2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）函數(shù)$f(x)=x^2-2x$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.-1若函數(shù)$f(x)$在$x=2$處的導(dǎo)數(shù)$f'(2)=3$，則曲線$y=f(x)$在點$(2,f(2))$處的切線斜率為（）A.$\frac{1}{3}$B.2C.3D.6曲線$y=e^x+1$在點$(0,2)$處的切線方程為（）A.$y=x+2$B.$y=2x+1$C.$y=2x+2$D.$y=x+1$已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x$，則$f'(1)$的值為（）A.-1B.0C.1D.2若曲線$y=x^2+ax+b$在點$(1,1)$處的切線方程為$y=3x-2$，則$a,b$的值分別為（）A.$a=1,b=-1$B.$a=2,b=-2$C.$a=1,b=1$D.$a=2,b=0$函數(shù)$f(x)=\sinx$在$x=\frac{\pi}{2}$處的導(dǎo)數(shù)為（）A.0B.1C.-1D.$\frac{\pi}{2}$曲線$y=\lnx$在點$(1,0)$處的切線與直線$ax+y+1=0$垂直，則$a$的值為（）A.1B.-1C.2D.-2已知函數(shù)$f(x)=x^2$，則過點$(1,0)$且與曲線$y=f(x)$相切的直線方程為（）A.$y=0$B.$y=2x-2$C.$y=0$或$y=4x-4$D.$y=0$或$y=2x-2$函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在區(qū)間$[1,2]$上的平均變化率為（）A.$-\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.-1D.1若函數(shù)$f(x)=x^3+bx^2+cx$在$x=1$處有極值-2，則$b,c$的值分別為（）A.$b=1,c=-3$B.$b=-1,c=3$C.$b=-3,c=1$D.$b=3,c=-1$二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）函數(shù)$f(x)=x^3-2x^2+1$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=$________。曲線$y=x^2-3x+2$在點$(2,0)$處的切線方程為________。已知函數(shù)$f(x)=\cosx$，則$f'(\frac{\pi}{3})=$________。若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=2x+1$，且$f(1)=3$，則$f(x)=$________。曲線$y=e^x$上與直線$y=2x$平行的切線方程為________。三、解答題（本大題共6小題，共75分）（12分）利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)$f(x)=2x^2+3x$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)。（12分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$，求：（1）函數(shù)$f(x)$在點$(2,f(2))$處的切線方程；（2）函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。（12分）已知曲線$y=x^3+ax^2+bx+c$在點$(1,2)$處的切線方程為$y=x+1$，且$x=2$是函數(shù)的極值點，求$a,b,c$的值。（13分）已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$，（1）求函數(shù)$f(x)$在點$(1,f(1))$處的切線方程；（2）求函數(shù)$f(x)$的極值。（13分）已知函數(shù)$f(x)=x^2-2ax+1$，（1）求函數(shù)$f(x)$在點$(a,f(a))$處的切線方程；（2）若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[1,2]$上的最小值為0，求$a$的值。（13分）已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax-1$，（1）當(dāng)$a=1$時，求曲線$y=f(x)$在點$(0,f(0))$處的切線方程；（2）若函數(shù)$f(x)$在$R$上單調(diào)遞增，求實數(shù)$a$的取值范圍。四、附加題（本大題共2小題，共25分）（12分）已知函數(shù)$f(x)=x^3+bx^2+cx+d$的圖像過點$P(0,2)$，且在點$M(-1,f(-1))$處的切線方程為$6x-y+7=0$，求函數(shù)$f(x)$的解析式。