2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)創(chuàng)新題探究專練（二）一、選擇題（8題）1.新定義與集合創(chuàng)新題目：設(shè)集合(A={x|x=3^k+2^m,k,m\in\mathbb{N}})，定義集合運(yùn)算(A\oplusB={a+b|a\inA,b\inB})，若(B={1,4,7})，則((A\oplusB)\cap{10,12,15,18,21})的元素個數(shù)為（）A.2B.3C.4D.5解析：先列舉集合(A)的元素：當(dāng)(k,m\geq0)時，(A={1+1=2,1+2=3,3+1=4,1+4=5,3+2=5,9+1=10,\dots})（去重后為({2,3,4,5,10,11,\dots})）計算(A\oplusB)：(a+1)：(3,4,5,6,11,12,\dots)(a+4)：(6,7,8,9,14,15,\dots)(a+7)：(9,10,11,12,17,18,\dots)交集運(yùn)算：與({10,12,15,18,21})的公共元素為10（9+1）、12（5+7或11+1）、15（11+4）、18（11+7），共4個，選C。2.復(fù)數(shù)與幾何綜合題目：在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(z)滿足(|z-2i|=1)，將向量(\overrightarrow{OZ})繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)(60^\circ)得到向量(\overrightarrow{OZ'})，則點(diǎn)(Z')的軌跡方程為（）A.(|z-\sqrt{3}-i|=1)B.(|z-1-\sqrt{3}i|=1)C.(|z-\sqrt{3}i|=1)D.(|z-2i|=1)解析：設(shè)(z=x+yi)，原軌跡為以((0,2))為圓心的單位圓：(x^2+(y-2)^2=1)旋轉(zhuǎn)后復(fù)數(shù)變換公式：(z'=z\cdote^{i\pi/3}=(x+yi)(\cos60^\circ+i\sin60^\circ)=\frac{x-\sqrt{3}y}{2}+i\frac{\sqrt{3}x+y}{2})設(shè)(z'=x'+y'i)，則(x=\frac{x'+\sqrt{3}y'}{2})，(y=\frac{-\sqrt{3}x'+y'}{2})代入原方程化簡得((x'-1)^2+(y'-\sqrt{3})^2=1)，即(|z-1-\sqrt{3}i|=1)，選B。3.概率與數(shù)列遞推題目：某機(jī)器人進(jìn)行路徑測試，從原點(diǎn)出發(fā)，每次等可能向左或向右移動1個單位，移動5次后停止。記停止時的位置為(X)，則(E(|X|)=)（）A.(\frac{15}{8})B.2C.(\frac{5}{2})D.3解析：移動5次后位置(X=(\text{向右次數(shù)})-(\text{向左次數(shù)})=2k-5)（(k=0,1,\dots,5)）(|X|)可能取值：1,3,5(P(|X|=1)=P(k=2)+P(k=3)=\binom{5}{2}(\frac{1}{2})^5+\binom{5}{3}(\frac{1}{2})^5=\frac{20}{32})(P(|X|=3)=P(k=1)+P(k=4)=\frac{10}{32})(P(|X|=5)=P(k=0)+P(k=5)=\frac{2}{32})期望(E(|X|)=1\times\frac{20}{32}+3\times\frac{10}{32}+5\times\frac{2}{32}=\frac{60}{32}=\frac{15}{8})，選A。4.立體幾何動態(tài)問題題目：在棱長為2的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，點(diǎn)(P)在棱(BB_1)上運(yùn)動，過(A,P,D_1)三點(diǎn)作正方體的截面，則截面面積的最小值為（）A.(2\sqrt{2})B.(2\sqrt{3})C.4D.(3\sqrt{2})解析：設(shè)(BP=t(0\leqt\leq2))，截面與棱(C_1C)交于點(diǎn)(Q)（(CQ=t)），截面為梯形(APQD_1)上底(AP=\sqrt{AB^2+BP^2}=\sqrt{4+t^2})，下底(D_1Q=\sqrt{D_1C_1^2+C_1Q^2}=\sqrt{4+(2-t)^2})高為兩平行線間距離：(h=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1+(\frac{t-(2-t)}{2})^2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1+(t-1)^2}})面積(S=\frac{1}{2}(\sqrt{4+t^2}+\sqrt{4+(2-t)^2})\cdot\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1+(t-1)^2}})，當(dāng)(t=1)時取最小值(2\sqrt{3})，選B。5.函數(shù)新定義問題題目：對于函數(shù)(f(x))，定義(f^*(x)=\max{f(x),f'(x)})，若(f(x)=xe^x-ax^2)在([0,+\infty))上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍是（）A.((-\infty,1])B.((-\infty,e])C.([1,e])D.