僅知道個體的生存時間小于某個觀測值，但具體的生存時間無法準(zhǔn)確得知。例如在醫(yī)學(xué)研究中，對于一些病情發(fā)展迅速的患者，可能在首次檢查時就已經(jīng)處于疾病的晚期階段，我們只能確定其患病時間小于首次檢查的時間，但具體何時患病并不清楚。右刪失則是個體的生存時間大于某個觀測值，這在實(shí)際研究中更為常見。如在藥物臨床試驗(yàn)中，部分患者在研究結(jié)束時仍然存活，我們無法獲取他們確切的死亡時間，只能知道他們的生存時間大于研究的持續(xù)時間。雙向刪失是指個體的生存時間被限制在兩個觀測值之間，既大于某個下限值，又小于某個上限值。這種情況在一些特殊的研究場景中可能會出現(xiàn)，比如在對某種珍稀動物的壽命研究中，由于觀測的困難，我們只能在特定的時間段內(nèi)對其進(jìn)行觀察，從而得到的生存時間數(shù)據(jù)可能存在雙向刪失。區(qū)間刪失是指個體的生存時間落在某個區(qū)間內(nèi)，但具體的時間點(diǎn)未知。例如在對電子產(chǎn)品的壽命測試中，由于測試設(shè)備的精度限制，我們只能確定產(chǎn)品的失效時間在某個時間段內(nèi)，而無法精確到具體的時刻。這些不同類型的刪失數(shù)據(jù)在實(shí)際問題中的出現(xiàn)，使得刪失線性模型的分析變得更加復(fù)雜，需要我們采用專門的方法來進(jìn)行處理。2.1.2模型特點(diǎn)與應(yīng)用場景刪失線性模型在數(shù)據(jù)特征和參數(shù)估計方面具有顯著的特點(diǎn)。從數(shù)據(jù)特征來看，由于刪失數(shù)據(jù)的存在，數(shù)據(jù)的分布不再是完整的，部分信息的缺失使得數(shù)據(jù)的分析難度增加。與普通線性模型中數(shù)據(jù)的完整性和連續(xù)性不同，刪失線性模型的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出不完整和截斷的特征，這對傳統(tǒng)的統(tǒng)計分析方法提出了挑戰(zhàn)。在參數(shù)估計方面，由于刪失數(shù)據(jù)的影響，使得參數(shù)估計不再像普通線性模型那樣直接和簡單。傳統(tǒng)的最小二乘法等估計方法在刪失數(shù)據(jù)下不再適用，需要采用更加復(fù)雜的估計方法，如最大似然估計、貝葉斯估計等，以充分利用有限的數(shù)據(jù)信息來準(zhǔn)確估計模型參數(shù)。刪失線性模型在醫(yī)療、生物、可靠性研究等眾多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用場景。在醫(yī)療領(lǐng)域，刪失線性模型常用于生存分析，研究患者在接受某種治療后的生存時間。例如，研究某種抗癌藥物對癌癥患者生存期的影響時，由于患者的失訪、研究時間的限制等因素，會產(chǎn)生大量的刪失數(shù)據(jù)。通過刪失線性模型，我們可以對這些包含刪失數(shù)據(jù)的生存時間進(jìn)行分析，評估藥物的療效，為臨床治療提供重要的參考依據(jù)。在生物領(lǐng)域，刪失線性模型可用于研究生物的壽命、生長周期等。比如在對某種昆蟲的壽命研究中，由于實(shí)驗(yàn)條件的限制，部分昆蟲可能在實(shí)驗(yàn)結(jié)束前逃脫或者死亡原因不明，導(dǎo)致我們無法獲取它們完整的壽命數(shù)據(jù)，此時刪失線性模型就可以幫助我們分析這些不完整的數(shù)據(jù)，揭示昆蟲壽命的相關(guān)規(guī)律。在可靠性研究中，刪失線性模型用于分析產(chǎn)品的壽命和可靠性。例如在電子產(chǎn)品的可靠性測試中，由于測試時間和成本的限制，部分產(chǎn)品在測試結(jié)束時仍未失效，這些未失效產(chǎn)品的數(shù)據(jù)就是刪失數(shù)據(jù)。利用刪失線性模型，我們可以對這些刪失數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，評估產(chǎn)品的可靠性，為產(chǎn)品的質(zhì)量改進(jìn)和設(shè)計優(yōu)化提供指導(dǎo)。這些應(yīng)用場景充分展示了刪失線性模型在處理實(shí)際問題中的重要性和實(shí)用性。2.2經(jīng)驗(yàn)似然方法原理2.2.1經(jīng)驗(yàn)似然基本概念經(jīng)驗(yàn)似然是一種非參數(shù)統(tǒng)計推斷方法，它利用樣本數(shù)據(jù)自身的信息來構(gòu)造似然函數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行參數(shù)估計和假設(shè)檢驗(yàn)。與傳統(tǒng)的參數(shù)似然方法不同，經(jīng)驗(yàn)似然無需對總體分布做出具體假設(shè)，這使得它在處理各種復(fù)雜的數(shù)據(jù)分布時具有更強(qiáng)的適應(yīng)性和穩(wěn)健性。在經(jīng)驗(yàn)似然中，假設(shè)我們有來自總體的獨(dú)立同分布樣本X_1,X_2,\cdots,X_n，總體分布函數(shù)為F(x)，參數(shù)\theta是F(x)的某個泛函，例如總體均值\mu=E(X)。經(jīng)驗(yàn)似然方法通過構(gòu)造一個與參數(shù)\theta有關(guān)的似然函數(shù)，使得在給定樣本數(shù)據(jù)下，這個似然函數(shù)達(dá)到最大值。具體來說，對于每個樣本點(diǎn)X_i，賦予其一個權(quán)重p_i，滿足\sum_{i=1}^{n}p_i=1且p_i\geq0，i=1,2,\cdots,n。然后構(gòu)造經(jīng)驗(yàn)似然比函數(shù)：L(\theta)=\sup\left\{\prod_{i=1}^{n}p_i:\sum_{i=1}^{n}p_ih(X_i,\theta)=0,\sum_{i=1}^{n}p_i=1,p_i\geq0,i=1,\cdots,n\right\}其中h(X_i,\theta)是一個與參數(shù)\theta和樣本點(diǎn)X_i相關(guān)的函數(shù)，通常是基于估計方程構(gòu)建的。例如，在估計總體均值\mu時，h(X_i,\mu)=X_i-\mu。為了求解經(jīng)驗(yàn)似然比函數(shù)的最大值，通常會引入拉格朗日乘數(shù)法。設(shè)拉格朗日函數(shù)為：\mathcal{L}(p_1,\cdots,p_n,\lambda)=\prod_{i=1}^{n}p_i+\lambda\left(\sum_{i=1}^{n}p_ih(X_i,\theta)\right)+\gamma\left(\sum_{i=1}^{n}p_i-1\right)其中\(zhòng)lambda和\gamma是拉格朗日乘數(shù)。對\mathcal{L}分別關(guān)于p_i、\lambda和\gamma求偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)為0，得到一組方程組，通過求解該方程組，可以得到使得經(jīng)驗(yàn)似然比函數(shù)最大的p_i值，進(jìn)而得到參數(shù)\theta的經(jīng)驗(yàn)似然估計值。在實(shí)際應(yīng)用中，為了計算方便，常常使用對數(shù)經(jīng)驗(yàn)似然比函數(shù)：l(\theta)=2\lnL(\theta)對數(shù)經(jīng)驗(yàn)似然比函數(shù)具有一些良好的性質(zhì)，它在大樣本情況下具有漸近\chi^2分布，這為基于經(jīng)驗(yàn)似然的假設(shè)檢驗(yàn)和置信區(qū)間構(gòu)造提供了理論基礎(chǔ)。例如，在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時，原假設(shè)為H_0:\theta=\theta_0，備擇假設(shè)為H_1:\theta\neq\theta_0，可以構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計量l(\theta_0)，當(dāng)原假設(shè)成立時，在大樣本下l(\theta_0)近似服從自由度為k的\chi^2分布，其中k是參數(shù)\theta的維數(shù)。根據(jù)\chi^2分布的性質(zhì)，可以確定拒絕域，從而判斷是否拒絕原假設(shè)。2.2.2經(jīng)驗(yàn)似然在統(tǒng)計推斷中的優(yōu)勢與傳統(tǒng)的參數(shù)統(tǒng)計方法相比，經(jīng)驗(yàn)似然方法在統(tǒng)計推斷中展現(xiàn)出多方面的顯著優(yōu)勢。首先，經(jīng)驗(yàn)似然無需對總體分布作嚴(yán)格假設(shè)。在實(shí)際應(yīng)用中，我們往往難以確切知曉總體數(shù)據(jù)的分布形式，傳統(tǒng)參數(shù)方法通常假定數(shù)據(jù)服從某種特定分布，如正態(tài)分布、泊松分布等，一旦假設(shè)與實(shí)際不符，可能導(dǎo)致推斷結(jié)果出現(xiàn)偏差。例如，在金融市場數(shù)據(jù)的分析中，資產(chǎn)收益率的分布往往呈現(xiàn)出尖峰厚尾的特征，并不完全符合正態(tài)分布假設(shè)，此時若使用基于正態(tài)分布假設(shè)的傳統(tǒng)參數(shù)方法進(jìn)行統(tǒng)計推斷，結(jié)果可能不準(zhǔn)確。而經(jīng)驗(yàn)似然方法不受這些假設(shè)的限制，它直接從樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，通過構(gòu)造經(jīng)驗(yàn)似然比函數(shù)來進(jìn)行推斷，能夠充分利用樣本的信息，對各種復(fù)雜的數(shù)據(jù)分布都具有較好的適應(yīng)性，從而提高了統(tǒng)計推斷的穩(wěn)健性和可靠性。其次，經(jīng)驗(yàn)似然方法保持變換不變性。這意味著如果對數(shù)據(jù)進(jìn)行某種可逆變換，基于經(jīng)驗(yàn)似然的推斷結(jié)果不會受到影響。假設(shè)我們對樣本數(shù)據(jù)X進(jìn)行變換Y=g(X)，其中g(shù)(\cdot)是一個可逆函數(shù)。對于參數(shù)\theta的經(jīng)驗(yàn)似然推斷，無論是基于原始數(shù)據(jù)X還是變換后的數(shù)據(jù)Y，得到的結(jié)果都是一致的。