2025年線性代數(shù)向量組線性相關(guān)性試題一、單項(xiàng)選擇題設(shè)向量組(\alpha_1=(1,2,3)^T),(\alpha_2=(2,4,t)^T),(\alpha_3=(1,1,1)^T)線性相關(guān)，則常數(shù)(t)的值為（）A.3B.6C.9D.12解答步驟：向量組線性相關(guān)的充要條件是其構(gòu)成的矩陣秩小于向量個(gè)數(shù)。構(gòu)造矩陣(A=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3])，對(duì)其作初等行變換：[A=\begin{pmatrix}1&2&1\2&4&1\3&t&1\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-2r_1,r_3-3r_1}\begin{pmatrix}1&2&1\0&0&-1\0&t-6&-2\end{pmatrix}]若秩(r(A)<3)，則第二行與第三行需成比例。由第二行((0,0,-1))可知，第三行前兩列必須為0，即(t-6=0\Rightarrowt=6)。選B。下列命題中正確的是（）A.若向量組(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)線性無(wú)關(guān)，則(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1)必線性無(wú)關(guān)B.若向量組(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)線性相關(guān)，則其中任意兩個(gè)向量都線性相關(guān)C.若向量組含零向量，則該向量組必線性相關(guān)D.若(n)維向量組(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)線性無(wú)關(guān)，則(m>n)答案：C解析：A錯(cuò)：設(shè)(k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_2+\alpha_3)+k_3(\alpha_3+\alpha_1)=0)，整理得((k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=0)。令(k_1=1,k_2=-1,k_3=1)，則方程成立，故線性相關(guān)。B錯(cuò)：反例：(\alpha_1=(1,0),\alpha_2=(0,1),\alpha_3=(1,1))線性相關(guān)，但(\alpha_1,\alpha_2)線性無(wú)關(guān)。C對(duì)：設(shè)向量組含零向量(\alpha_1=0)，則存在不全為零的數(shù)(k_1=1,k_2=\cdots=k_m=0)，使得(k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m=0)。D錯(cuò)：(n)維向量空間中線性無(wú)關(guān)向量組的向量個(gè)數(shù)最多為(n)（例如單位向量組）。設(shè)(A)為(4\times3)矩陣，且(r(A)=2)，若(B=\begin{pmatrix}1&0&2\0&2&0\-1&0&3\end{pmatrix})，則(r(AB)=)（）A.1B.2C.3D.無(wú)法確定答案：B解析：先判斷(B)是否可逆：(|B|=\begin{vmatrix}1&0&2\0&2&0\-1&0&3\end{vmatrix}=1\times2\times3+0+0-(2\times2\times(-1)+0+0)=6+4=10\neq0)，故(B)可逆。矩陣與可逆矩陣相乘不改變秩，因此(r(AB)=r(A)=2)。二、填空題向量組(\alpha_1=(1,1,1)^T),(\alpha_2=(1,2,4)^T),(\alpha_3=(1,3,t)^T)的秩為2，則(t=)__________。答案：6解析：矩陣(A=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3])的秩為2，即行列式(|A|=0)：[|A|=\begin{vmatrix}1&1&1\1&2&3\1&4&t\end{vmatrix}=(2t-12)-(t-3)+(4-2)=t-6=0\Rightarrowt=6]設(shè)(\alpha_1=(1,0,1)^T),(\alpha_2=(0,1,1)^T),(\alpha_3=(1,1,0)^T)，則(\beta=(2,3,4)^T)用(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)線性表示的表達(dá)式為_(kāi)_________。答案：(\beta=3\alpha_1+4\alpha_2-\alpha_3)解析：設(shè)(\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3)，解方程組：[\begin{cases}k_1+k_3=2\k_2+k_3=3\k_1+k_2=4\end{cases}\Rightarrowk_1=3,k_2=4,k_3=-1]設(shè)向量組(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)線性無(wú)關(guān)，若(\alpha_1+2\alpha_2,2\alpha_2+k\alpha_3,3\alpha_3+\alpha_1)線性相關(guān)，則(k=)__________。答案：(-\frac{1}{3})解析：設(shè)(x_1(\alpha_1+2\alpha_2)+x_2(2\alpha_2+k\alpha_3)+x_3(3\alpha_3+\alpha_1)=0)，整理得：[(x_1+x_3)\alpha_1+(2x_1+2x_2)\alpha_2+(kx_2+3x_3)\alpha_3=0]因(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)線性無(wú)關(guān)，系數(shù)矩陣行列式必為0：[\begin{vmatrix}1&0&1\2&2&0\0&k&3\end{vmatrix}=1\times(2\times3-0)-0+1\times(2k-0)=6+2k=0\Rightarrowk=-3]三、解答題判斷向量組(\alpha_1=(-1,1,-1,3)^T),(\alpha_2=(1,1,3,1)^T),(\alpha_3=(5,-2,8,-9)^T),(\alpha_4=(-1,3,1,7)^T)的線性相關(guān)性，并求其一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。