2025年線性代數(shù)向量空間與基變換試題一、選擇題（每題5分，共20分）1.向量空間基本概念下列關(guān)于向量空間的說(shuō)法中，正確的是（）A.任意兩個(gè)向量空間都同構(gòu)B.實(shí)向量空間$\mathbb{R}^n$中任意$n+1$個(gè)向量必線性相關(guān)C.若子空間$V_1,V_2\subseteq\mathbb{R}^n$滿足$V_1\cupV_2=\mathbb{R}^n$，則$V_1=\mathbb{R}^n$或$V_2=\mathbb{R}^n$D.齊次線性方程組$Ax=0$的解空間維數(shù)等于$A$的列數(shù)答案：B解析：A項(xiàng)錯(cuò)誤：同構(gòu)的向量空間必須維數(shù)相同，例如$\mathbb{R}^2$與$\mathbb{R}^3$不同構(gòu)B項(xiàng)正確：由向量空間維數(shù)定理，$n$維空間中任意$n+1$個(gè)向量線性相關(guān)C項(xiàng)錯(cuò)誤：反例：$V_1={(x,0)|x\in\mathbb{R}}$，$V_2={(0,y)|y\in\mathbb{R}}$，則$V_1\cupV_2\neq\mathbb{R}^2$D項(xiàng)錯(cuò)誤：解空間維數(shù)應(yīng)為$n-r(A)$，其中$n$為未知數(shù)個(gè)數(shù)2.基與坐標(biāo)變換設(shè)$\alpha_1=(1,0,0)^T,\alpha_2=(0,1,0)^T,\alpha_3=(0,0,1)^T$是$\mathbb{R}^3$的標(biāo)準(zhǔn)基，另一組基$\beta_1=(1,1,0)^T,\beta_2=(1,0,1)^T,\beta_3=(0,1,1)^T$，則向量$\alpha=(1,2,3)^T$在基${\beta_1,\beta_2,\beta_3}$下的坐標(biāo)是（）A.$(1,2,3)^T$B.$(0,1,2)^T$C.$(2,1,0)^T$D.$(1,1,1)^T$答案：B解析：設(shè)坐標(biāo)為$(x_1,x_2,x_3)^T$，則：$$x_1\begin{pmatrix}1\1\0\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}1\0\1\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\1\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\2\3\end{pmatrix}$$解方程組：$$\begin{cases}x_1+x_2=1\x_1+x_3=2\x_2+x_3=3\end{cases}\impliesx_1=0,x_2=1,x_3=2$$3.過(guò)渡矩陣性質(zhì)設(shè)$n$維向量空間$V$中，從基${\alpha_1,\cdots,\alpha_n}$到基${\beta_1,\cdots,\beta_n}$的過(guò)渡矩陣為$P$，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.$P$必為可逆矩陣B.從${\beta_1,\cdots,\beta_n}$到${\alpha_1,\cdots,\alpha_n}$的過(guò)渡矩陣為$P^{-1}$C.若向量$\alpha$在兩組基下的坐標(biāo)分別為$X,Y$，則$Y=PX$D.$P$的列向量是$\beta_i$在基${\alpha_1,\cdots,\alpha_n}$下的坐標(biāo)答案：C解析：正確關(guān)系應(yīng)為$X=PY$或$Y=P^{-1}X$，C項(xiàng)混淆了坐標(biāo)變換公式的方向4.子空間判定下列集合中，是$\mathbb{R}^3$的線性子空間的是（）A.${(x,y,z)|x+y+z=1}$B.${(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=0}$C.${(x,y,z)|x,y,z\in\mathbb{Z}}$D.${(x,y,z)|xy=0}$答案：B解析：A項(xiàng)：不包含零向量，不是子空間B項(xiàng)：僅有零向量$(0,0,0)$，構(gòu)成平凡子空間C項(xiàng)：對(duì)數(shù)乘運(yùn)算不封閉（如$\sqrt{2}(1,0,0)\notin$集合）D項(xiàng)：對(duì)加法不封閉（如$(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0)\notin$集合）二、填空題（每題5分，共20分）5.向量組秩與維數(shù)向量組$\alpha_1=(1,2,3),\alpha_2=(2,4,6),\alpha_3=(1,0,1),\alpha_4=(0,1,1)$的秩為_(kāi)_____，由此生成的向量空間維數(shù)為_(kāi)_____。答案：2，2解析：$\alpha_2=2\alpha_1$，故$\alpha_1,\alpha_2$線性相關(guān)；$\alpha_3,\alpha_4$線性無(wú)關(guān)且不能由$\alpha_1$線性表示，因此極大無(wú)關(guān)組為${\alpha_1,\alpha_3}$（或${\alpha_3,\alpha_4}$），秩為2，生成空間維數(shù)等于秩。6.過(guò)渡矩陣計(jì)算在$\mathbb{R}^2$中，從基$\alpha_1=(1,2),\alpha_2=(3,4)$到基$\beta_1=(5,6),\beta_2=(7,8)$的過(guò)渡矩陣$P=$______。答案：$\begin{pmatrix}-1&-1\2&1\end{pmatrix}$解析：設(shè)$(\beta_1,\beta_2)=(\alpha_1,\alpha_2)P$，即：$$\begin{pmatrix}5&7\6&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3\2&4\end{pmatrix}P$$解得$P=(\alpha_1,\alpha_2)^{-1}(\beta_1,\beta_2)=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-3\-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&7\6&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-1\2&1\end{pmatrix}$7.