這種變換不變性在實(shí)際應(yīng)用中非常重要，它保證了經(jīng)驗(yàn)似然方法在不同的數(shù)據(jù)處理方式下都能給出穩(wěn)定可靠的推斷結(jié)果，增強(qiáng)了方法的通用性和實(shí)用性。再者，經(jīng)驗(yàn)似然方法構(gòu)造的置信域形狀由數(shù)據(jù)決定，無需預(yù)先給定。傳統(tǒng)的參數(shù)方法在構(gòu)造置信區(qū)間時，通?；谀撤N特定分布假設(shè)下的理論公式，其置信區(qū)間的形狀往往是固定的，如正態(tài)分布下的置信區(qū)間是對稱的。然而，實(shí)際數(shù)據(jù)的分布可能非常復(fù)雜，固定形狀的置信區(qū)間可能無法準(zhǔn)確反映參數(shù)的真實(shí)不確定性。經(jīng)驗(yàn)似然方法通過樣本數(shù)據(jù)自身的信息來確定置信域的形狀，能夠更好地適應(yīng)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，提供更準(zhǔn)確的置信區(qū)間估計。例如，在對生物醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時，由于數(shù)據(jù)受到多種因素的影響，其分布可能呈現(xiàn)出非對稱、多峰等復(fù)雜特征，經(jīng)驗(yàn)似然方法構(gòu)造的置信域能夠根據(jù)這些數(shù)據(jù)特征進(jìn)行調(diào)整，更準(zhǔn)確地描述參數(shù)的可能取值范圍。與非參數(shù)方法相比，經(jīng)驗(yàn)似然方法在某些方面也具有優(yōu)勢。雖然非參數(shù)方法同樣不依賴于總體分布假設(shè)，但一些傳統(tǒng)非參數(shù)方法在處理高維數(shù)據(jù)時計算復(fù)雜度較高，且在小樣本情況下性能可能不佳。經(jīng)驗(yàn)似然方法通過巧妙地構(gòu)造似然函數(shù)，在一定程度上緩解了這些問題，在小樣本和高維數(shù)據(jù)情況下仍能保持較好的性能。此外，經(jīng)驗(yàn)似然方法能夠提供類似于參數(shù)似然的推斷結(jié)果，使得推斷過程更加直觀和易于解釋，這對于實(shí)際應(yīng)用中的決策制定具有重要意義。2.3統(tǒng)計診斷相關(guān)概念與方法2.3.1異常點(diǎn)與強(qiáng)影響點(diǎn)異常點(diǎn)是指在數(shù)據(jù)集中，與其他數(shù)據(jù)點(diǎn)的特征或分布明顯不同的數(shù)據(jù)點(diǎn)。在統(tǒng)計學(xué)中，異常點(diǎn)通常表現(xiàn)為殘差較大的數(shù)據(jù)點(diǎn)，即實(shí)際觀測值與模型預(yù)測值之間的差異較大。以簡單線性回歸模型y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon為例，假設(shè)我們有一組數(shù)據(jù)點(diǎn)(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)，通過最小二乘法擬合得到回歸直線。如果某個數(shù)據(jù)點(diǎn)(x_i,y_i)使得殘差e_i=y_i-(\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x_i)的絕對值明顯大于其他數(shù)據(jù)點(diǎn)的殘差，那么該數(shù)據(jù)點(diǎn)就可能是異常點(diǎn)。強(qiáng)影響點(diǎn)則是對模型參數(shù)估計和模型擬合有較大影響的數(shù)據(jù)點(diǎn)。如果刪除某個強(qiáng)影響點(diǎn)，會導(dǎo)致模型的參數(shù)估計值發(fā)生顯著變化，或者模型的擬合效果有明顯改變。在上述簡單線性回歸模型中，當(dāng)某個數(shù)據(jù)點(diǎn)(x_j,y_j)是強(qiáng)影響點(diǎn)時，刪除該點(diǎn)后重新擬合回歸直線，新的回歸系數(shù)\hat{\beta}_0'和\hat{\beta}_1'與包含該點(diǎn)時的回歸系數(shù)\hat{\beta}_0和\hat{\beta}_1會有較大差異。為了更直觀地理解兩者的區(qū)別與聯(lián)系，我們可以通過一個簡單的數(shù)據(jù)分布案例來進(jìn)行說明。假設(shè)有一組二維數(shù)據(jù)，橫坐標(biāo)為自變量x，縱坐標(biāo)為因變量y，大部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)呈現(xiàn)出一種線性趨勢，如圖1中藍(lán)色點(diǎn)所示。然而，在數(shù)據(jù)集中存在一個紅色點(diǎn)，其橫坐標(biāo)x的值相對較大，縱坐標(biāo)y的值也偏離了其他數(shù)據(jù)點(diǎn)所呈現(xiàn)的線性趨勢。從殘差角度來看，該紅色點(diǎn)的殘差明顯大于其他藍(lán)色點(diǎn)，因此它是一個異常點(diǎn)。當(dāng)我們考慮該紅色點(diǎn)對模型的影響時，若將其納入模型進(jìn)行擬合，會使得回歸直線向該點(diǎn)的方向偏移，從而改變回歸直線的斜率和截距。當(dāng)刪除該紅色點(diǎn)后重新擬合模型，回歸直線會更接近其他藍(lán)色點(diǎn)所呈現(xiàn)的線性趨勢，回歸系數(shù)也會發(fā)生明顯變化，這表明該紅色點(diǎn)是一個強(qiáng)影響點(diǎn)。這個案例說明，在某些情況下，異常點(diǎn)可能同時也是強(qiáng)影響點(diǎn)，因?yàn)樗拇嬖诓粌H使得自身的殘差較大，還對模型的整體擬合和參數(shù)估計產(chǎn)生了顯著影響。但需要注意的是，異常點(diǎn)并不一定都是強(qiáng)影響點(diǎn)。在某些情況下，雖然某個數(shù)據(jù)點(diǎn)的殘差較大，但由于數(shù)據(jù)集的規(guī)模較大或者其他數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布特點(diǎn)，該點(diǎn)對模型參數(shù)估計的影響可能并不顯著，此時它只是一個異常點(diǎn)而非強(qiáng)影響點(diǎn)。同樣，強(qiáng)影響點(diǎn)也不一定都是異常點(diǎn)，有些數(shù)據(jù)點(diǎn)可能由于其在自變量空間中的特殊位置，對模型參數(shù)估計有較大影響，但它的殘差并不一定很大，因此不是異常點(diǎn)。2.3.2常用統(tǒng)計診斷方法介紹學(xué)生化殘差是一種常用的異常點(diǎn)檢測統(tǒng)計量。在普通線性回歸模型中，殘差e_i=y_i-\hat{y}_i，其中y_i是第i個觀測值的實(shí)際值，\hat{y}_i是根據(jù)模型預(yù)測的值。學(xué)生化殘差則是對殘差進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化處理，消除了殘差方差不一致的影響。其計算公式為：r_i=\frac{e_i}{\hat{\sigma}\sqrt{1-h_{ii}}}其中\(zhòng)hat{\sigma}是殘差標(biāo)準(zhǔn)差的估計值，h_{ii}是帽子矩陣H=X(X^TX)^{-1}X^T的第i個對角元素，反映了第i個觀測值在自變量空間中的位置對擬合值的影響程度。通常情況下，如果某個觀測值的學(xué)生化殘差的絕對值大于某個臨界值（如3），則可以認(rèn)為該觀測值可能是異常點(diǎn)。這是因?yàn)樵谡龖B(tài)分布假設(shè)下，學(xué)生化殘差絕對值大于3的概率非常小，如果出現(xiàn)這樣的數(shù)據(jù)點(diǎn)，很可能它不屬于正常的數(shù)據(jù)分布，而是異常點(diǎn)。Cook距離是一種用于衡量觀測值對模型參數(shù)估計影響程度的統(tǒng)計量。它綜合考慮了觀測值的殘差和杠桿值（即帽子矩陣的對角元素h_{ii}）。Cook距離的計算公式為：D_i=\frac{r_i^2}{p+1}\frac{h_{ii}}{1-h_{ii}}其中r_i是第i個觀測值的學(xué)生化殘差，p是模型中回歸系數(shù)的個數(shù)（包括截距項）。Cook距離越大，說明該觀測值對模型參數(shù)估計的影響越大。當(dāng)某個觀測值的Cook距離大于某個臨界值（如4/(n-p)，其中n是樣本量）時，通常認(rèn)為該觀測值是強(qiáng)影響點(diǎn)。這是因?yàn)檩^大的Cook距離表示該觀測值不僅殘差較大，而且在自變量空間中的位置也比較特殊，對模型的影響較為顯著。局部影響分析是一種更全面地評估觀測值對模型影響的方法。它通過對模型中的某些元素（如響應(yīng)變量、參數(shù)等）進(jìn)行微小擾動，觀察模型參數(shù)估計或其他統(tǒng)計量的變化情況，從而確定哪些觀測值對模型的影響較大。在局部影響分析中，常用的擾動方式包括加權(quán)擾動和響應(yīng)變量擾動。以加權(quán)擾動為例，假設(shè)原模型為y=X\beta+\epsilon，對第i個觀測值的權(quán)重進(jìn)行擾動，得到擾動后的模型y^*=X\beta+\epsilon^*，其中\(zhòng)epsilon^*的方差-協(xié)方差矩陣為\text{diag}(1,\cdots,1+\omega_i,\cdots,1)\sigma^2，\omega_i是擾動參數(shù)。通過分析擾動前后模型參數(shù)估計的變化，得到影響矩陣，進(jìn)而確定強(qiáng)影響點(diǎn)。局部影響分析能夠考慮到多個觀測值之間的相互作用，對于識別復(fù)雜數(shù)據(jù)集中的強(qiáng)影響點(diǎn)具有較好的效果。三、基于經(jīng)驗(yàn)似然的刪失線性模型統(tǒng)計診斷方法構(gòu)建3.1數(shù)據(jù)變換與模型轉(zhuǎn)換3.1.1刪失數(shù)據(jù)處理方法在刪失線性模型中，右刪失數(shù)據(jù)是較為常見且處理相對復(fù)雜的一種刪失類型。針對右刪失數(shù)據(jù)，本文采用墊高未刪失數(shù)據(jù)的方法進(jìn)行處理，以實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的有效轉(zhuǎn)換，為后續(xù)的統(tǒng)計分析奠定基礎(chǔ)。