（13分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{2}x^2-mlnx$，（1）當(dāng)$m=2$時，求函數(shù)$f(x)$在點$(1,f(1))$處的切線方程；（2）若函數(shù)$f(x)$在$(\frac{1}{e},+\infty)$上有兩個零點，求實數(shù)$m$的取值范圍。參考答案及解析一、選擇題A解析：$f'(x)=2x-2$，則$f'(1)=2\times1-2=0$C解析：函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)值即為該點處切線的斜率A解析：$y'=e^x$，則在點$(0,2)$處的切線斜率為$e^0=1$，切線方程為$y-2=1\times(x-0)$，即$y=x+2$B解析：$f'(x)=3x^2-3$，則$f'(1)=3\times1^2-3=0$A解析：由題意得$f(1)=1^2+a\times1+b=1$，即$a+b=0$；又$f'(x)=2x+a$，則$f'(1)=2+a=3$，解得$a=1$，所以$b=-1$A解析：$f'(x)=\cosx$，則$f'(\frac{\pi}{2})=\cos\frac{\pi}{2}=0$B解析：曲線$y=\lnx$在點$(1,0)$處的切線斜率為$y'|{x=1}=\frac{1}{x}|{x=1}=1$，因為切線與直線$ax+y+1=0$垂直，所以$-a\times1=-1$，解得$a=-1$C解析：設(shè)切點為$(x_0,x_0^2)$，則切線斜率為$2x_0$，切線方程為$y-x_0^2=2x_0(x-x_0)$，因為切線過點$(1,0)$，所以$0-x_0^2=2x_0(1-x_0)$，即$x_0^2-2x_0=0$，解得$x_0=0$或$x_0=2$，所以切線方程為$y=0$或$y=4x-4$A解析：平均變化率為$\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{\frac{1}{2}-1}{1}=-\frac{1}{2}$A解析：$f'(x)=3x^2+2bx+c$，因為函數(shù)在$x=1$處有極值-2，所以$\begin{cases}f(1)=1+b+c=-2\f'(1)=3+2b+c=0\end{cases}$，解得$b=1,c=-3$二、填空題$3x^2-4x$解析：$f'(x)=3x^2-4x$$y=x-2$解析：$y'=2x-3$，在點$(2,0)$處的切線斜率為$2\times2-3=1$，切線方程為$y-0=1\times(x-2)$，即$y=x-2$$-\frac{1}{2}$解析：$f'(x)=-\sinx$，則$f'(\frac{\pi}{3})=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$x^2+x+1$解析：由$f'(x)=2x+1$可知$f(x)=x^2+x+c$，又$f(1)=1+1+c=3$，解得$c=1$，所以$f(x)=x^2+x+1$$y=2x+2-2\ln2$解析：設(shè)切點為$(x_0,e^{x_0})$，切線斜率為$e^{x_0}=2$，解得$x_0=\ln2$，切線方程為$y-e^{\ln2}=2(x-\ln2)$，即$y=2x+2-2\ln2$三、解答題解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，$f'(1)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(1+\Deltax)-f(1)}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{2(1+\Deltax)^2+3(1+\Deltax)-(2\times1^2+3\times1)}{\Deltax}$$=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{2(1+2\Deltax+\Deltax^2)+3+3\Deltax-5}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{4\Deltax+2\Deltax^2+3\Deltax}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}(7+2\Deltax)=7$解：（1）$f'(x)=3x^2-6x+2$，$f(2)=8-12+4=0$，$f'(2)=12-12+2=2$，切線方程為$y-0=2(x-2)$，即$y=2x-4$（2）令$f'(x)=3x^2-6x+2>0$，解得$x<1-\frac{\sqrt{3}}{3}$或$x>1+\frac{\sqrt{3}}{3}$；令$f'(x)<0$，解得$1-\frac{\sqrt{3}}{3}<x<1+\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以函數(shù)$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間為$(-\infty,1-\frac{\sqrt