解答步驟：（1）構(gòu)造矩陣并作初等行變換：[A=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4]=\begin{pmatrix}-1&1&5&-1\1&1&-2&3\-1&3&8&1\3&1&-9&7\end{pmatrix}\xrightarrow{r_1\times(-1)}\begin{pmatrix}1&-1&-5&1\1&1&-2&3\-1&3&8&1\3&1&-9&7\end{pmatrix}]繼續(xù)行變換：[\xrightarrow{r_2-r_1,r_3+r_1,r_4-3r_1}\begin{pmatrix}1&-1&-5&1\0&2&3&2\0&2&3&2\0&4&6&4\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-r_2,r_4-2r_2}\begin{pmatrix}1&-1&-5&1\0&2&3&2\0&0&0&0\0&0&0&0\end{pmatrix}]（2）判斷線性相關(guān)性：矩陣的秩(r(A)=2<4)（向量個(gè)數(shù)），故向量組線性相關(guān)。（3）極大線性無(wú)關(guān)組：非零行的首非零元所在列對(duì)應(yīng)的向量為(\alpha_1,\alpha_2)，故({\alpha_1,\alpha_2})是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。設(shè)向量組(\alpha_1=(1,1,1)^T),(\alpha_2=(1,2,3)^T),(\alpha_3=(1,3,t)^T)，問(wèn)：（1）(t)為何值時(shí)，向量組線性無(wú)關(guān)？（2）(t)為何值時(shí)，向量組線性相關(guān)？此時(shí)將(\alpha_3)用(\alpha_1,\alpha_2)線性表示。解答：（1）線性無(wú)關(guān)條件：矩陣(A=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3])的行列式不為0：[|A|=\begin{vmatrix}1&1&1\1&2&3\1&3&t\end{vmatrix}=t-5\neq0\Rightarrowt\neq5]（2）線性相關(guān)條件及表示：當(dāng)(t=5)時(shí)，向量組線性相關(guān)。對(duì)(A)作行變換：[A=\begin{pmatrix}1&1&1\1&2&3\1&3&5\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&1\0&1&2\0&0&0\end{pmatrix}]設(shè)(\alpha_3=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2)，解得(k_1=-1,k_2=2)，故(\alpha_3=-\alpha_1+2\alpha_2)。設(shè)(A)是(n\timesm)矩陣，(B)是(m\timesn)矩陣，其中(n<m)，若(AB=E_n)（(n)階單位矩陣），證明：(B)的列向量組線性無(wú)關(guān)。證明：設(shè)(B=[\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n])，其中(\beta_i)是(B)的第(i)列向量。假設(shè)存在一組數(shù)(k_1,k_2,\cdots,k_n)，使得(k_1\beta_1+k_2\beta_2+\cdots+k_n\beta_n=0)，即：[B\begin{pmatrix}k_1\k_2\\vdots\k_n\end{pmatrix}=0]兩邊左乘(A)，得(AB\begin{pmatrix}k_1\\vdots\k_n\end{pmatrix}=A\cdot0\RightarrowE_n\begin{pmatrix}k_1\\vdots\k_n\end{pmatrix}=0\Rightarrowk_1=k_2=\cdots=k_n=0)。因此，(B)的列向量組(\beta_1,\cdots,\beta_n)線性無(wú)關(guān)。設(shè)向量組(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)線性無(wú)關(guān)，且(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2),(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3),(\beta_3=\alpha_3+\alpha_1)，證明：(\beta_1,\beta_2,\beta_3)線性無(wú)關(guān)。證明：設(shè)(k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=0)，代入(\beta_i)的表達(dá)式：[k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_2+\alpha_3)+k_3(\alpha_3+\alpha_1)=0]整理得：[(k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=0]因(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)線性無(wú)關(guān)，系數(shù)必須全為零：[\begin{cases}k_1+k_3=0\k_1+k_2=0\k_2+k_3=0\end{cases}]該方程組的系數(shù)行列式為(\begin{vmatrix}1&0&1\1&1&0\0&1&1\end{vmatrix}=2\neq0)，故只有零解(k_1=k_2=k_3=0)，因此(\beta_1,\beta_2,\beta_3)線性無(wú)關(guān)。四、綜合應(yīng)用題設(shè)(A=\begin{pmatrix}1&1&2\2&1&3\3&4&t\end{pmatrix})，(B)為(3\times3)非零矩陣，且(AB=0)，求：（1）常數(shù)(t)的值；（2）矩陣(B)的秩。解答：（1）求(t)：因(B)為非零矩陣且(AB=0)，故齊次線性方程組(Ax=0)有非零解，因此(r(A)<3)，即(|A|=0)：[|A|=\begin{vmatrix}1&1&2\2&1&3\3&4&t\end{vmatrix}=1\times(t-12)-1\times(2t-9)+2\times(8-3)=t-12-2t+9+10=-t+7=0\Rightarrowt=7]（2）求(r(B))：當(dāng)(t=7)時(shí)，對(duì)(A)作行變換：[A=\begin{pmatrix}1&1&2\2&1&3\3&4&7\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&2\0&-1&-1\0&1&1\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&2\0&-1&-1\0&0&0\end{pmatrix}]故(r(A)=2)。由(AB=0)知(B)的列向量都是(Ax=0)的解，而(Ax=0)的基礎(chǔ)解系含(3-r(A)=1)個(gè)向量，因此(r(B)\leq1)。又因(B)為非零矩陣，故(r(B)=1)。五、證明題設(shè)向量組(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)線性無(wú)關(guān)，向量(\beta)可由該向量組線性表示，而向量(\gamma