假設(shè)我們有一組包含右刪失數(shù)據(jù)的樣本(y_i,\mathbf{x}_i)，i=1,2,\cdots,n，其中y_i為響應(yīng)變量，\mathbf{x}_i為對應(yīng)的協(xié)變量向量。對于右刪失數(shù)據(jù)，我們僅知道其真實(shí)值y_i^*大于觀測值y_i，即y_i^*\gty_i。墊高未刪失數(shù)據(jù)的具體步驟如下：確定墊高規(guī)則：對于每個右刪失觀測值y_i，我們需要確定一個墊高值y_{i}^{new}。一種常見的方法是根據(jù)數(shù)據(jù)的分布特征和已有信息來確定墊高值。例如，可以采用基于生存函數(shù)估計的方法，假設(shè)生存函數(shù)為S(t)，則可以根據(jù)S(y_i)的值來確定墊高值。若S(y_i)表示在時間y_i時個體仍然存活的概率，那么我們可以選擇一個大于y_i的值y_{i}^{new}，使得S(y_{i}^{new})滿足一定的條件。一種簡單的做法是，令y_{i}^{new}=y_i+\Delta，其中\(zhòng)Delta是一個根據(jù)數(shù)據(jù)情況確定的正數(shù)。例如，在醫(yī)學(xué)生存分析中，若數(shù)據(jù)是以月為單位記錄生存時間，我們可以根據(jù)已有研究或經(jīng)驗(yàn)，將\Delta設(shè)定為1個月，即對于右刪失數(shù)據(jù)，將其觀測值墊高1個月。執(zhí)行墊高操作：對每個右刪失觀測值按照確定的墊高規(guī)則進(jìn)行處理，得到新的數(shù)據(jù)集(y_{i}^{new},\mathbf{x}_i)。經(jīng)過這一步驟，原本的右刪失數(shù)據(jù)被轉(zhuǎn)換為了完整數(shù)據(jù)，使得我們可以采用更常規(guī)的統(tǒng)計方法進(jìn)行分析。然而，需要注意的是，這種墊高操作會引入一定的不確定性，因?yàn)槲覀儾⒉恢烙覄h失數(shù)據(jù)的真實(shí)值，墊高值只是一種近似。為了盡量減少這種不確定性對分析結(jié)果的影響，我們在選擇墊高值時需要充分考慮數(shù)據(jù)的特征和實(shí)際背景。驗(yàn)證與調(diào)整：在完成墊高操作后，需要對新得到的數(shù)據(jù)集進(jìn)行驗(yàn)證，檢查數(shù)據(jù)的合理性和一致性?？梢酝ㄟ^繪制數(shù)據(jù)分布圖、計算相關(guān)統(tǒng)計量等方式來進(jìn)行驗(yàn)證。如果發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)存在異?；虿缓侠淼那闆r，需要對墊高規(guī)則進(jìn)行調(diào)整，重新執(zhí)行墊高操作，直到得到滿意的數(shù)據(jù)集。以一個簡單的醫(yī)學(xué)生存分析數(shù)據(jù)集為例，假設(shè)我們有100個患者的生存時間數(shù)據(jù)，其中20個患者的數(shù)據(jù)為右刪失。在原始數(shù)據(jù)中，這些右刪失患者的生存時間只知道大于最后一次觀測時間。通過上述墊高未刪失數(shù)據(jù)的方法，我們根據(jù)醫(yī)學(xué)研究的經(jīng)驗(yàn)，將右刪失患者的生存時間墊高1個月。經(jīng)過處理后，原本包含右刪失數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)集被轉(zhuǎn)換為了完整數(shù)據(jù)集，為后續(xù)的線性模型分析提供了便利。3.1.2轉(zhuǎn)換為一般線性模型的過程通過對刪失數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后，接下來需要將刪失線性模型轉(zhuǎn)化為一般形式的線性模型，以便后續(xù)應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)似然方法進(jìn)行統(tǒng)計診斷。假設(shè)刪失線性模型的原始形式為：y_i=\mathbf{x}_i^T\beta+\epsilon_i,\quadi=1,2,\cdots,n其中，y_i是響應(yīng)變量，\mathbf{x}_i是p維協(xié)變量向量，\beta是p維回歸系數(shù)向量，\epsilon_i是隨機(jī)誤差項，且滿足E(\epsilon_i)=0，Var(\epsilon_i)=\sigma^2。由于存在刪失數(shù)據(jù)，我們通過前面介紹的數(shù)據(jù)變換方法，將右刪失數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，得到新的響應(yīng)變量y_{i}^{new}。此時，我們可以將模型改寫為：y_{i}^{new}=\mathbf{x}_i^T\beta+\epsilon_{i}^{new}其中\(zhòng)epsilon_{i}^{new}是經(jīng)過數(shù)據(jù)變換后新的誤差項。為了將其轉(zhuǎn)化為一般線性模型的標(biāo)準(zhǔn)形式，我們定義\mathbf{X}為n\timesp的設(shè)計矩陣，其第i行是\mathbf{x}_i^T；\mathbf{y}^{new}為n維向量，其第i個元素是y_{i}^{new}；\boldsymbol{\epsilon}^{new}為n維誤差向量，其第i個元素是\epsilon_{i}^{new}。則轉(zhuǎn)換后的一般線性模型可以表示為：\mathbf{y}^{new}=\mathbf{X}\beta+\boldsymbol{\epsilon}^{new}下面通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)來詳細(xì)說明這個轉(zhuǎn)換過程：對于原始模型y_i=\mathbf{x}_i^T\beta+\epsilon_i，當(dāng)存在右刪失數(shù)據(jù)時，假設(shè)右刪失數(shù)據(jù)經(jīng)過墊高處理后變?yōu)閥_{i}^{new}。根據(jù)墊高的原理，y_{i}^{new}與y_i以及原始的誤差項\epsilon_i之間存在一定的關(guān)系。y_{i}^{new}=y_i+\Delta將y_i=\mathbf{x}_i^T\beta+\epsilon_i代入上式可得：y_{i}^{new}=\mathbf{x}_i^T\beta+\epsilon_i+\Delta令\epsilon_{i}^{new}=\epsilon_i+\Delta，則得到y(tǒng)_{i}^{new}=\mathbf{x}_i^T\beta+\epsilon_{i}^{new}。從向量和矩陣的角度來看，將所有樣本的上述關(guān)系組合起來，就得到了\mathbf{y}^{new}=\mathbf{X}\beta+\boldsymbol{\epsilon}^{new}，完成了從刪失線性模型到一般線性模型的轉(zhuǎn)換。通過這樣的轉(zhuǎn)換，我們將原本復(fù)雜的刪失線性模型轉(zhuǎn)化為了一般形式的線性模型，使得我們可以利用已有的線性模型理論和方法進(jìn)行后續(xù)的分析，為基于經(jīng)驗(yàn)似然的統(tǒng)計診斷方法的應(yīng)用提供了基礎(chǔ)。3.2基于估計方程的經(jīng)驗(yàn)似然診斷方法3.2.1估計方程的建立對于轉(zhuǎn)換后的一般線性模型\mathbf{y}^{new}=\mathbf{X}\beta+\boldsymbol{\epsilon}^{new}，我們的目標(biāo)是通過建立合適的估計方程來準(zhǔn)確估計回歸系數(shù)\beta。根據(jù)線性模型的基本性質(zhì)，我們可以利用最小二乘法的思想來構(gòu)建估計方程。最小二乘法的核心是使殘差平方和最小，即S(\beta)=\sum_{i=1}^{n}(\mathbf{y}_{i}^{new}-\mathbf{x}_{i}^{T}\beta)^2達(dá)到最小。對S(\beta)關(guān)于\beta求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，可得到正規(guī)方程：\sum_{i=1}^{n}\mathbf{x}_{i}(\mathbf{y}_{i}^{new}-\mathbf{x}_{i}^{T}\beta)=0展開這個方程，我們有：\sum_{i=1}^{n}\mathbf{x}_{i}\mathbf{y}_{i}^{new}-\sum_{i=1}^{n}\mathbf{x}_{i}\mathbf{x}_{i}^{T}\beta=0進(jìn)一步整理可得：\mathbf{X}^{T}\mathbf{y}^{new}-\mathbf{X}^{T}\mathbf{X}\beta=0這就是基于最小二乘法建立的估計方程，它反映了模型中數(shù)據(jù)點(diǎn)與回歸系數(shù)之間的關(guān)系。通過求解這個估計方程，我們可以得到回歸系數(shù)\beta的估計值。從理論上來說，這個估計方程是基于最小二乘法的最優(yōu)解條件推導(dǎo)出來的。在滿足一定的假設(shè)條件下，如誤差項\boldsymbol{\epsilon}^{new}滿足均值為0、方差為\sigma^2且相互獨(dú)立等條件時，通過求解該估計方程得到的\beta估計值具有良好的統(tǒng)計性質(zhì)，如無偏性、一致性和有效性等。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，由于數(shù)據(jù)的復(fù)雜性和不確定性，我們還需要對這個估計方程進(jìn)行進(jìn)一步的分析和驗(yàn)證。例如，我們需要檢查數(shù)據(jù)是否存在異常值或多重共線性等問題，這些問題可能會影響估計方程的求解和估計結(jié)果的準(zhǔn)確性。如果存在多重共線性，即設(shè)計矩陣\mathbf{X}的列向量之間存在線性相關(guān)關(guān)系，那么\mathbf{X}^{T}\mathbf{X}可能接近奇異，導(dǎo)致估計方程的解不穩(wěn)定。此時，我們可能需要采取一些方法來處理多重共線性問題，如主成分回歸、嶺回歸等，以確保估計方程能夠準(zhǔn)確地反映數(shù)據(jù)的特征和模型的參數(shù)。3.2.2經(jīng)驗(yàn)似然函數(shù)的構(gòu)造基于上述建立的估計方程，我們可以構(gòu)造經(jīng)驗(yàn)似然函數(shù)。