2025年線性代數(shù)小組互評版試題一、行列式（共20分）1.計算題（10分）計算n階行列式$D_n=\begin{vmatrix}2&1&1&\cdots&1\1&2&1&\cdots&1\1&1&2&\cdots&1\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\1&1&1&\cdots&2\end{vmatrix}$的值。2.證明題（10分）設(shè)$A$為3階方陣，且$|A|=2$，證明：（1）$|2A^{-1}|=4$（2）$|A^|=4$，其中$A^$為$A$的伴隨矩陣二、矩陣（共30分）1.計算題（15分）已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&1&2\3&2&1\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix}$，求：（1）$AB$和$BA$，并判斷$AB$與$BA$是否相等（2）$A^{-1}$（要求用初等變換法）（3）矩陣$A$的秩$r(A)$2.應(yīng)用題（15分）設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&4&t\3&6&9\end{pmatrix}$，問：（1）當$t$為何值時，矩陣$A$的秩最??？最小值是多少？（2）當$t=6$時，求矩陣$A$的列向量組的一個極大線性無關(guān)組，并將其余列向量用該極大線性無關(guān)組線性表示三、n維向量與線性方程組（共35分）1.計算題（15分）設(shè)向量組$\alpha_1=(1,2,3,4)^T$，$\alpha_2=(2,3,4,5)^T$，$\alpha_3=(3,4,5,6)^T$，$\alpha_4=(4,5,6,7)^T$，求：（1）該向量組的秩（2）該向量組的一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示2.解答題（20分）設(shè)有線性方程組：$$\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=1\x_1+2x_2+3x_3+4x_4=5\2x_1+3x_2+4x_3+5x_4=a\3x_1+4x_2+5x_3+6x_4=b\end{cases}$$（1）當$a$，$b$為何值時，方程組無解？（2）當$a$，$b$為何值時，方程組有唯一解？并求出該唯一解（3）當$a$，$b$為何值時，方程組有無窮多解？并求出該方程組的通解（要求用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）四、矩陣的特征值與特征向量（共30分）1.計算題（15分）設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2&2\2&1&2\2&2&1\end{pmatrix}$，求：（1）矩陣$A$的特征值和特征向量（2）判斷矩陣$A$是否可對角化，若可對角化，求出可逆矩陣$P$和對角矩陣$\Lambda$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$2.證明題（15分）設(shè)$\lambda_1$，$\lambda_2$是矩陣$A$的兩個不同的特征值，$\alpha_1$，$\alpha_2$分別是對應(yīng)于$\lambda_1$，$\lambda_2$的特征向量，證明：（1）$\alpha_1$，$\alpha_2$線性無關(guān)（2）$\alpha_1+\alpha_2$不是矩陣$A$的特征向量五、二次型（30分）1.計算題（15分）已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+8x_1x_3+10x_2x_3$，求：（1）二次型$f$的矩陣$A$（2）用正交變換法將二次型$f$化為標準形，并寫出所用的正交變換2.證明題（15分）證明：（1）實二次型$f(x)=x^TAx$為正定二次型的充分必要條件是矩陣$A$的各階順序主子式都大于零（2）設(shè)$A$是n階正定矩陣，則$A^{-1}$也是正定矩陣六、綜合應(yīng)用題（20分）某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的利潤分別為10元、15元和20元。生產(chǎn)每件產(chǎn)品所需的工時和原材料如下表所示：產(chǎn)品工時（小時/件）原材料A（公斤/件）原材料B（公斤/件）甲231乙322丙413若工廠每天可提供的工時不超過100小時，原材料A不超過80公斤，原材料B不超過60公斤。問：（1）如何安排生產(chǎn)計劃（即每天生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品各多少件），才能使工廠每天的利潤最大？（2）若原材料A的供應(yīng)量增加10公斤，其他條件不變，最大利潤會增加多少？（要求用線性代數(shù)的方法建模并求解，可使用MATLAB等軟件進行數(shù)值計算）七、開放性探究題（20分）在機器學(xué)習(xí)中，主成分分析（PCA）是一種常用的降維方法，其核心思想是將