2025年線性代數(shù)心理學(xué)中的認(rèn)知建模試題一、基礎(chǔ)概念應(yīng)用題（共30分）1.認(rèn)知向量空間構(gòu)建（15分）請基于以下場景完成認(rèn)知向量空間的建模：某實(shí)驗(yàn)要求被試對5個情緒詞匯（“喜悅”“悲傷”“憤怒”“恐懼”“平靜”）進(jìn)行語義相似性評分，采用7點(diǎn)量表（1=完全不相似，7=極度相似），得到如下相似性矩陣：喜悅悲傷憤怒恐懼平靜喜悅72325悲傷27453憤怒34762恐懼25671平靜53217（1）將相似性矩陣轉(zhuǎn)換為距離矩陣（提示：距離=8-相似性），并使用主成分分析（PCA）提取前2個主成分，計算每個情緒詞匯在二維空間中的坐標(biāo)（要求寫出協(xié)方差矩陣構(gòu)建過程及特征值分解步驟）。（2）若將“喜悅”和“平靜”定義為積極情緒向量，“悲傷”“憤怒”“恐懼”定義為消極情緒向量，試通過余弦相似度計算兩類情緒的平均語義距離，并分析該結(jié)果是否符合情緒心理學(xué)中的“效價維度”理論。2.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)認(rèn)知映射（15分）在視覺識別實(shí)驗(yàn)中，研究者假設(shè)人腦對物體的識別過程可簡化為三層線性變換：輸入層（視網(wǎng)膜圖像，100維向量x）、隱藏層（初級視覺皮層特征，50維向量h）、輸出層（物體類別判斷，10維向量y），變換關(guān)系為：h=W?x+b?y=W?h+b?其中W?為50×100權(quán)重矩陣，b?為50維偏置向量，W?為10×50權(quán)重矩陣，b?為10維偏置向量。（1）若輸入向量x服從均值為μ、協(xié)方差矩陣為Σ的多元正態(tài)分布，推導(dǎo)隱藏層向量h的均值和協(xié)方差矩陣。（2）當(dāng)實(shí)驗(yàn)中引入遮擋干擾（即x中10%的維度被置零），請用矩陣秩的性質(zhì)分析輸出層y的識別準(zhǔn)確率是否會下降，并說明理由。二、模型設(shè)計與分析題（共40分）1.記憶衰退的線性動態(tài)模型（20分）心理學(xué)研究表明，人類記憶的遺忘過程可近似用指數(shù)衰減模型描述，但最新研究發(fā)現(xiàn)“記憶再激活”會改變衰減速率?，F(xiàn)要求構(gòu)建一個線性時變系統(tǒng)模擬該過程：設(shè)t時刻的記憶強(qiáng)度為m(t)（3維向量，分別對應(yīng)語義記憶、情景記憶、程序記憶），初始狀態(tài)m(0)=[10,8,6]?無再激活時，衰減系數(shù)矩陣A=diag([0.2,0.3,0.1])（對角線元素為各記憶類型的衰減率）當(dāng)t=5、10、15時刻進(jìn)行記憶再激活，激活向量u(t)=[2,1,3]?，激活矩陣B為3×3單位矩陣（1）寫出該系統(tǒng)的狀態(tài)方程，并計算t=20時刻的記憶強(qiáng)度m(20)（要求寫出分步計算過程）。（2）若再激活向量改為u(t)=[a,b,c]?，且希望t=20時情景記憶強(qiáng)度不低于初始值的50%，試確定a、b、c需滿足的線性不等式關(guān)系。（3）對比該線性模型與經(jīng)典的艾賓浩斯遺忘曲線，指出其在解釋“記憶鞏固效應(yīng)”時的優(yōu)勢與局限性。2.決策偏好的矩陣表示（20分）某消費(fèi)心理學(xué)實(shí)驗(yàn)中，6名被試對3類商品（A：電子產(chǎn)品，B：服裝，C：食品）的偏好程度進(jìn)行打分（1-10分），結(jié)果如下表所示（行表示被試，列表示商品）：被試ABCS?853S?294S?736S?368S?925S?479（1）將被試-商品偏好矩陣記為M（6×3），試通過奇異值分解（SVD）將M表示為M=UΣV?，并解釋左奇異矩陣U、奇異值矩陣Σ、右奇異矩陣V的心理學(xué)含義（提示：可結(jié)合“消費(fèi)者細(xì)分”與“商品特征提取”進(jìn)行說明）。（2）計算矩陣M的行向量之間的歐氏距離，使用層次聚類方法將被試分為兩類，并分析兩類被試的偏好差異是否具有統(tǒng)計學(xué)意義（可假設(shè)偏好分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布）。三、綜合應(yīng)用題（共30分）語言理解的張量積模型在句子理解實(shí)驗(yàn)中，研究者提出“語義-語法張量積”模型：每個單詞被表示為語義向量s（50維）與語法角色向量g（5維，如主語、謂語、賓語等）的張量積s?g（50×5維矩陣），句子的整體語義由多個單詞的張量積疊加而成?，F(xiàn)有句子“小明（主語）吃（謂語）蘋果（賓語）”，單詞向量如下：s?（小明）=[1,0,...,0]?（50維，第1位為1，其余為0）g?（主語）=[1,0,0,0,0]?（5維）s?（吃）=[0,1,...,0]?（50維，第2位為1，其余為0）g?（謂語）=[0,1,0,0,0]?（5維）s?（蘋果）=[0,0,1,...,0]?（50維，第3位為1，其余為0）g?（賓語）=[0,0,1,0,0]?（5維）（1）計算該句子的張量積表示T（要求寫出張量的維度及非零元素位置）。（2）若通過一個線性映射W（200×250維矩陣）將張量T降維為200維句子向量v，且W的行向量為隨機(jī)正交向量，求v的稀疏性（即零元素比例），并分析該性質(zhì)對語言模型泛化能力的影響。（3）當(dāng)句子改為“蘋果（主語）吃（謂語）小明（賓語）”時，張量積模型能否區(qū)分兩句的語義差異？請通過計算句子向量的L?范數(shù)和內(nèi)積進(jìn)行驗(yàn)證，并結(jié)合語言學(xué)中的“句法結(jié)構(gòu)”理論解釋結(jié)果。四、開放拓展題（共20分）近年來，大語言模型（如GPT系列）的“涌現(xiàn)能力”引發(fā)心理學(xué)界對人類認(rèn)知是否存在“非線性躍遷”的討論。請基于線性代數(shù)中的核函數(shù)（如多項(xiàng)式核、高斯核）理論，設(shè)計一個實(shí)驗(yàn)方案，探究兒童語言習(xí)得過程中“語法規(guī)則掌握”是否符合線性可分假設(shè)，并說明：（1）如何將語言樣本轉(zhuǎn)化為高維特征空間中的向量表示；（2）如何通過支持向量機(jī)（SVM）的分類超平面斜率變化驗(yàn)證“躍遷效應(yīng)”；（3）若實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示非線性可分，可能的認(rèn)知神經(jīng)機(jī)制是什么？（注：本題需結(jié)合線性代數(shù)