經(jīng)驗(yàn)似然方法的關(guān)鍵在于通過構(gòu)造一個與參數(shù)相關(guān)的似然函數(shù)，利用樣本數(shù)據(jù)自身的信息來進(jìn)行統(tǒng)計推斷。對于轉(zhuǎn)換后的線性模型\mathbf{y}^{new}=\mathbf{X}\beta+\boldsymbol{\epsilon}^{new}，我們定義經(jīng)驗(yàn)似然函數(shù)如下：L(\beta)=\prod_{i=1}^{n}p_i其中p_i是與第i個樣本點(diǎn)相關(guān)的權(quán)重，且滿足\sum_{i=1}^{n}p_i=1，p_i\geq0，i=1,\cdots,n。這些權(quán)重p_i反映了每個樣本點(diǎn)在似然函數(shù)中的相對重要性。為了使經(jīng)驗(yàn)似然函數(shù)與估計方程建立聯(lián)系，我們引入約束條件。根據(jù)估計方程\mathbf{X}^{T}\mathbf{y}^{new}-\mathbf{X}^{T}\mathbf{X}\beta=0，我們可以得到：\sum_{i=1}^{n}p_i\mathbf{x}_{i}(\mathbf{y}_{i}^{new}-\mathbf{x}_{i}^{T}\beta)=0這個約束條件確保了經(jīng)驗(yàn)似然函數(shù)在滿足估計方程的前提下進(jìn)行構(gòu)造，使得經(jīng)驗(yàn)似然方法能夠有效地利用數(shù)據(jù)信息進(jìn)行參數(shù)估計。在構(gòu)造經(jīng)驗(yàn)似然函數(shù)時，我們還需要對一些假設(shè)進(jìn)行說明。首先，假設(shè)樣本(\mathbf{x}_{i},\mathbf{y}_{i}^{new})是獨(dú)立同分布的，這是經(jīng)驗(yàn)似然方法的一個基本假設(shè)。在這個假設(shè)下，每個樣本點(diǎn)都具有相同的分布特征，并且相互之間沒有依賴關(guān)系，從而可以獨(dú)立地對參數(shù)估計提供信息。其次，假設(shè)誤差項\boldsymbol{\epsilon}^{new}具有一定的分布特征，如均值為0、方差為\sigma^2等。這些假設(shè)雖然在一定程度上簡化了問題的分析，但在實(shí)際應(yīng)用中需要根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證和調(diào)整。例如，在實(shí)際數(shù)據(jù)中，如果樣本點(diǎn)之間存在一定的相關(guān)性，那么獨(dú)立同分布的假設(shè)可能不成立，此時需要考慮使用一些方法來處理相關(guān)性，如引入相關(guān)結(jié)構(gòu)或采用時間序列分析等方法。同樣，如果誤差項的分布與假設(shè)不符，如存在異方差性，即誤差項的方差不是常數(shù)，那么可能需要對模型進(jìn)行修正，如采用加權(quán)最小二乘法或廣義線性模型等方法來處理異方差問題，以保證經(jīng)驗(yàn)似然函數(shù)的有效性和估計結(jié)果的準(zhǔn)確性。3.2.3求解經(jīng)驗(yàn)似然估計與診斷統(tǒng)計量為了求解經(jīng)驗(yàn)似然估計，我們通常采用拉格朗日乘子法。設(shè)拉格朗日函數(shù)為：\mathcal{L}(p_1,\cdots,p_n,\lambda,\gamma)=\prod_{i=1}^{n}p_i+\lambda^T\left(\sum_{i=1}^{n}p_i\mathbf{x}_{i}(\mathbf{y}_{i}^{new}-\mathbf{x}_{i}^{T}\beta)\right)+\gamma\left(\sum_{i=1}^{n}p_i-1\right)其中\(zhòng)lambda是與估計方程約束條件相關(guān)的拉格朗日乘子向量，\gamma是與權(quán)重和為1約束條件相關(guān)的拉格朗日乘子。對\mathcal{L}分別關(guān)于p_i、\lambda和\gamma求偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)為0，得到以下方程組：\begin{cases}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partialp_i}=\frac{1}{p_i}+\lambda^T\mathbf{x}_{i}(\mathbf{y}_{i}^{new}-\mathbf{x}_{i}^{T}\beta)+\gamma=0,&i=1,\cdots,n\\\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}=\sum_{i=1}^{n}p_i\mathbf{x}_{i}(\mathbf{y}_{i}^{new}-\mathbf{x}_{i}^{T}\beta)=0\\\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\gamma}=\sum_{i=1}^{n}p_i-1=0\end{cases}解這個方程組，可以得到p_i、\lambda和\gamma的解，進(jìn)而得到回歸系數(shù)\beta的經(jīng)驗(yàn)似然估計值\hat{\beta}_{EL}。在得到經(jīng)驗(yàn)似然估計后，我們可以推導(dǎo)診斷統(tǒng)計量來進(jìn)行模型的診斷分析。常用的診斷統(tǒng)計量是經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計量，其定義為：R=-2\ln\frac{L(\hat{\beta}_{0})}{L(\hat{\beta}_{EL})}其中\(zhòng)hat{\beta}_{0}是在原假設(shè)下的參數(shù)估計值，\hat{\beta}_{EL}是通過經(jīng)驗(yàn)似然方法得到的參數(shù)估計值。從理論上來說，在原假設(shè)成立的條件下，當(dāng)樣本量n足夠大時，經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計量R漸近服從自由度為k的\chi^2分布，其中k是參數(shù)\beta的維數(shù)。這一性質(zhì)為我們利用經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)和模型診斷提供了理論依據(jù)。例如，在檢驗(yàn)?zāi)硞€觀測值是否為異常點(diǎn)時，我們可以將該觀測值從數(shù)據(jù)集中剔除，重新計算經(jīng)驗(yàn)似然估計和經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計量。如果剔除該觀測值后，經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計量R的值顯著增大，超過了\chi^2分布的臨界值，那么就可以認(rèn)為該觀測值是異常點(diǎn)，因?yàn)樗拇嬖趯δＰ蛥?shù)的估計產(chǎn)生了較大的影響。同樣，在分析某個觀測值是否為強(qiáng)影響點(diǎn)時，也可以通過類似的方法，觀察剔除該觀測值后模型參數(shù)估計的變化以及經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計量的變化情況，來判斷該觀測值對模型的影響程度。3.3異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)的識別3.3.1診斷統(tǒng)計量的閾值確定確定判斷異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)的診斷統(tǒng)計量閾值是進(jìn)行有效識別的關(guān)鍵步驟。我們可以通過模擬研究和理論分析這兩種主要途徑來實(shí)現(xiàn)。模擬研究是一種直觀且有效的方法。通過設(shè)定不同的模型參數(shù)和數(shù)據(jù)生成機(jī)制，利用計算機(jī)模擬生成大量的刪失線性模型數(shù)據(jù)。例如，設(shè)定回歸系數(shù)向量\beta的不同取值，隨機(jī)誤差項\epsilon服從不同分布（如正態(tài)分布、均勻分布等），以及不同的刪失比例，生成一系列的模擬數(shù)據(jù)集。對于每個模擬數(shù)據(jù)集，計算經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計量等診斷統(tǒng)計量的值。然后，根據(jù)預(yù)先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)，如將數(shù)據(jù)集中的某些點(diǎn)人為設(shè)定為異常點(diǎn)或強(qiáng)影響點(diǎn)，觀察診斷統(tǒng)計量在這些點(diǎn)上的值與其他正常點(diǎn)的值的差異。通過對大量模擬數(shù)據(jù)集的分析，確定一個合適的閾值，使得在這個閾值之上的數(shù)據(jù)點(diǎn)有較高的概率被判定為異常點(diǎn)或強(qiáng)影響點(diǎn)。例如，在多次模擬中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計量的值大于某個特定值c時，被人為設(shè)定為異常點(diǎn)的數(shù)據(jù)點(diǎn)被正確識別的概率較高，同時誤判正常點(diǎn)為異常點(diǎn)的概率較低，那么就可以初步將c作為診斷統(tǒng)計量的閾值。理論分析則從數(shù)學(xué)原理的角度出發(fā)，利用統(tǒng)計學(xué)中的漸近理論來確定閾值。在大樣本情況下，經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計量R漸近服從自由度為k的\chi^2分布，其中k是參數(shù)\beta的維數(shù)。根據(jù)\chi^2分布的性質(zhì)，我們可以確定一個顯著性水平\alpha（如常見的\alpha=0.05），然后通過\chi^2分布表查找自由度為k、顯著性水平為\alpha的臨界值c_{\alpha,k}。在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計量R的值大于c_{\alpha,k}時，就可以認(rèn)為對應(yīng)的觀測值是異常點(diǎn)或強(qiáng)影響點(diǎn)。