([e,+\infty))解析：(f'(x)=(x+1)e^x-2ax)，依題意(f^*(x)\geq0)且(f'(x)\geq0)當(dāng)(x=0)時，(f'(0)=1\geq0)恒成立當(dāng)(x>0)時，(a\leq\frac{(x+1)e^x}{2x})，令(g(x)=\frac{(x+1)e^x}{2x})，求導(dǎo)得(g'(x)=\frac{e^x(x^2+x-1)}{2x^2})極值點(diǎn)(x=\frac{\sqrt{5}-1}{2})，(g(x)_{\min}=g(\frac{\sqrt{5}-1}{2})=1)，故(a\leq1)，選A。6.解析幾何與向量綜合題目：已知橢圓(C:\frac{x^2}{4}+y^2=1)，過右焦點(diǎn)(F)的直線(l)與橢圓交于(A,B)兩點(diǎn)，若(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB})，則直線(l)的斜率為（）A.(\pm\frac{\sqrt{5}}{2})B.(\pm\frac{\sqrt{3}}{2})C.(\pm\frac{\sqrt{15}}{6})D.(\pm\frac{\sqrt{15}}{2})解析：焦點(diǎn)(F(\sqrt{3},0))，設(shè)直線(l:x=my+\sqrt{3})，聯(lián)立橢圓方程得((m^2+4)y^2+2\sqrt{3}my-1=0)設(shè)(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2))，由(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB})得(y_1=-2y_2)由韋達(dá)定理：(y_1+y_2=-\frac{2\sqrt{3}m}{m^2+4}=-y_2)，(y_1y_2=-\frac{1}{m^2+4}=-2y_2^2)消去(y_2)得(\frac{12m^2}{(m^2+4)^2}=\frac{2}{m^2+4})，解得(m^2=\frac{4}{5})，斜率(k=\frac{1}{m}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2})，選A。7.數(shù)列與數(shù)學(xué)文化題目：《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑。相當(dāng)于給出了球體積(V)與直徑(d)的近似公式(d\approx\sqrt[3]{\frac{16}{9}V})。若將半徑為(r)的半球體分割成(n)個等高的圓柱體，當(dāng)(n\to\infty)時，這些圓柱體體積之和的極限值為（）A.(\frac{2}{3}\pir^3)B.(\frac{4}{3}\pir^3)C.(\pir^3)D.(\frac{1}{2}\pir^3)解析：第(k)個圓柱高(h=\frac{r}{n})，底面半徑(r_k=\sqrt{r^2-(\frac{kr}{n})^2})體積(V_k=\pir_k^2h=\pi(r^2-\frac{k^2r^2}{n^2})\cdot\frac{r}{n}=\frac{\pir^3}{n}-\frac{\pir^3k^2}{n^3})求和得(\sum_{k=1}^nV_k=\pir^3-\frac{\pir^3}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})取極限(\lim_{n\to\infty}\sumV_k=\pir^3-\frac{\pir^3}{3}=\frac{2}{3}\pir^3)，選A。8.不等式創(chuàng)新題型題目：對于正實(shí)數(shù)(a,b,c)，定義(M(a,b,c)=\max\left{\frac{a}{b+c},\frac{a+c},\frac{c}{a+b}\right})，則(M(a,b,c))的最小值為（）A.(\frac{1}{2})B.(\frac{\sqrt{3}}{3})C.1D.2解析：不妨設(shè)(a\geqb\geqc>0)，則(M=\frac{a}{b+c})，需證(\frac{a}{b+c}\geq\frac{1}{2})反證法：若(\frac{a}{b+c}<\frac{1}{2})，則(2a<b+c)，又(b\leqa,c\leqa)，故(b+c\leq2a)，矛盾當(dāng)(a=b=c)時取等號，(M=\frac{1}{2})，選A。二、多選題（2題）9.統(tǒng)計與概率綜合題目：某工廠生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布(N(50,\sigma^2))，質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取100個零件，測量其尺寸，得到如下數(shù)據(jù)：尺寸區(qū)間[48,49)[49,50)[50,51)[51,52]頻數(shù)10304020則下列說法正確的有（）A.樣本均值近似為50.2B.若(\sigma=1)，則尺寸在[49,51)的概率約為0.6827C.用樣本估計總體，該批零件尺寸的第75百分位數(shù)約為50.75D.若從該批零件中隨機(jī)抽取2個，至少有1個尺寸在[50,51)的概率為0.48解析：A：(\bar{x}=48.5\times0.1+49.5\times0.3+50.5\times0.4+51.5\times0.2=50.2)，正確B：正態(tài)分布(N(50,1))在([49,51))概率為(P(50-1<X<50+1)=0.6827)，正確C：第75百分位數(shù)位置：(100\times0.75=75)，落在[50,51)區(qū)間，(50+\frac{75-40}{40}=50.875)，錯誤D：單個零件在[50,51)概率為0.4，至少1個概率(1-0.6^2=0.64)，錯誤答案：AB10.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題目：已知函數(shù)(f(x)=\frac{\lnx}{x}-kx)有兩個極值點(diǎn)(x_1,x_2(x_1<x_2))，則下列結(jié)論正確的有（）A.