專題02直線與圓(圓的最值、中點(diǎn)弦、切線長、公共弦、公切線、定點(diǎn)定值)的綜合題型分析TOC\o"13"\h\z\u題型一圓的方程的求解 2題型二直線與圓中的最值問題 2題型三圓的弦長與中點(diǎn)弦問題 3題型四圓的切線長與切線方程問題 3題型五兩圓的公共弦問題 4題型六兩圓的公切線問題 4題型七直線與圓中的定點(diǎn)、定值問題 5思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖圓的弦長的求法：(1)幾何法(2)代數(shù)法①若交點(diǎn)坐標(biāo)簡單易求，則直接利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解.圓的切線及切線方程問題：1．自一點(diǎn)引圓的切線的條數(shù)：(1)若點(diǎn)在圓外，則過此點(diǎn)可以作圓的兩條切線；(2)若點(diǎn)在圓上，則過此點(diǎn)只能作圓的一條切線，且此點(diǎn)是切點(diǎn)；(3)若點(diǎn)在圓內(nèi)，則過此點(diǎn)不能作圓的切線.(1)求法：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k()，則由垂直關(guān)系可知切線斜率為，由點(diǎn)斜式方程可求得切線方程.如果k=0或k不存在，則由圖形可直接得切線方程.(2)重要結(jié)論：求兩圓公切線方程的方法求兩圓的公切線方程時，首先要判斷兩圓的位置關(guān)系，從而確定公切線的條數(shù)，然后利用待定系數(shù)法，設(shè)公切線的方程為y=kx+b，最后根據(jù)相切的條件，得到關(guān)于k,b的方程組，求出k,b的值即可.要注意公切線的斜率可能不存在.與圓有關(guān)的最值問題的解題策略：1．解與圓有關(guān)的最值問題(1)利用圓的幾何性質(zhì)求最值的問題求圓上點(diǎn)到直線的最大值、最小值，需過圓心向直線作垂線.(2)利用直線與圓的位置關(guān)系解決最值(取值范圍)問題解析幾何中的最值問題一般是根據(jù)條件列出所求目標(biāo)——函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應(yīng)用不等式求出其最值(取值范圍).對于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性質(zhì)，根據(jù)式子的幾何意義求解，這常常是簡化運(yùn)算的最佳途徑.②形如t=ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.(3)經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長弦就是經(jīng)過這點(diǎn)的直徑，過這點(diǎn)和最長弦垂直的弦就是最短弦. 題型一圓的方程的求解??重點(diǎn)題型專練??【答案】D故選：D.A． B． C．8 D．9【答案】A故選：A.【答案】A【分析】由直線與圓相切結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求出圓的半徑r即可得解.故選：A.二、多選題【答案】ACD此時所求圓的半徑為或；此時所求圓的半徑為或.故選：ACD.【答案】ABC【分析】根據(jù)圓方程的定義求解選項(xiàng)A；判斷兩個圓的位置關(guān)系可判斷選項(xiàng)B；利用圓和圓的公共弦所在直線方程的求解方法可確定選項(xiàng)C；根據(jù)橢圓的定義判斷選項(xiàng)D.所以兩圓有且僅有1個公共點(diǎn)，B正確，若圓與圓的相交弦長為4，因?yàn)閳A的直徑為4，設(shè)動圓的半徑為，因?yàn)閯訄A與圓外切，同時與圓內(nèi)切，故選：ABC.【答案】ABC【分析】由已知圓半徑確定參數(shù)，即可判斷A；由點(diǎn)與圓心的距離與半徑的關(guān)系判斷B；由圓心距與兩圓半徑和差關(guān)系判斷C；由直線過圓心求參數(shù)判斷D.故選：ABC．三、解答題(1)求邊AB上的高所在直線l的方程；【分析】（1）先求出直線AB的斜率，再求出AB上的高所在直線l的斜率，結(jié)合過點(diǎn)C，寫出點(diǎn)斜式，整理為一般式即可；【分析】（1）由兩點(diǎn)的坐標(biāo)得到圓心坐標(biāo)，再由圓上的點(diǎn)到圓心的距離相等得到的關(guān)系；因?yàn)閳A與曲線恰有一個公共點(diǎn)，所以恰有一個正數(shù)y滿足， 題型二直線與圓中的最值問題??重點(diǎn)題型專練??一、多選題【答案】AB結(jié)合C選項(xiàng)的推導(dǎo)可得，故選：AB.【答案】ACD故選：ACD．【答案】ACD【詳解】故選：ACD．二、填空題考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系.【解析】根據(jù)題意，只需轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到直線的距離最小，即轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離，再利用四點(diǎn)共圓的知識求得動點(diǎn)的軌跡，聯(lián)立兩個圓的方程可得所求的直線的方程.【點(diǎn)睛】在解決直線與圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題時，注意運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，求解圓的弦長，切線長等問題.三、解答題∵當(dāng)P、O、C三點(diǎn)共線時，達(dá)到最大值或最小值，(1)若直線l與圓O相切，求m的值；【詳解】（1）（1）設(shè)圓心O到直線l的距離為d，因?yàn)橹本€l與圓O相切，因?yàn)橄壹磮AO與上述圓的公共弦， 題型三圓的弦長與中點(diǎn)弦問題??重點(diǎn)題型專練??一、單選題【答案】C故選：C.