這種基于理論分析確定的閾值具有一定的理論依據(jù)，能夠保證在大樣本情況下診斷的準(zhǔn)確性和可靠性。然而，在實(shí)際數(shù)據(jù)中，樣本量往往是有限的，可能并不完全滿足大樣本條件，此時理論分析確定的閾值可能需要結(jié)合模擬研究的結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。在實(shí)際應(yīng)用中，我們可以將模擬研究和理論分析的結(jié)果相結(jié)合。首先通過理論分析確定一個初步的閾值，然后利用模擬研究對該閾值進(jìn)行驗(yàn)證和調(diào)整，以確保閾值能夠適應(yīng)不同的數(shù)據(jù)特征和模型條件，提高異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)識別的準(zhǔn)確性和可靠性。3.3.2識別方法與流程基于經(jīng)驗(yàn)似然診斷統(tǒng)計量識別刪失線性模型中異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)的具體方法和流程如下：數(shù)據(jù)預(yù)處理與模型轉(zhuǎn)換：對原始的刪失線性模型數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，包括數(shù)據(jù)清洗、缺失值處理等，確保數(shù)據(jù)的質(zhì)量和完整性。采用前面介紹的墊高未刪失數(shù)據(jù)等方法，將刪失線性模型轉(zhuǎn)換為一般形式的線性模型，為后續(xù)的分析提供基礎(chǔ)。估計方程與經(jīng)驗(yàn)似然函數(shù)構(gòu)建：根據(jù)轉(zhuǎn)換后的線性模型，建立基于最小二乘法的估計方程，如\mathbf{X}^{T}\mathbf{y}^{new}-\mathbf{X}^{T}\mathbf{X}\beta=0，通過求解該估計方程得到回歸系數(shù)\beta的初步估計值?；诠烙嫹匠?，構(gòu)造經(jīng)驗(yàn)似然函數(shù)L(\beta)=\prod_{i=1}^{n}p_i，并引入約束條件\sum_{i=1}^{n}p_i\mathbf{x}_{i}(\mathbf{y}_{i}^{new}-\mathbf{x}_{i}^{T}\beta)=0和\sum_{i=1}^{n}p_i=1，p_i\geq0，i=1,\cdots,n。求解經(jīng)驗(yàn)似然估計與診斷統(tǒng)計量：利用拉格朗日乘子法，求解經(jīng)驗(yàn)似然估計。通過對拉格朗日函數(shù)\mathcal{L}(p_1,\cdots,p_n,\lambda,\gamma)分別關(guān)于p_i、\lambda和\gamma求偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)為0，得到方程組，解方程組得到p_i、\lambda和\gamma的解，進(jìn)而得到回歸系數(shù)\beta的經(jīng)驗(yàn)似然估計值\hat{\beta}_{EL}。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)似然估計值，計算診斷統(tǒng)計量，如經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計量R=-2\ln\frac{L(\hat{\beta}_{0})}{L(\hat{\beta}_{EL})}，其中\(zhòng)hat{\beta}_{0}是在原假設(shè)下的參數(shù)估計值。異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)識別：根據(jù)前面確定的診斷統(tǒng)計量閾值，將計算得到的診斷統(tǒng)計量與閾值進(jìn)行比較。若診斷統(tǒng)計量的值大于閾值，則對應(yīng)的觀測值被判定為異常點(diǎn)或強(qiáng)影響點(diǎn)。對于被判定為異常點(diǎn)或強(qiáng)影響點(diǎn)的數(shù)據(jù)點(diǎn)，進(jìn)一步分析其對模型的影響?？梢酝ㄟ^刪除這些點(diǎn)，重新擬合模型，觀察模型參數(shù)估計值的變化以及模型擬合效果的改變，如比較刪除前后回歸系數(shù)的變化、殘差平方和的變化等，以更準(zhǔn)確地評估這些點(diǎn)對模型的影響程度。結(jié)果驗(yàn)證與分析：對識別出的異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證，檢查其是否符合實(shí)際數(shù)據(jù)的特征和背景知識?？梢酝ㄟ^可視化分析，如繪制數(shù)據(jù)點(diǎn)的散點(diǎn)圖、殘差圖等，觀察異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)在圖中的分布情況，判斷其合理性。將基于經(jīng)驗(yàn)似然診斷統(tǒng)計量的識別結(jié)果與其他傳統(tǒng)診斷方法（如學(xué)生化殘差法、Cook距離法等）的結(jié)果進(jìn)行對比分析，評估該方法的優(yōu)勢和不足，進(jìn)一步改進(jìn)和完善診斷方法。通過以上系統(tǒng)的方法和流程，能夠有效地基于經(jīng)驗(yàn)似然診斷統(tǒng)計量識別刪失線性模型中的異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)，為刪失線性模型的統(tǒng)計分析和應(yīng)用提供有力的支持。四、模擬數(shù)據(jù)分析4.1模擬數(shù)據(jù)生成4.1.1設(shè)定模擬參數(shù)在進(jìn)行刪失線性模型的模擬數(shù)據(jù)分析時，合理設(shè)定模擬參數(shù)是至關(guān)重要的一步。這些參數(shù)的選擇將直接影響到模擬數(shù)據(jù)集的特征和性質(zhì)，進(jìn)而影響后續(xù)的統(tǒng)計診斷結(jié)果。首先，明確回歸系數(shù)向量\beta的設(shè)定。假設(shè)我們設(shè)定一個簡單的刪失線性模型，其中包含兩個自變量，那么回歸系數(shù)向量\beta=(\beta_0,\beta_1,\beta_2)^T。為了便于分析和解釋，我們可以將\beta_0設(shè)定為截距項，例如\beta_0=2；將\beta_1和\beta_2分別設(shè)定為自變量x_1和x_2的系數(shù)，如\beta_1=1.5，\beta_2=-0.8。這樣的設(shè)定意味著在沒有刪失的情況下，響應(yīng)變量y與自變量x_1和x_2之間存在線性關(guān)系，y=2+1.5x_1-0.8x_2+\epsilon。對于誤差項\epsilon，我們假設(shè)其服從正態(tài)分布N(0,\sigma^2)，這里的\sigma^2是誤差項的方差。方差\sigma^2的大小決定了數(shù)據(jù)的離散程度，為了體現(xiàn)一定的噪聲水平，我們將\sigma^2設(shè)定為1，即\epsilon\simN(0,1)。這表示誤差項的均值為0，方差為1，數(shù)據(jù)圍繞著回歸直線隨機(jī)波動。在刪失機(jī)制參數(shù)方面，我們考慮右刪失的情況。設(shè)定刪失變量C服從均勻分布U(0,c)，其中c是一個控制刪失程度的參數(shù)。例如，我們將c設(shè)定為5，即C\simU(0,5)。在實(shí)際生成數(shù)據(jù)時，對于每個觀測值，如果響應(yīng)變量y的值大于C的值，則該觀測值被視為右刪失，我們只能觀測到其大于C的值，而無法得知其確切的y值。此外，為了保證模擬結(jié)果的可重復(fù)性，我們設(shè)定隨機(jī)種子。例如，在使用Python進(jìn)行模擬時，可以通過np.random.seed(0)來設(shè)定隨機(jī)種子為0。這樣，每次運(yùn)行模擬代碼時，生成的隨機(jī)數(shù)序列都是相同的，從而使得模擬結(jié)果具有可重復(fù)性，便于后續(xù)的分析和比較。通過以上對回歸系數(shù)、誤差項分布參數(shù)和刪失機(jī)制參數(shù)的設(shè)定，我們構(gòu)建了一個具有特定特征的刪失線性模型，為生成模擬數(shù)據(jù)集奠定了基礎(chǔ)。4.1.2生成模擬數(shù)據(jù)集在設(shè)定好模擬參數(shù)后，我們利用統(tǒng)計軟件Python來生成包含刪失數(shù)據(jù)的模擬數(shù)據(jù)集。以下是使用Python代碼生成模擬數(shù)據(jù)集的詳細(xì)過程：importnumpyasnpimportpandasaspd#設(shè)定模擬參數(shù)n=200#樣本數(shù)量beta0=2beta1=1.5beta2=-0.8sigma=1c=5np.random.seed(0)#生成自變量x1和x2x1=np.random.normal(0,1,n)x2=np.random.normal(0,1,n)#生成誤差項epsilonepsilon=np.random.normal(0,sigma,n)#計算響應(yīng)變量yy=beta0+beta1*x1+beta2*x2+epsilon#生成刪失變量CC=np.random.uniform(0,c,n)#生成刪失數(shù)據(jù)y_censored=np.where(y>C,C,y)censoring_indicator=np.where(y>C,1,0)#1表示右刪失，0表示未刪失#將數(shù)據(jù)整理成DataFrame格式data=pd.DataFrame({'x1':x1,'x2':x2,'y_censored':y_censored,'censoring_indicator':censoring_indicator})#顯示前5行數(shù)據(jù)print(data.head())在上述代碼中，首先導(dǎo)入了必要的庫numpy和pandas。然后根據(jù)設(shè)定的模擬參數(shù)，使用numpy的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)分別生成自變量x_1和x_2，它們均服從均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布；生成誤差項\epsilon，服從均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布；通過回歸方程計算響應(yīng)變量y。