(k\in(0,\frac{1}{2e}))B.(x_1+x_2>2e)C.(f(x_1)<-1)D.(x_1x_2<e^2)解析：(f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}-k=0)有兩解，即(k=\frac{1-\lnx}{x^2})，令(g(x)=\frac{1-\lnx}{x^2})，(g'(x)=\frac{2\lnx-3}{x^3})極值點(diǎn)(x=e^{3/2})，(g(x)_{\max}=g(e^{3/2})=\frac{1-3/2}{e^3}=-\frac{1}{2e^3})，A錯誤構(gòu)造函數(shù)(h(x)=g(x)-g(2e-x))，可證(x_1+x_2>2e)，B正確(f(x_1)=\frac{\lnx_1}{x_1}-kx_1=\frac{2\lnx_1-1}{x_1})，(x_1<e^{1/2})，(f(x_1)<-1)，C正確由對數(shù)均值不等式(\frac{x_1-x_2}{\lnx_1-\lnx_2}<\frac{x_1+x_2}{2})，結(jié)合(1-\lnx_1=kx_1^2)，可證(x_1x_2<e^2)，D正確答案：BCD三、填空題（4題）11.數(shù)列創(chuàng)新題題目：定義“等比差數(shù)列”：從第二項起，每一項與前一項的差成等比數(shù)列。若數(shù)列({a_n})是等比差數(shù)列，且(a_1=1,a_2=2,a_3=5)，則(a_5=)________。解析：差數(shù)列(d_n=a_{n+1}-a_n)，(d_1=1,d_2=3)，公比(q=3)(d_3=9,d_4=27)，故(a_4=a_3+d_3=14)，(a_5=14+27=41)答案：4112.解析幾何動態(tài)問題題目：拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過(F)的直線與拋物線交于(A,B)兩點(diǎn)，過(A,B)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足為(C,D)，則(|CD|)的最小值為________。解析：設(shè)直線(AB:x=my+1)，聯(lián)立得(y^2-4my-4=0)，(y_1+y_2=4m)，(y_1y_2=-4)(|CD|=|y_1-y_2|=\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}=\sqrt{16m^2+16}\geq4)（當(dāng)(m=0)時取等）答案：413.立體幾何體積問題題目：在棱長為1的正四面體(ABCD)中，點(diǎn)(E,F)分別是棱(AB,CD)的中點(diǎn)，則三棱錐(A-EFD)的體積為________。解析：正四面體體積(V=\frac{\sqrt{2}}{12})，(S_{\triangleAFD}=\frac{1}{2}S_{\triangleADC}=\frac{\sqrt{3}}{8})點(diǎn)(E)到平面(AFD)距離為(\frac{1}{2})棱長的(\frac{\sqrt{6}}{3})倍：(h=\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{6})(V_{A-EFD}=V_{E-AFD}=\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{8}\times\frac{\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{18}}{144}=\frac{\sqrt{2}}{48})答案：(\frac{\sqrt{2}}{48})14.新定義函數(shù)問題題目：對于函數(shù)(f(x))，若存在區(qū)間([a,b])使得(f(x))在([a,b])上的值域為([a^2,b^2])，則稱(f(x))為“平方函數(shù)”。若(f(x)=kx+3)是平方函數(shù)，則(k)的取值范圍為________。解析：分類討論：(k>0)時，(\begin{cases}ka+3=a^2\kb+3=b^2\end{cases})，方程(x^2-kx-3=0)有兩不等實(shí)根，(\Delta=k^2+12>0)恒成立(k=0)時，(f(x)=3)，值域為({3})，無區(qū)間滿足(k<0)時，(\begin{cases}ka+3=b^2\kb+3=a^2\end{cases})，兩式相減得(k(a-b)=b^2-a^2)，(k=-(a+b))，代入得(a^2+ab+b^2=3)，有解綜上(k\in(-\infty,-2\sqrt{3}]\cup(0,+\infty))答案：((-\infty,-2\sqrt{3}]\cup(0,+\infty))四、解答題（6題）15.三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題目：已知函數(shù)(f(x)=\sinx+\cosx-ax)在([0,\frac{\pi}{2}])上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍，并證明：當(dāng)(a=2)時，(f(x)\leq1)在([0,\frac{\pi}{2}])上恒成立。解析：（1）(f'(x)=\cosx-\sinx-a\leq0)恒成立，(a\geq\cosx-\sinx=\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4}))最大值為(\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4})=1)，故(a\geq1)（2）當(dāng)(a=2)時，(f(x)=\sinx+\cosx-2x)，(f'(x)=\cosx-\sinx-2\leq\sqrt{2}-2<0)(f(x)\leqf(0)=1)，證畢16.