新高考數(shù)學(xué)等差數(shù)列多選題專項訓(xùn)練之知識梳理與訓(xùn)練含答案一、等差數(shù)列多選題1．已知數(shù)列的前項和為，前項積為，且，則（）A．當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時，B．當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時，C．當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時，D．當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時，解析：AC【分析】將變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得，再結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)即可判斷正確選項【詳解】由，可得，令，，所以是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時，；當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時，且，，同號，所以，，均大于零，故.故選：AC【點睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列，考查邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題2．已知為等差數(shù)列，其前項和為，且，則以下結(jié)論正確的是（）.A． B．最小 C． D．解析：ACD【分析】由得，故正確；當(dāng)時，根據(jù)二次函數(shù)知識可知無最小值，故錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計算可知，故正確；根據(jù)等差數(shù)列前項和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)可得，故正確.【詳解】因為，所以，所以，即，故正確；當(dāng)時，無最小值，故錯誤；因為，所以，故正確；因為，故正確.故選：ACD.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、前項和公式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題.3．等差數(shù)列的前項和為，，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B．當(dāng)或10時，取最大值C． D．解析：AD【分析】由求出，即，由此表示出、、、，可判斷C、D兩選項；當(dāng)時，，有最小值，故B錯誤.【詳解】解：，，故正確A.由，當(dāng)時，，有最小值，故B錯誤.，所以，故C錯誤.，，故D正確.故選：AD【點睛】考查等差數(shù)列的有關(guān)量的計算以及性質(zhì)，基礎(chǔ)題.4．公差為的等差數(shù)列，其前項和為，，，下列說法正確的有（）A． B． C．中最大 D．解析：AD【分析】先根據(jù)題意得，，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得，，，中最大，，即：.進而得答案.【詳解】解：根據(jù)等差數(shù)列前項和公式得：，所以，，由于，，所以，，所以，中最大，由于，所以，即：.故AD正確，BC錯誤.故選：AD.【點睛】本題考查等差數(shù)列的前項和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題.5．無窮數(shù)列的前項和，其中，，為實數(shù)，則（）A．可能為等差數(shù)列B．可能為等比數(shù)列C．中一定存在連續(xù)三項構(gòu)成等差數(shù)列D．中一定存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列解析：ABC【分析】由可求得的表達式，利用定義判定得出答案．【詳解】當(dāng)時，．當(dāng)時，．當(dāng)時，上式＝．所以若是等差數(shù)列，則所以當(dāng)時，是等差數(shù)列，時是等比數(shù)列；當(dāng)時，從第二項開始是等差數(shù)列．故選：ABC【點睛】本題只要考查等差數(shù)列前n項和與通項公式的關(guān)系，利用求通項公式，屬于基礎(chǔ)題．6．下列命題正確的是（）A．給出數(shù)列的有限項就可以唯一確定這個數(shù)列的通項公式B．若等差數(shù)列的公差，則是遞增數(shù)列C．若a，b，c成等差數(shù)列，則可能成等差數(shù)列D．若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列解析：BCD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷選項的正誤.【詳解】A選項：給出數(shù)列的有限項不一定可以確定通項公式；B選項：由等差數(shù)列性質(zhì)知，必是遞增數(shù)列；C選項：時，是等差數(shù)列，而a=1，b=2，c=3時不成立；D選項：數(shù)列是等差數(shù)列公差為，所以也是等差數(shù)列；故選：BCD【點睛】本題考查了等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷選項的正誤，屬于基礎(chǔ)題.7．記為等差數(shù)列的前項和.已知，，則（）A． B．C． D．解析：AC【分析】由求出，再由可得公差為，從而可求得其通項公式和前項和公式【詳解】由題可知，，即，所以等差數(shù)列的公差，所以，.故選：AC.【點睛】本題考查等差數(shù)列，考查運算求解能力.8．?dāng)?shù)列滿足，則下列說法正確的是（）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列的前n項和C．?dāng)?shù)列的通項公式為 D．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列解析：ABD【分析】首項根據(jù)得到，從而得到是以首項為，公差為的等差數(shù)列，再依次判斷選項即可.【詳解】對選項A，因為，，所以，即所以是以首項為，公差為的等差數(shù)列，故A正確.對選項B，由A知：數(shù)列的前n項和，故B正確.對選項C，因為，所以，故C錯誤.對選項D，因為，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故D正確.故選：ABD【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和前n項和，同時考查了遞推公式，屬于中檔題.9．等差數(shù)列的前項和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．解析：ABD【分析】先根據(jù)題意可知前9項的和最小，判斷出正確；根據(jù)題意可知數(shù)列為遞減數(shù)列，則，又，進而可知，判斷出不正確；利用等差中項的性質(zhì)和求和公式可知，，故正確.【詳解】根據(jù)題意可知數(shù)列為遞增數(shù)列，，，前9項的和最小，故正確；，故正確；，故正確；，，，故不正確.故選：.【點睛】本題考查等差數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運算能力，屬于?？