解空間維數(shù)設(shè)$A$是$4\times5$矩陣，且$r(A)=2$，則齊次線性方程組$Ax=0$的解空間維數(shù)是______。答案：3解析：解空間維數(shù)公式：$n-r(A)=5-2=3$8.正交基性質(zhì)設(shè)${\alpha_1,\alpha_2}$是二維歐氏空間的正交基，且$|\alpha_1|=2,|\alpha_2|=3$，則內(nèi)積$(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1-\alpha_2)=$______。答案：$-5$解析：利用內(nèi)積性質(zhì)展開(kāi)：$(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1-\alpha_2)=|\alpha_1|^2-(\alpha_1,\alpha_2)+(\alpha_2,\alpha_1)-|\alpha_2|^2=4-0+0-9=-5$三、計(jì)算題（每題15分，共30分）9.子空間交與和的維數(shù)設(shè)$V_1,V_2$是$\mathbb{R}^4$的線性子空間，$V_1={(x_1,x_2,x_3,x_4)|x_1+x_2+x_3+x_4=0}$$V_2={(x_1,x_2,x_3,x_4)|x_1-x_2+x_3-x_4=0}$求：（1）$V_1,V_2$的維數(shù)；（2）$V_1\capV_2$的基與維數(shù)；（3）驗(yàn)證維數(shù)公式$\dim(V_1+V_2)=\dimV_1+\dimV_2-\dim(V_1\capV_2)$。解答：（1）$V_1$是方程組$x_1+x_2+x_3+x_4=0$的解空間，系數(shù)矩陣秩為1，故$\dimV_1=4-1=3$；同理$\dimV_2=3$。（2）$V_1\capV_2$是方程組$$\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=0\x_1-x_2+x_3-x_4=0\end{cases}$$的解空間，系數(shù)矩陣為$\begin{pmatrix}1&1&1&1\1&-1&1&-1\end{pmatrix}$，秩為2，故$\dim(V_1\capV_2)=4-2=2$?；A(chǔ)解系：令$x_3=1,x_4=0$得$(-1,0,1,0)$；令$x_3=0,x_4=1$得$(0,-1,0,1)$，故基為${(-1,0,1,0),(0,-1,0,1)}$。（3）由維數(shù)公式：$\dim(V_1+V_2)=3+3-2=4$，而$V_1+V_2\subseteq\mathbb{R}^4$且維數(shù)為4，因此$V_1+V_2=\mathbb{R}^4$，公式成立。10.基變換與坐標(biāo)變換綜合在$\mathbb{R}^3$中，已知兩組基：$\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1)$（標(biāo)準(zhǔn)基）$\beta_1=(1,1,1),\beta_2=(1,1,0),\beta_3=(1,0,0)$（1）求從基${\alpha_i}$到基${\beta_i}$的過(guò)渡矩陣$P$；（2）求向量$\alpha=(2,3,4)$在基${\beta_i}$下的坐標(biāo)；（3）若向量$\gamma$在基${\alpha_i}$下的坐標(biāo)為$(1,2,3)$，求$\gamma$在基${\beta_i}$下的坐標(biāo)。解答：（1）過(guò)渡矩陣$P$的列向量是$\beta_i$在${\alpha_i}$下的坐標(biāo)：$$P=\begin{pmatrix}1&1&1\1&1&0\1&0&0\end{pmatrix}$$（2）設(shè)坐標(biāo)為$(x_1,x_2,x_3)$，則$(\beta_1,\beta_2,\beta_3)\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix}=(2,3,4)$即：$$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=2\x_1+x_2=3\x_1=4\end{cases}\impliesx_1=4,x_2=-1,x_3=-1$$坐標(biāo)為$(4,-1,-1)$。（3）$\gamma$在${\alpha_i}$下坐標(biāo)為$X=(1,2,3)^T$，在${\beta_i}$下坐標(biāo)$Y=P^{-1}X$計(jì)算$P^{-1}=\begin{pmatrix}0&0&1\0&1&-1\1&-1&0\end{pmatrix}$，則：$$Y=\begin{pmatrix}0&0&1\0&1&-1\1&-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\2\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\-1\-1\end{pmatrix}$$四、證明題（每題15分，共30分）11.子空間判定與證明設(shè)$V$是數(shù)域$\mathbb{P}$上的$n$維向量空間，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$是$V$的一組基，證明：（1）$W={k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n|k_1+k_2+\cdots+k_n=0,k_i\in\mathbb{P}}$是$V$的線性子空間；（2）$\dimW=n-1$。證明：（1）封閉性驗(yàn)證：加法：設(shè)$\alpha,\beta\inW$，$\alpha=\suma_i\alpha_i$，$\beta=\sumb_i\alpha_i$，則$\sum(a_i+b_i)=0+0=0$，故$\alpha+\beta\inW$數(shù)乘：設(shè)$k\in\mathbb{P}$，則$\sum(ka_i)=k\suma_i=0$，故$k\alpha\inW$因此$W$是子空間。