數(shù)列與不等式證明題目：已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1})，數(shù)列({b_n})滿足(b_n=a_na_{n+1})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項和(S_n)，并證明：(S_n<\frac{1}{2})。解析：（1）取倒數(shù)得(\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}+2)，(\frac{1}{a_n}=2n-1)，(a_n=\frac{1}{2n-1})(b_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}))(S_n=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})=\frac{n}{2n+1})（2）(S_n=\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2n+1)}<\frac{1}{2})，證畢17.概率統(tǒng)計與實(shí)際應(yīng)用題目：某工廠為檢測產(chǎn)品質(zhì)量，從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，測量其質(zhì)量指標(biāo)值，得到如下頻率分布直方圖：（注：因格式限制，直方圖略，數(shù)據(jù)如下：[10,20)頻率0.05，[20,30)0.15，[30,40)0.3，[40,50)0.3，[50,60)0.15，[60,70]0.05）（1）求這100件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和方差（同一組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點(diǎn)值代替）；（2）若質(zhì)量指標(biāo)值在[30,60)內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，用樣本估計總體，從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，求至少有2件合格品的概率。解析：（1）平均數(shù)(\bar{x}=15\times0.05+25\times0.15+35\times0.3+45\times0.3+55\times0.15+65\times0.05=40)方差(s^2=(15-40)^2\times0.05+(25-40)^2\times0.15+\dots+(65-40)^2\times0.05=145)（2）合格品頻率為(0.3+0.3+0.15=0.75)，設(shè)(X\simB(3,0.75))(P(X\geq2)=P(X=2)+P(X=3)=\binom{3}{2}(0.75)^2(0.25)+(0.75)^3=\frac{27}{32})18.立體幾何與空間向量題目：在四棱錐(P-ABCD)中，底面(ABCD)是邊長為2的菱形，(\angleABC=60^\circ)，(PA\perp)底面(ABCD)，(PA=3)，(E)是棱(PC)的中點(diǎn)。（1）求證：(BE\parallel)平面(PAD)；（2）求二面角(A-BE-D)的余弦值。解析：（1）建立坐標(biāo)系(A(0,0,0),B(2,0,0),D(-1,\sqrt{3},0),P(0,0,3),E(0.5,\frac{\sqrt{3}}{2},1.5))(\overrightarrow{BE}=(-1.5,\frac{\sqrt{3}}{2},1.5))，平面(PAD)法向量(\overrightarrow{AB}=(2,0,0))，(\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{AB}=-3\neq0)，改為取(PD)中點(diǎn)(F)，證(BE\parallelAF)（2）平面(ABE)法向量(\mathbf{n_1}=(0,\sqrt{3},-1))，平面(BDE)法向量(\mathbf{n_2}=(\sqrt{3},1,0))，余弦值(\cos\theta=\frac{\mathbf{n_1}\cdot\mathbf{n_2}}{|\mathbf{n_1}||\mathbf{n_2}|}=\frac{\sqrt{3}}{4})19.解析幾何綜合題題目：已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))，過右焦點(diǎn)(F)的直線(l)與橢圓交于(M,N)兩點(diǎn)，線段(MN)的垂直平分線交(x)軸于點(diǎn)(P)。（1）求橢圓(C)的方程；（2）求證：(\frac{|MN|}{|PF|})為定值。解析：（1）(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，(a^2=4b^2)，代入點(diǎn)((2,1))得(\frac{4}{4b^2}+\frac{1}{b^2}=1)，(b^2=2)，橢圓方程(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)（2）設(shè)直線(l:x=my+2\sqrt{3})，聯(lián)立得((m^2+4)y^2+4\sqrt{3}my+16=0)(|MN|=\sqrt{1+m^2}\cdot\frac{\sqrt{48m^2-64(m^2+4)}}{m^2+4}=\frac{4\sqrt{(1+m^2)(4-m^2)}}{m^2+4})(MN)中點(diǎn)(Q(\frac{8\sqrt{3}}{m^2+4},\frac{-2\sqrt{3