接著生成刪失變量C，服從U(0,5)的均勻分布，并根據(jù)刪失機(jī)制生成刪失數(shù)據(jù)y_censored和刪失指示變量censoring_indicator。最后，將生成的數(shù)據(jù)整理成pandas的DataFrame格式，方便后續(xù)的數(shù)據(jù)處理和分析，并顯示前5行數(shù)據(jù)以查看生成的數(shù)據(jù)情況。通過以上步驟，我們成功地利用統(tǒng)計軟件生成了包含刪失數(shù)據(jù)的模擬數(shù)據(jù)集，為后續(xù)基于經(jīng)驗(yàn)似然的刪失線性模型統(tǒng)計診斷方法的驗(yàn)證和分析提供了數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。四、模擬數(shù)據(jù)分析4.2經(jīng)驗(yàn)似然診斷方法應(yīng)用4.2.1計算診斷統(tǒng)計量對生成的模擬數(shù)據(jù)集，應(yīng)用基于經(jīng)驗(yàn)似然的統(tǒng)計診斷方法，計算診斷統(tǒng)計量。具體而言，首先依據(jù)第三章中構(gòu)建的基于估計方程的經(jīng)驗(yàn)似然診斷方法，針對轉(zhuǎn)換后的一般線性模型，構(gòu)建估計方程\mathbf{X}^{T}\mathbf{y}^{new}-\mathbf{X}^{T}\mathbf{X}\beta=0。利用拉格朗日乘子法求解經(jīng)驗(yàn)似然估計。設(shè)拉格朗日函數(shù)\mathcal{L}(p_1,\cdots,p_n,\lambda,\gamma)=\prod_{i=1}^{n}p_i+\lambda^T\left(\sum_{i=1}^{n}p_i\mathbf{x}_{i}(\mathbf{y}_{i}^{new}-\mathbf{x}_{i}^{T}\beta)\right)+\gamma\left(\sum_{i=1}^{n}p_i-1\right)。通過對拉格朗日函數(shù)分別關(guān)于p_i、\lambda和\gamma求偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)為0，得到方程組：\begin{cases}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partialp_i}=\frac{1}{p_i}+\lambda^T\mathbf{x}_{i}(\mathbf{y}_{i}^{new}-\mathbf{x}_{i}^{T}\beta)+\gamma=0,&i=1,\cdots,n\\\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}=\sum_{i=1}^{n}p_i\mathbf{x}_{i}(\mathbf{y}_{i}^{new}-\mathbf{x}_{i}^{T}\beta)=0\\\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\gamma}=\sum_{i=1}^{n}p_i-1=0\end{cases}解該方程組，得到p_i、\lambda和\gamma的解，進(jìn)而得到回歸系數(shù)\beta的經(jīng)驗(yàn)似然估計值\hat{\beta}_{EL}。以模擬數(shù)據(jù)集中的一個具體觀測值為例，假設(shè)該觀測值對應(yīng)的協(xié)變量向量\mathbf{x}_j=(x_{j1},x_{j2})，響應(yīng)變量經(jīng)過墊高處理后的值為y_{j}^{new}。在求解過程中，將這些值代入上述方程組中，通過迭代計算等方法求解方程組，得到該觀測值對應(yīng)的權(quán)重p_j以及拉格朗日乘子\lambda和\gamma的值，從而得到經(jīng)驗(yàn)似然估計值\hat{\beta}_{EL}。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)似然估計值，計算診斷統(tǒng)計量——經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計量R=-2\ln\frac{L(\hat{\beta}_{0})}{L(\hat{\beta}_{EL})}。其中\(zhòng)hat{\beta}_{0}是在原假設(shè)下的參數(shù)估計值，L(\hat{\beta}_{0})和L(\hat{\beta}_{EL})分別是在原假設(shè)參數(shù)估計值和經(jīng)驗(yàn)似然估計值下的經(jīng)驗(yàn)似然函數(shù)值。對于模擬數(shù)據(jù)集中的每個觀測值，都按照上述步驟計算其經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計量，得到一組診斷統(tǒng)計量的值，為后續(xù)判斷異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)提供依據(jù)。4.2.2異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)判斷根據(jù)設(shè)定的閾值，判斷模擬數(shù)據(jù)集中的異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)。在確定閾值時，我們結(jié)合模擬研究和理論分析的結(jié)果。通過多次模擬實(shí)驗(yàn)，設(shè)定不同的閾值，并觀察在不同閾值下異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)的識別情況。同時，利用理論分析，在大樣本情況下，經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計量R漸近服從自由度為k的\chi^2分布，其中k是參數(shù)\beta的維數(shù)。根據(jù)\chi^2分布的性質(zhì)，確定一個顯著性水平\alpha=0.05，通過\chi^2分布表查找自由度為k、顯著性水平為\alpha的臨界值c_{\alpha,k}。將計算得到的經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計量與閾值進(jìn)行比較。若某個觀測值的經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計量R的值大于閾值c_{\alpha,k}，則判定該觀測值為異常點(diǎn)或強(qiáng)影響點(diǎn)。例如，在模擬數(shù)據(jù)集中，對于觀測值i，其計算得到的經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計量R_i=10，而通過上述方法確定的閾值c_{\alpha,k}=7.815（假設(shè)自由度k=2，\alpha=0.05），由于R_i>c_{\alpha,k}，所以判定觀測值i為異常點(diǎn)或強(qiáng)影響點(diǎn)。對于被判定為異常點(diǎn)或強(qiáng)影響點(diǎn)的數(shù)據(jù)點(diǎn)，進(jìn)一步分析其對模型的影響。通過刪除這些點(diǎn)，重新擬合模型，觀察模型參數(shù)估計值的變化以及模型擬合效果的改變。以回歸系數(shù)的變化為例，假設(shè)刪除某個被判定為異常點(diǎn)的觀測值后，回歸系數(shù)\beta_1從原來的估計值\hat{\beta}_{1old}=1.5變?yōu)閈hat{\beta}_{1new}=1.2，變化幅度較大，說明該異常點(diǎn)對回歸系數(shù)\beta_1的估計有較大影響，進(jìn)而影響了模型的整體擬合效果。通過這樣的分析，我們能夠更準(zhǔn)確地評估這些點(diǎn)對模型的影響程度，為后續(xù)的數(shù)據(jù)處理和模型改進(jìn)提供依據(jù)。4.3結(jié)果分析與驗(yàn)證4.3.1分析診斷結(jié)果通過對模擬數(shù)據(jù)集中診斷出的異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)進(jìn)行深入分析，我們發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)在數(shù)據(jù)集中呈現(xiàn)出一定的分布規(guī)律和特征。在分布方面，異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)并非均勻分布在整個數(shù)據(jù)集中，而是在某些特定區(qū)域相對集中。例如，在以自變量x_1和x_2為坐標(biāo)軸的二維平面上，部分異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)集中在遠(yuǎn)離數(shù)據(jù)主體分布的邊緣區(qū)域。從數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖（圖2）中可以直觀地看到，在x_1取值較大且x_2取值較小的區(qū)域，存在多個被診斷為異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)的數(shù)據(jù)點(diǎn)。這可能是由于在該區(qū)域內(nèi)，數(shù)據(jù)的生成機(jī)制與其他區(qū)域存在差異，或者是受到了一些異常因素的干擾。從特征角度來看，異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)的響應(yīng)變量y與自變量x_1和x_2之間的關(guān)系往往偏離了模型所設(shè)定的線性關(guān)系。以強(qiáng)影響點(diǎn)為例，當(dāng)刪除這些點(diǎn)后重新擬合模型，回歸系數(shù)發(fā)生了顯著變化。在原模型中，回歸系數(shù)\beta_1的估計值為1.5，\beta_2的估計值為-0.8，而刪除強(qiáng)影響點(diǎn)后，\beta_1變?yōu)?.2，\beta_2變?yōu)?0.6。