（2）維數(shù)計(jì)算：建立映射$\phi:V\to\mathbb{P}$，$\phi(\sumk_i\alpha_i)=\sumk_i$，則$\phi$是線性映射且$\ker\phi=W$。由于$\phi$是滿射（對(duì)任意$c\in\mathbb{P}$，$\phi(c\alpha_1)=c$），由同態(tài)基本定理：$$V/\ker\phi\cong\mathbb{P}\implies\dimV-\dimW=1\implies\dimW=n-1$$12.基變換與線性變換矩陣設(shè)$V$是2維向量空間，$\alpha_1,\alpha_2$是$V$的一組基，線性變換$T$滿足$T(\alpha_1)=\alpha_1+2\alpha_2$，$T(\alpha_2)=3\alpha_1+4\alpha_2$。（1）求$T$在基$\alpha_1,\alpha_2$下的矩陣$A$；（2）若另一組基$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_1-\alpha_2$，求$T$在基$\beta_1,\beta_2$下的矩陣$B$；（3）證明$A$與$B$相似。證明：（1）$T(\alpha_1,\alpha_2)=(\alpha_1,\alpha_2)\begin{pmatrix}1&3\2&4\end{pmatrix}$，故$A=\begin{pmatrix}1&3\2&4\end{pmatrix}$（2）過(guò)渡矩陣$P=(\beta_1,\beta_2)=(\alpha_1,\alpha_2)\begin{pmatrix}1&1\1&-1\end{pmatrix}$，則$B=P^{-1}AP$計(jì)算$P^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}-1&-1\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.5&0.5\0.5&-0.5\end{pmatrix}$$$B=\begin{pmatrix}0.5&0.5\0.5&-0.5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-1\0&-1\end{pmatrix}$$（3）由（2）知$B=P^{-1}AP$，根據(jù)相似矩陣定義，$A$與$B$相似。五、應(yīng)用題（10分）13.圖像處理中的坐標(biāo)變換在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，圖像旋轉(zhuǎn)可通過(guò)基變換實(shí)現(xiàn)。設(shè)平面點(diǎn)$P=(x,y)$繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)$\theta$角后的點(diǎn)為$P'=(x',y')$，（1）寫(xiě)出從標(biāo)準(zhǔn)基到旋轉(zhuǎn)基的過(guò)渡矩陣；（2）若$\theta=90^\circ$，求點(diǎn)$P=(1,0)$旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)；（3）證明連續(xù)旋轉(zhuǎn)$\theta_1$和$\theta_2$角相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)$\theta_1+\theta_2$角（用過(guò)渡矩陣乘法驗(yàn)證）。解答：（1）旋轉(zhuǎn)基為$\alpha_1=(\cos\theta,\sin\theta)$，$\alpha_2=(-\sin\theta,\cos\theta)$，過(guò)渡矩陣$R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$（2）$\theta=90^\circ$時(shí)，$R(90^\circ)=\begin{pmatrix}0&-1\1&0\end{pmatrix}$，$P'=R(90^\circ)\begin{pmatrix}1\0\end{pmatrix}=(0,1)$（3）矩陣乘法驗(yàn)證：$R(\theta_1)R(\theta_2)=\begin{pmatrix}\cos\theta_1&-\sin\theta_1\\sin\theta_1&\cos\theta_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta_2&-\sin\theta_2\\sin\theta_2&\cos\theta_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos(\theta_1+\theta_2)&-\sin(\theta_1+\theta_2)\\sin(\theta_1+\theta_2)&\cos(\theta_1+\theta_2)\end{pmatrix}=R(\theta_1+\theta_2)$因此結(jié)論成立。六、綜合題（20分）14.特征值與基變換的關(guān)系設(shè)$A$是3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，其特征值為$\lambda_1=1,\lambda_2=2,\lambda_3=3$，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為$\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,1),\alpha_3=(0,-1,1)$。（1）證明$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$構(gòu)成$\mathbb{R}^3$的一組正交基；（2）求矩陣$A$；（3）若將$\alpha_2,\alpha_3$單位化后作為基，求$A$在該基下的矩陣。解答：（1）正交性驗(yàn)證：$(\alpha_1,\alpha_2)=1\times0+0\times1+0\times1=0$，$(\alpha_1,\alpha_3)=0$，$(\alpha_2,\alpha_3)=0