{3}}{3})$和$(1+\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty)$，單調(diào)遞減區(qū)間為$(1-\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{\sqrt{3}}{3})$解：因為曲線過點$(1,2)$，所以$1+a+b+c=2$，即$a+b+c=1$①$f'(x)=3x^2+2ax+b$，因為在點$(1,2)$處的切線方程為$y=x+1$，所以切線斜率為1，即$f'(1)=3+2a+b=1$②又因為$x=2$是函數(shù)的極值點，所以$f'(2)=12+4a+b=0$③聯(lián)立①②③解得$a=-3,b=3,c=1$解：（1）$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$，$f(1)=0+1=1$，$f'(1)=1-1=0$，切線方程為$y-1=0\times(x-1)$，即$y=1$（2）令$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=0$，解得$x=1$當(dāng)$0<x<1$時，$f'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)$x>1$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增所以函數(shù)在$x=1$處取得極小值$f(1)=1$，無極大值解：（1）$f'(x)=2x-2a$，$f(a)=a^2-2a^2+1=1-a^2$，$f'(a)=2a-2a=0$，切線方程為$y-(1-a^2)=0\times(x-a)$，即$y=1-a^2$（2）函數(shù)$f(x)$的對稱軸為$x=a$當(dāng)$a\leq1$時，函數(shù)在$[1,2]$上單調(diào)遞增，最小值為$f(1)=1-2a+1=2-2a=0$，解得$a=1$當(dāng)$1<a<2$時，函數(shù)在$[1,a]$上單調(diào)遞減，在$[a,2]$上單調(diào)遞增，最小值為$f(a)=1-a^2=0$，解得$a=1$（舍負(fù)），但$1<a<2$，故無解當(dāng)$a\geq2$時，函數(shù)在$[1,2]$上單調(diào)遞減，最小值為$f(2)=4-4a+1=5-4a=0$，解得$a=\frac{5}{4}$（舍去）綜上，$a=1$解：（1）當(dāng)$a=1$時，$f(x)=e^x-x-1$，$f'(x)=e^x-1$，$f(0)=1-0-1=0$，$f'(0)=1-1=0$，切線方程為$y-0=0\times(x-0)$，即$y=0$（2）$f'(x)=e^x-a$，因為函數(shù)$f(x)$在$R$上單調(diào)遞增，所以$f'(x)\geq0$在$R$上恒成立，即$e^x-a\geq0$，$a\leqe^x$因為$e^x>0$，所以$a\leq0$，即實數(shù)$a$的取值范圍為$(-\infty,0]$四、附加題解：因為函數(shù)圖像過點$P(0,2)$，所以$d=2$$f'(x)=3x^2+2bx+c$，切線$6x-y+7=0$的斜率為6，所以$f'(-1)=3-2b+c=6$①又因為點$M(-1,f(-1))$在切線上，所以$-6-f(-1)+7=0$，即$f(-1)=1$，而$f(-1)=-1+b-c+d=1$，即$b-c+d=2$②由$d=2$和②得$b-c=0$，即$b=c$，代入①得$3-2b+b=6$，解得$b=-3$，所以$c=-3$故函數(shù)解析式為$f(x)=x^3-3x^2-3x+2$解：（1）當(dāng)$m=2$時，$f(x)=\frac{1}{2}x^2-2\lnx$，$f'(x)=x-\frac{2}{x}$$f(1)=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$，$f'(1)=1-2=-1$，切線方程為$y-\frac{1}{2}=-1\times(x-1)$，即$y=-x+\frac{3}{2}$（2）$f'(x)=x-\frac{m}{x}=\frac{x^2-m}{x}(x>0)$當(dāng)$m\leq0$時，$f'(x)>0$，函數(shù)在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，不可能有兩個零點當(dāng)$m>0$時，令$f'(x)=0$，解得$x=\sqrt{m}$（舍負(fù)）函數(shù)在$(0,\sqrt{m})$上單調(diào)遞減，在$(\sqrt{m},+\infty)$上單調(diào)遞增，最小值為$f(\sqrt{m})=\frac{1}{2}m-m\ln\sqrt{m}=\frac{m}{2}(1-\lnm)$要使函數(shù)有兩個零點，需滿足$\begin{cases}f(\sqrt{m})<0\f(\frac{1}{e})>0\end{cases}$，即$\begin{cases}\frac{m}{2}(1-\lnm)<0\\frac{1}{2e^2}-m\ln\