碱}.10．已知無窮等差數(shù)列的前n項和為，，且，則（）A．在數(shù)列中，最大B．在數(shù)列中，或最大C．D．當(dāng)時，解析：AD【分析】利用等差數(shù)列的通項公式可以求，，即可求公差，然后根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判斷四個選項是否正確.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以等差數(shù)列公差，所以是遞減數(shù)列，故最大，選項A正確；選項不正確；，所以，故選項C不正確；當(dāng)時，，即，故選項D正確；故選：AD【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和，屬于基礎(chǔ)題.11．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則下列說法正確的是（）A．?dāng)?shù)列的前n項和為 B．?dāng)?shù)列的通項公式為C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列解析：AD【分析】先根據(jù)和項與通項關(guān)系化簡條件，再構(gòu)造等差數(shù)列，利用等差數(shù)列定義與通項公式求，最后根據(jù)和項與通項關(guān)系得.【詳解】因此數(shù)列為以為首項，為公差的等差數(shù)列，也是遞增數(shù)列，即D正確；所以，即A正確；當(dāng)時所以，即B，C不正確；故選：AD【點睛】本題考查由和項求通項、等差數(shù)列定義與通項公式以及數(shù)列單調(diào)性，考查基本分析論證與求解能力，屬中檔題.12．設(shè)是等差數(shù)列，是其前項的和，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．與均為的最大值解析：BD【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依次分析選項即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，依次分析選項：是等差數(shù)列，若，則，故B正確；又由得，則有，故A錯誤；而C選項，，即，可得，又由且，則，必有，顯然C選項是錯誤的.∵，，∴與均為的最大值，故D正確；故選：BD.【點睛】本題考查了等差數(shù)列以及前項和的性質(zhì)，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.13．公差不為零的等差數(shù)列滿足，為前項和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．（）C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，解析：BC【分析】設(shè)公差d不為零,由，解得，然后逐項判斷.【詳解】設(shè)公差d不為零,因為，所以，即，解得，，故A錯誤；，故B正確；若，解得，，故C正確；D錯誤；故選：BC14．已知正項數(shù)列的前項和為，若對于任意的，，都有，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．若該數(shù)列的前三項依次為，，，則D．?dāng)?shù)列為遞減的等差數(shù)列解析：AC【分析】令，則，根據(jù)，可判定A正確；由，可判定B錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可判定C正確；，根據(jù)，可判定D錯誤.【詳解】令，則，因為，所以為等差數(shù)列且公差，故A正確；由，所以，故B錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，，故，故C正確；由，因為，所以是遞增的等差數(shù)列，故D錯誤.故選：AC.【點睛】解決數(shù)列的單調(diào)性問題的三種方法；1、作差比較法：根據(jù)的符號，判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列；2、作商比較法：根據(jù)或與1的大小關(guān)系，進行判定；3、數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)的圖象直觀判斷.15．已知數(shù)列的前4項為2，0，2，0，則該數(shù)列的通項公式可能為（）A． B．C． D．解析：BD【分析】根據(jù)選項求出數(shù)列的前項，逐一判斷即可.【詳解】解：因為數(shù)列的前4項為2，0，2，0，選項A：不符合題設(shè)；選項B：，符合題設(shè)；選項C：，不符合題設(shè)；選項D：，符合題設(shè).故選：BD.【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式的問題，考查了基本運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16．著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記Sn為數(shù)列的前n項和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．解析：ABD【分析】根據(jù)，，，計算可知正確；根據(jù)，，，，，，累加可知不正確；根據(jù)，，，，，，累加可知正確.【詳解】依題意可知，，，，，，，，故正確；，所以，故正確；由，，，，，，可得，故不正確；，，，，，，所以，所以，故正確.故選：ABD.【點睛】本題考查了數(shù)列的遞推公式，考查了累加法，屬于中檔題.17．題目文件丟失！18．已知數(shù)列滿足：，當(dāng)時，，則關(guān)于數(shù)列的說法正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列為周期數(shù)列解析：ABC【分析】由，變形得到，再利用等差數(shù)列的定義求得，然后逐項判斷.【詳解】當(dāng)時，由，得，即，又，所以是以2為首項，以1為公差的等差數(shù)列，所以，即，故C正確；所以，故A正確；，所以為遞增數(shù)列，故正確；數(shù)列不具有周期性，故D錯誤；故選：ABC19．(多選)在數(shù)列中，若為常數(shù)，則稱為“等方差數(shù)列”下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則是等方差數(shù)列B．是等方差數(shù)列C．是等方差數(shù)列.D．若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列解析：BD【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等方差數(shù)列定義，結(jié)合特殊反例對選項逐一判斷即可.【詳解】對于A，若是等差數(shù)列，如，則不是常數(shù)，故不是等方差數(shù)列，故A錯誤；對于B，數(shù)列中，是常數(shù)，是等方差數(shù)列，故B正確；對于C，數(shù)列中，不是常數(shù)，不是等方差數(shù)列，故C錯誤；對于D，是等差數(shù)列，，則設(shè)，是等方差數(shù)列，是常數(shù)，故，故，所以，是常數(shù)，故D正確.故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了