【答案】D故選:D.二、多選題A．存在實(shí)數(shù)，使圓關(guān)于直線對稱C．對任意實(shí)數(shù)，直線與圓有兩個不同的公共點(diǎn)【答案】BCD【分析】根據(jù)直線是否過圓心判斷A的真假；把點(diǎn)代入方程判斷B的真假；根據(jù)B的結(jié)論可判斷C的真假；利用幾何法求弦長可判斷D的真假.故選：BCDB．圓被軸截得的弦長為【答案】ACD故選：ACD.三、填空題6．（2025·江蘇南京·一模）過點(diǎn)P(－4,0)的直線l與圓C：(x－1)2＋y2＝5相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A恰好是線段PB的中點(diǎn)，則直線l的方程為．【答案】x±3y＋4＝0【分析】取AB的中點(diǎn)為D，則CD⊥AB，利用勾股定理列出方程組，求出圓心到直線的距離即可求解易知直線l的斜率一定存在，設(shè)為k，則l：y＝k(x＋4)，解得k2＝，k＝±，所以直線l的方程為y＝±(x＋4)，即為x±3y＋4＝0.故答案為：x±3y＋4＝0【點(diǎn)睛】此題考查直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合勾股定理，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化成圓心到直線距離問題求解.四、解答題(1)求的半徑；(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線被截得的弦長為2，求的方程.【答案】(1)（2）首先求出圓心到直線的距離，再分斜率存在與不存在兩種情況討論，分別求出所對應(yīng)的直線方程，即可得解.(1)求圓心為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；所以直線與圓相離， 題型四圓的切線長與切線方程問題??重點(diǎn)題型專練??一、多選題【答案】ABD【分析】利用圓心到切線距離判斷A，根據(jù)切線長定理判斷B，由圓的性質(zhì)判斷C，根據(jù)四邊形面積為兩全等直角三角面積判斷D.故選：ABDC．若反射光線與圓相切，則這條光線從點(diǎn)到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程為D．存在兩條反射光線與圓相切【答案】ACD【分析】對A：判斷該直線是否過圓心即可得；對B：判斷該直線是否過點(diǎn)及圓心關(guān)于軸對稱的點(diǎn)即可得；對C：借助切線的性質(zhì)及兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可得；對D：借助切線的性質(zhì)計(jì)算即可得.即存在兩條反射光線與圓相切，故D正確.故選：ACD.【答案】BC【分析】根據(jù)題意，分為切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，分別求出切線的方程．故選：BC．二、填空題【點(diǎn)睛】本題考查過點(diǎn)的圓的切線方程的求解，考查圓的切線長相關(guān)問題，在過點(diǎn)引圓的切線問題時，要對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，另外就是將直線與圓相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于半徑長，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題．三、解答題(1)求圓E的方程；【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出圓的一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程，對①②③逐個分析，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）先判斷點(diǎn)P在圓外，知切線有兩條，分情況討論即可.若直線斜率存在，設(shè)切線的斜率為，（1）求圓的方程；（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式以及勾股定理可得結(jié)果；【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，注意對于直線要研究其斜率是否存在，另外利用韋達(dá)定理可以達(dá)到設(shè)而不求的目的，本題是中檔題. 題型五兩圓的公共弦問題??重點(diǎn)題型專練??一、單選題【答案】A【分析】根據(jù)圓與圓的方程相減得公共弦的方程，再根據(jù)垂徑定理求解即可.故選：A【答案】D【分析】求出兩圓的公共弦所在的直線方程，再利用圓的弦長公式計(jì)算即得.故選：D二、多選題【答案】ABD【分析】化圓M的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)與半徑判斷A；聯(lián)立兩圓的方程求得AB的方程判斷B；由點(diǎn)到直線的距離公式及垂徑定理求得AB的長判斷CD．【詳解】由圓M：x2+y2－2x+4y+4＝0，得(x－1)2+(y+2)2＝1，A：則圓M的圓心為（1，－2），半徑為1，故A正確；B：聯(lián)立圓O：x2+y2＝4和圓M：x2+y2－2x+4y+4＝0，消去二次項(xiàng)，可得直線AB的方程為x－2y－4＝0，故B正確；故選：ABDA．點(diǎn)到直線的距離最大值是【答案】BCD故選：BCD.三、填空題【分析】根據(jù)題意，分析圓的圓心和半徑，將其一般方程與圓聯(lián)立，可得直線AB的方程，由直線與圓的位置關(guān)系可得答案．四、解答題(2)求直線的方程.（2）將原問題轉(zhuǎn)換為求以為直徑的圓和已知圓的公共弦方程來求解即可.直線AB為以PC為直徑的圓和圓C公共弦所在的直線，則兩圓方程相減為直線AB方程，（2）如圖，連接PC，設(shè)PC與圓C交于點(diǎn)D，延長PC與圓C交于點(diǎn)E.