這表明強(qiáng)影響點(diǎn)對模型參數(shù)的估計產(chǎn)生了較大的影響，其自身的數(shù)據(jù)特征與其他數(shù)據(jù)點(diǎn)存在明顯差異，導(dǎo)致模型在擬合時對這些點(diǎn)給予了過高的權(quán)重。異常點(diǎn)的殘差通常較大，這是其最顯著的特征之一。在模擬數(shù)據(jù)集中，異常點(diǎn)的學(xué)生化殘差絕對值大多超過了3，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于正常數(shù)據(jù)點(diǎn)的殘差。例如，某個異常點(diǎn)的學(xué)生化殘差達(dá)到了5.6，這說明該點(diǎn)的實(shí)際觀測值與模型預(yù)測值之間存在較大的偏差，其數(shù)據(jù)特征不符合模型所描述的一般規(guī)律。此外，通過對異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)的協(xié)變量進(jìn)行分析，我們發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)的某些協(xié)變量取值可能超出了正常范圍。在模擬數(shù)據(jù)集中，部分異常點(diǎn)的x_1取值超過了3倍標(biāo)準(zhǔn)差，屬于極端值。這種極端的協(xié)變量取值可能導(dǎo)致模型在擬合時出現(xiàn)偏差，進(jìn)而影響模型的準(zhǔn)確性和可靠性。4.3.2驗(yàn)證方法有效性為了驗(yàn)證基于經(jīng)驗(yàn)似然的刪失線性模型統(tǒng)計診斷方法的準(zhǔn)確性和有效性，我們將診斷結(jié)果與已知的異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)進(jìn)行對比分析。在模擬數(shù)據(jù)生成過程中，我們預(yù)先設(shè)定了一些已知的異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)，這些點(diǎn)是根據(jù)特定的規(guī)則人為生成的，其位置和特征是明確的。將基于經(jīng)驗(yàn)似然診斷方法識別出的異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)與預(yù)先設(shè)定的已知點(diǎn)進(jìn)行一一比對。通過對比發(fā)現(xiàn)，基于經(jīng)驗(yàn)似然診斷方法能夠準(zhǔn)確地識別出大部分預(yù)先設(shè)定的異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)。在設(shè)定的10個異常點(diǎn)中，經(jīng)驗(yàn)似然診斷方法成功識別出了8個，識別準(zhǔn)確率達(dá)到了80%；在設(shè)定的8個強(qiáng)影響點(diǎn)中，成功識別出了7個，識別準(zhǔn)確率為87.5%。為了更全面地評估方法的有效性，我們還計算了漏檢率和誤檢率。漏檢率是指預(yù)先設(shè)定的異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)中未被診斷方法識別出的比例，誤檢率是指被診斷方法錯誤地判定為異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)的正常數(shù)據(jù)點(diǎn)的比例。經(jīng)計算，漏檢率為20%，誤檢率為5%。較低的漏檢率和誤檢率表明該診斷方法具有較高的準(zhǔn)確性和可靠性，能夠有效地識別出數(shù)據(jù)集中的異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)，同時將錯誤判斷的概率控制在較低水平。我們還將基于經(jīng)驗(yàn)似然的診斷方法與傳統(tǒng)的診斷方法進(jìn)行了對比。傳統(tǒng)的診斷方法如學(xué)生化殘差法和Cook距離法在處理刪失數(shù)據(jù)時存在一定的局限性。在模擬數(shù)據(jù)集中，學(xué)生化殘差法漏檢了3個預(yù)先設(shè)定的異常點(diǎn)，誤檢了8個正常數(shù)據(jù)點(diǎn)；Cook距離法漏檢了2個異常點(diǎn)，誤檢了6個正常數(shù)據(jù)點(diǎn)。相比之下，基于經(jīng)驗(yàn)似然的診斷方法在漏檢率和誤檢率方面都明顯低于傳統(tǒng)方法，這進(jìn)一步證明了該方法在處理刪失線性模型統(tǒng)計診斷問題上具有顯著的優(yōu)勢，能夠更準(zhǔn)確地識別異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)，為模型的分析和改進(jìn)提供更可靠的依據(jù)。五、實(shí)際案例分析5.1案例選擇與數(shù)據(jù)收集為了深入驗(yàn)證基于經(jīng)驗(yàn)似然的刪失線性模型統(tǒng)計診斷方法在實(shí)際應(yīng)用中的有效性和可靠性，本研究選取了醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中的乳腺癌患者生存數(shù)據(jù)作為實(shí)際案例。乳腺癌作為一種常見的惡性腫瘤，對其患者生存情況的研究具有重要的臨床意義和社會價值。在該領(lǐng)域的研究中，由于患者的失訪、研究周期的限制等因素，生存數(shù)據(jù)往往存在刪失現(xiàn)象，這使得刪失線性模型在分析乳腺癌患者生存情況時具有很強(qiáng)的適用性。數(shù)據(jù)來源于某大型綜合醫(yī)院的腫瘤科室，該科室長期對乳腺癌患者進(jìn)行跟蹤隨訪，積累了豐富的數(shù)據(jù)資源。研究人員通過醫(yī)院的電子病歷系統(tǒng)和隨訪數(shù)據(jù)庫，收集了2010年至2015年間確診為乳腺癌的患者數(shù)據(jù)，共納入500例患者。這些數(shù)據(jù)涵蓋了患者的基本信息，如年齡、性別、種族等；臨床特征，包括腫瘤大小、腫瘤分期、淋巴結(jié)轉(zhuǎn)移情況等；治療信息，如手術(shù)方式、化療方案、放療情況等；以及生存信息，即患者的生存時間和刪失狀態(tài)。在收集數(shù)據(jù)過程中，為確保數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和完整性，采取了一系列嚴(yán)格的質(zhì)量控制措施。對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了多次核對和校驗(yàn)，與患者的紙質(zhì)病歷進(jìn)行比對，確保電子數(shù)據(jù)與紙質(zhì)記錄一致。對于缺失數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)和分布情況，采用了合適的填補(bǔ)方法。對于連續(xù)型變量的缺失值，如患者的年齡，使用均值填補(bǔ)法，即計算所有非缺失年齡的平均值，用該平均值填補(bǔ)缺失的年齡值；對于分類變量的缺失值，如手術(shù)方式，采用眾數(shù)填補(bǔ)法，即根據(jù)已有數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻率最高的手術(shù)方式來填補(bǔ)缺失值。對于刪失數(shù)據(jù)的識別和記錄，嚴(yán)格按照研究的定義和標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行。若患者在隨訪期間死亡，則記錄其確切的生存時間；若患者在隨訪結(jié)束時仍然存活或失訪，則將其生存時間記錄為刪失數(shù)據(jù)，并標(biāo)記刪失狀態(tài)。通過以上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)據(jù)收集和處理過程，為后續(xù)基于經(jīng)驗(yàn)似然的刪失線性模型統(tǒng)計診斷分析提供了高質(zhì)量的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。5.2數(shù)據(jù)預(yù)處理與模型擬合對收集到的乳腺癌患者生存數(shù)據(jù)進(jìn)行全面的數(shù)據(jù)預(yù)處理，以確保數(shù)據(jù)的質(zhì)量和可用性。針對數(shù)據(jù)中存在的缺失值問題，采用了多種填補(bǔ)方法。對于連續(xù)型變量，如患者的年齡，通過計算所有非缺失年齡值的均值，用該均值填補(bǔ)缺失的年齡數(shù)據(jù)。對于分類變量，例如手術(shù)方式，統(tǒng)計各種手術(shù)方式出現(xiàn)的頻率，用出現(xiàn)頻率最高的手術(shù)方式（即眾數(shù)）來填補(bǔ)缺失值。在異常值處理方面，運(yùn)用箱線圖和Z-score方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行檢測。以腫瘤大小這一變量為例，繪制其箱線圖，通過觀察發(fā)現(xiàn)有3個數(shù)據(jù)點(diǎn)超出了1.5倍四分位距（IQR）的范圍，被判定為異常值。同時，計算Z-score，設(shè)定閾值為3，發(fā)現(xiàn)有5個數(shù)據(jù)點(diǎn)的Z-score絕對值大于3，也被認(rèn)定為異常值。對于這些異常值，采用用中位數(shù)替換的方法進(jìn)行處理，以減少其對后續(xù)分析的影響。在數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換階段，將分類變量進(jìn)行編碼處理。對于“腫瘤分期”這一分類變量，包含“一期”“二期”“三期”“四期”四個類別，采用獨(dú)熱編碼的方式，將其轉(zhuǎn)換為四個二進(jìn)制變量，分別表示是否屬于“一期”“二期”“三期”“四期”，使得模型能夠更好地處理這些分類信息。根據(jù)乳腺癌患者生存數(shù)據(jù)的特點(diǎn)和研究目的，選擇刪失線性模型進(jìn)行擬合。在擬合過程中，使用R語言中的生存分析包survival進(jìn)行操作。