2025年下學期高二數(shù)學創(chuàng)造性思維試題（二）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(0,e)$上單調遞減B.函數(shù)$f(x)$的最大值為$\frac{1}{e}$C.方程$f(x)=a$有兩個不同實根時，$a$的取值范圍是$(0,\frac{1}{e})$D.函數(shù)$f(x)$的圖像關于直線$x=e$對稱在棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點$P$是棱$CC_1$上的動點，則三棱錐$P-ABD$的體積（）A.隨點$P$的位置變化而變化，最大值為$\frac{4}{3}$B.隨點$P$的位置變化而變化，最小值為$\frac{2}{3}$C.恒為$\frac{4}{3}$D.恒為$\frac{2}{3}$已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，則下列結論錯誤的是（）A.數(shù)列${a_n+1}$是等比數(shù)列B.$a_n=2^n-1$C.數(shù)列${a_n}$的前$n$項和$S_n=2^{n+1}-n-2$D.$\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\cdots+\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{n}{2^{n+1}-1}$已知橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的左、右焦點分別為$F_1$，$F_2$，點$P$在橢圓上，且$\angleF_1PF_2=60^\circ$，則$\triangleF_1PF_2$的面積為（）A.$\frac{16\sqrt{3}}{3}$B.$16\sqrt{3}$C.$\frac{32\sqrt{3}}{3}$D.$32\sqrt{3}$函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$在區(qū)間$[0,\pi]$上的最大值與最小值之和為（）A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(m,1)$，若$\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec)$，則實數(shù)$m$的值為（）A.$-3$B.$3$C.$-5$D.$5$某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸。銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元。該工廠在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸。那么該工廠可獲得的最大利潤是（）A.20萬元B.25萬元C.27萬元D.30萬元在區(qū)間$[0,2\pi]$上，函數(shù)$f(x)=\sinx-\cosx$的零點個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）曲線$y=x^3-3x^2+1$在點$(1,-1)$處的切線方程為________。已知等比數(shù)列${a_n}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_3=7$，$S_6=63$，則公比$q=$________。已知圓$C$：$x^2+y^2-4x+6y-3=0$，則圓$C$的圓心坐標為________，半徑為________。某中學高二年級共有500名學生，其中男生300名，女生200名。為了了解學生的數(shù)學學習情況，采用分層抽樣的方法從中抽取100名學生進行調查，則應抽取男生________名，女生________名。三、解答題（本大題共6小題，共90分）（本小題滿分14分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2-9x+1$。（1）求函數(shù)$f(x)$的單調區(qū)間；（2）求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-2,4]$上的最大值和最小值。（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=AC=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$PA=3$。（1）求證：$BC\perp$平面$PAB$；（2）求二面角$P-BC-A$的大小。（本小題滿分14分）已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)$的離心率為$\sqrt{3}$，且過點$(2,\sqrt{6})$。（1）求雙曲線的標準方程；（2）設雙曲線的左、右焦點分別為$F_1$，$F_2$，點$P$在雙曲線上，且$|PF_1|=2|PF_2|$，求$\trianglePF_1F_2$的面積。（本小題滿分16分）某城市為了改善交通狀況，決定修建一條新的地鐵線路。根據(jù)規(guī)劃，該線路全長20公里，共設15個站點。已知每個站點的建設成本與站點的位置有關，第$x$個站點（$1\leqx\leq15$）的建設成本為$C(x)=x^2-18x+100$（萬元）。（1）求第幾個站點的建設成本最低？最低成本是多少？（2）如果該地鐵線路的總建設成本不超過12000萬元，那么平均每個站點的建設成本最多是多少？（本小題滿分16分）已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{a}{x}(a\inR)$。（1）討論函數(shù)$f(x)$的單調性；（2）若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(1,e)$上有極值，求實數(shù)$a$的取值范圍。（本小題滿分16分）在數(shù)列${a_n}$中，$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+n+1$。（1）證明：數(shù)列${a_n+n+2}$是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列${a_n}$的前$n$項和$S_n$。四、開放探究題（本大題共2小題，共50分）（本小題滿分25分）數(shù)學建模是聯(lián)系數(shù)學與實際問題的橋梁，是培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題能力的重要途徑。請你結合生活中的一個具體問題，完成以下數(shù)學建模任務：（1）提出一個具體的實際問題；（2）分析問題，找出其中的數(shù)量關系，建立數(shù)學模型；（3）求解數(shù)學模型，得到結論；（4）對結論進行解釋和應用，并討論模型的優(yōu)缺點。（本小題滿分25分）在數(shù)學史上，許多重要的數(shù)學思想和方法都源于對具體問題的深入研究。請你選擇一個你熟悉的數(shù)學思想或