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第一問為常規(guī)設(shè)問，提供了一種求切點(diǎn)弦的思路；第二問，關(guān)鍵為利用圓冪定理對要求最值的式子化簡. 題型六兩圓的公切線問題??重點(diǎn)題型專練??一、單選題A．－23 B．－3 C．－12 D．－13【答案】A【分析】根據(jù)兩圓有且僅有一條公切線，得到兩圓內(nèi)切，從而可求出結(jié)果.所以兩圓內(nèi)切，故選：A.【答案】A如圖所示：所以可得，重合，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義及內(nèi)切圓的性質(zhì).屬于中檔題．二、多選題A．兩圓的公切線有2條【答案】AB【分析】根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系可判斷兩圓相交，即可判斷A，根據(jù)兩圓方程相減即可判斷B，根據(jù)弦長公式即可求解C，根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離公式即可判斷D.故選：ABB．的最小值為1【答案】ABD故選：ABD三、填空題所求的切線斜率為，【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線方程，注意點(diǎn)在圓上，利用切線的性質(zhì)求出其斜率，屬于基礎(chǔ)題.【詳解】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系可知，兩圓恰有三條公切線時當(dāng)且僅當(dāng)兩圓外切，所以圓心距等于兩圓半徑之和，四、解答題（1）若m=1，判斷圓與的位置關(guān)系，并求兩圓公切線方程；（2）設(shè)圓C1與圓C2的公共弦所在直線為l，且圓C2的圓心到直線l的距離為，求直線l的方程以及公共弦長.（2）先得到兩圓公共弦所在直線l的方程，再利用弦長公式求解.因?yàn)閮蓤A內(nèi)切，所以公切線只有一條，所以公共弦長為.（1）動圓M與圓C1內(nèi)切且與圓C2外切，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明是什么曲線？（2）過圓C2上任一點(diǎn)Q（x0，y0）作圓C1的兩條切線，設(shè)兩切線分別與y軸交于點(diǎn)S和T，求線段ST長度的取值范圍．（2）設(shè)切線斜率為，用x0表示出的值，得出關(guān)于的函數(shù)，再使用換元法求出的范圍即可．【詳解】（1）圓C1的圓心為C1（﹣1，0），半徑為r1＝1，圓C2的圓心為C2（4，0），半徑為r2＝2．顯然圓C1與圓C2相離．∵動圓M與圓C1內(nèi)切且與圓C2外切，∴圓C1在圓M內(nèi)部，圓C2在圓M外部．設(shè)M（x，y），則|MC1|+1＝|MC2|﹣2，即|MC2|﹣|MC1|＝3，∴M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)，以5為焦距的雙曲線的左支，（2）設(shè)過點(diǎn)Q的與圓C1相切的直線斜率為k，方程為y﹣y0＝k（x﹣x0）.即kx﹣y﹣kx0+y0＝0，即（x02+2x0）k2﹣（2y0+2x0y0）k+y02﹣1＝0．△＝（2y0+2x0y0）2﹣4（x02+2x0）（y02﹣1）＝4（x02+y02+2x0）.把x＝0代入切線方程可得y＝y(tǒng)0﹣kx0.∴x02+y02+2x0＝10x0﹣12.∴f（t）的最大值為f（2）＝10，f（t）的最小值為f（4）＝8.【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓、直線與圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題 題型七直線與圓中的定點(diǎn)、定值問題??重點(diǎn)題型專練??一、單選題A． B． C． D．【答案】B故最大值為.故選:B.①M(fèi)中所有直線均經(jīng)過一個定點(diǎn)；②存在無數(shù)多個點(diǎn)不在M中的任一條直線上；④M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.其中真命題為（

）A．①②④ B．②③ C．②③④ D．③④【答案】B故選：B.二、多選題B．最短時，弦長為【答案】AB【詳解】如下圖所示：故選：ABA．最短為【答案】ABD故選：ABD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查了直線和圓相切的問題，涉及最值、定點(diǎn)以及切點(diǎn)弦方程問題，綜合性較強(qiáng)，難點(diǎn)在于選項(xiàng)D的判斷，解答時要注意根據(jù)圓的切線方程，推出切點(diǎn)弦方程，進(jìn)而求解直線過定點(diǎn)問題.三、填空題【答案】4【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.故答案為：4【詳解】如下圖所示：【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查切點(diǎn)弦問題，過圓外一點(diǎn)作圓的切線、，則切點(diǎn)、與、四點(diǎn)共圓，則可視為以為直徑的圓與圓的公共弦.四、解答題(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；①記四邊形MACB的面積為S，求S的最小值；②求證：直線AB恒過定點(diǎn)．【分析】根據(jù)圓的對稱性及圓心在x軸上列方程分別求得D、E，進(jìn)一步求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如下圖所示，過點(diǎn)M引圓C的兩條切線MA、MB，切點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)最小時，四邊形的面積最小，直線AB的方程為兩圓公共弦方