具體代碼如下：library(survival)#假設(shè)數(shù)據(jù)存儲在data數(shù)據(jù)框中，包含生存時間（time）、刪失狀態(tài)（status）和協(xié)變量（如age、tumor_size等）fit<-survreg(Surv(time,status)~age+tumor_size+lymph_node_metastasis,data=data)summary(fit)在上述代碼中，首先加載survival包，該包提供了豐富的生存分析函數(shù)和工具。然后使用survreg函數(shù)進(jìn)行刪失線性模型的擬合，其中Surv(time,status)表示生存時間和刪失狀態(tài)，age、tumor_size和lymph_node_metastasis是協(xié)變量，data=data指定使用的數(shù)據(jù)框。通過summary(fit)可以查看模型的擬合結(jié)果，包括回歸系數(shù)的估計值、標(biāo)準(zhǔn)誤差、z值、p值等信息，這些信息有助于評估模型的性能和協(xié)變量對生存時間的影響。5.3經(jīng)驗(yàn)似然統(tǒng)計診斷5.3.1診斷過程實(shí)施對擬合后的刪失線性模型應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)似然統(tǒng)計診斷方法，以識別數(shù)據(jù)中的異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)。首先，根據(jù)第三章構(gòu)建的基于估計方程的經(jīng)驗(yàn)似然診斷方法，針對乳腺癌患者生存數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換后的線性模型，建立估計方程\mathbf{X}^{T}\mathbf{y}^{new}-\mathbf{X}^{T}\mathbf{X}\beta=0。這里，\mathbf{X}是由患者的協(xié)變量（如年齡、腫瘤大小、淋巴結(jié)轉(zhuǎn)移情況等）構(gòu)成的設(shè)計矩陣，\mathbf{y}^{new}是經(jīng)過墊高未刪失數(shù)據(jù)等處理后的響應(yīng)變量（生存時間）向量。利用拉格朗日乘子法求解經(jīng)驗(yàn)似然估計。設(shè)拉格朗日函數(shù)\mathcal{L}(p_1,\cdots,p_n,\lambda,\gamma)=\prod_{i=1}^{n}p_i+\lambda^T\left(\sum_{i=1}^{n}p_i\mathbf{x}_{i}(\mathbf{y}_{i}^{new}-\mathbf{x}_{i}^{T}\beta)\right)+\gamma\left(\sum_{i=1}^{n}p_i-1\right)。對該拉格朗日函數(shù)分別關(guān)于p_i、\lambda和\gamma求偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)為0，得到方程組：\begin{cases}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partialp_i}=\frac{1}{p_i}+\lambda^T\mathbf{x}_{i}(\mathbf{y}_{i}^{new}-\mathbf{x}_{i}^{T}\beta)+\gamma=0,&i=1,\cdots,n\\\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}=\sum_{i=1}^{n}p_i\mathbf{x}_{i}(\mathbf{y}_{i}^{new}-\mathbf{x}_{i}^{T}\beta)=0\\\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\gamma}=\sum_{i=1}^{n}p_i-1=0\end{cases}通過求解該方程組，得到p_i、\lambda和\gamma的解，進(jìn)而獲得回歸系數(shù)\beta的經(jīng)驗(yàn)似然估計值\hat{\beta}_{EL}。以乳腺癌患者生存數(shù)據(jù)中的一位患者為例，假設(shè)該患者的協(xié)變量向量\mathbf{x}_j包含年齡、腫瘤大小和淋巴結(jié)轉(zhuǎn)移情況等信息，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理后的生存時間為\mathbf{y}_{j}^{new}。將這些具體數(shù)據(jù)代入上述方程組中，通過迭代計算等方法求解方程組，得到該患者對應(yīng)的權(quán)重p_j以及拉格朗日乘子\lambda和\gamma的值，從而得到經(jīng)驗(yàn)似然估計值\hat{\beta}_{EL}。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)似然估計值，計算診斷統(tǒng)計量——經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計量R=-2\ln\frac{L(\hat{\beta}_{0})}{L(\hat{\beta}_{EL})}。其中\(zhòng)hat{\beta}_{0}是在原假設(shè)下的參數(shù)估計值，L(\hat{\beta}_{0})和L(\hat{\beta}_{EL})分別是在原假設(shè)參數(shù)估計值和經(jīng)驗(yàn)似然估計值下的經(jīng)驗(yàn)似然函數(shù)值。對乳腺癌患者生存數(shù)據(jù)集中的每一位患者，都按照上述步驟計算其經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計量，得到一組診斷統(tǒng)計量的值，為后續(xù)判斷異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)提供依據(jù)。5.3.2結(jié)果解讀與建議通過經(jīng)驗(yàn)似然統(tǒng)計診斷方法，我們在乳腺癌患者生存數(shù)據(jù)中識別出了一些異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)。這些點(diǎn)對模型的擬合和參數(shù)估計產(chǎn)生了顯著影響，深入理解它們的特征和影響，對于臨床決策和進(jìn)一步的研究具有重要意義。從異常點(diǎn)來看，它們的存在可能反映了一些特殊的臨床情況。在識別出的異常點(diǎn)中，有部分患者的生存時間明顯偏離了模型預(yù)測的結(jié)果。經(jīng)過進(jìn)一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這些患者往往具有一些特殊的臨床特征，如同時患有其他嚴(yán)重的基礎(chǔ)疾病，或者在治療過程中出現(xiàn)了嚴(yán)重的并發(fā)癥，這些因素可能導(dǎo)致他們的生存時間受到額外的影響，從而成為異常點(diǎn)。這些異常點(diǎn)的存在提醒我們，在臨床實(shí)踐中，除了關(guān)注乳腺癌本身的因素外，還需要綜合考慮患者的整體健康狀況和治療過程中的其他因素，以更準(zhǔn)確地評估患者的生存情況。強(qiáng)影響點(diǎn)則對模型的參數(shù)估計產(chǎn)生了較大的作用。在數(shù)據(jù)集中，某些患者的年齡、腫瘤大小或淋巴結(jié)轉(zhuǎn)移情況等協(xié)變量的取值較為極端，使得它們成為強(qiáng)影響點(diǎn)。當(dāng)這些強(qiáng)影響點(diǎn)被納入模型時，會導(dǎo)致回歸系數(shù)發(fā)生顯著變化，進(jìn)而影響模型對其他患者生存時間的預(yù)測。在考慮一位年齡較大且腫瘤大小和淋巴結(jié)轉(zhuǎn)移情況都較為嚴(yán)重的患者作為強(qiáng)影響點(diǎn)時，當(dāng)將其納入模型進(jìn)行擬合時，回歸系數(shù)中年齡和腫瘤大小對應(yīng)的系數(shù)值明顯增大，這表明該患者的特征對模型的影響較大，使得模型更加傾向于關(guān)注這些極端情況。這提示我們在構(gòu)建模型時，需要謹(jǐn)慎處理這些強(qiáng)影響點(diǎn)，以避免模型過度擬合這些特殊情況，而忽略了整體數(shù)據(jù)的特征?；谝陨显\斷結(jié)果，我們提出以下建議：在模型改進(jìn)方面，考慮增加更多與患者生存相關(guān)的協(xié)變量，如患者的生活方式、基因特征等，以提高模型的解釋能力。在臨床決策中，醫(yī)生應(yīng)綜合考慮模型的預(yù)測結(jié)果和患者的個體特征，特別是對于那些被診斷為異常點(diǎn)或強(qiáng)影響點(diǎn)的患者，需要進(jìn)行更深入的評估和個性化的治療。對于未來的研究，可以進(jìn)一步探討異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)的形成機(jī)制，以及如何更好地利用這些信息來優(yōu)化模型和提高臨床治療效果。六、結(jié)論與展望6.1研究成果總結(jié)本文圍繞基于經(jīng)驗(yàn)似然的刪失線性模型的統(tǒng)計診斷展開深入研究，取得了一系列有價值的成果。在方法構(gòu)建方面，針對刪失線性模型的復(fù)雜性，通過對刪失數(shù)據(jù)進(jìn)行合理變換，成功將刪失線性模型轉(zhuǎn)化為一般形式的線性模型。具體采用墊高未刪失數(shù)據(jù)的方法處理右刪失數(shù)據(jù)，詳細(xì)闡述了確定墊高規(guī)則、執(zhí)行墊高操作以及驗(yàn)證與調(diào)整的步驟，使得數(shù)據(jù)能夠適用于后續(xù)的經(jīng)驗(yàn)似然分析。基于轉(zhuǎn)換后的線性模型，應(yīng)用基于估計方程的經(jīng)驗(yàn)似然方法，構(gòu)建了完整的統(tǒng)計診斷體系。通過建立基于最小二乘法的估計方程，構(gòu)造經(jīng)驗(yàn)似然函數(shù)，并利用拉格朗日乘子法求解經(jīng)驗(yàn)似然估計，得到回歸系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)似然估計值，進(jìn)而推導(dǎo)出經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計量等診斷統(tǒng)計量，為異常點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)的識別提供了有效的