智能機器人與運動控制系統(tǒng)13.線性二次型最優(yōu)控制課程基本內容線性二次型最優(yōu)控制有限時域線性二次型最優(yōu)控制無限時域線性二次型最優(yōu)控制有限時域含噪聲線性二次型最優(yōu)控制無限時域含噪聲線性二次型最優(yōu)控制線性二次型最優(yōu)控制線性二次調節(jié)（LinearQuadraticRegulator,LRQ)是一種經典的控制方法適用于線性系統(tǒng)在給定性能指標下表現(xiàn)最優(yōu)常用于：控制工程機器人學飛行器控制線性二次型最優(yōu)控制考慮一個線性時不變系統(tǒng)：LQR的目標是找到一個狀態(tài)反饋控制器：線性二次型最優(yōu)控制LQR的目標是找到一個狀態(tài)反饋控制器：為了設計最優(yōu)的控制器增益矩陣??(??)，LQR考慮以下性能指標：線性二次型最優(yōu)控制性能指標：??是對狀態(tài)變量的加權矩陣，表示對不同狀態(tài)的重視程度??是對控制輸入的加權矩陣，表示對控制輸入的成本的重視程度通過調整??和??的值，我們可以調整系統(tǒng)的狀態(tài)變量和控制輸入對性能指標的影響程度線性二次型最優(yōu)控制LQR目標：找到一個最優(yōu)的控制器增益矩陣???(??)，使得成本函數(shù)??(??,??)最小化LQR的適用范圍：線性系統(tǒng)性能指標必須是二次型有限時域線性二次型最優(yōu)控制實際物理模型中，信息是離散的：傳感器采集到的信息控制器發(fā)出的信息所以我們考慮為一個離散時間下的直流電機狀態(tài)空間模型設計LQR控制器：有限時域線性二次型最優(yōu)控制離散時間下的狀態(tài)空間模型：離散時間下的控制輸入：離散時間下的性能指標：有限時域線性二次型最優(yōu)控制

有限時域線性二次型最優(yōu)控制問題建模：有限時域線性二次型最優(yōu)控制LQR可以使用動態(tài)規(guī)劃的方法求解可以把??(??,??)拆分成??=??時刻之前和??=??時刻之后兩個部分?？紤]直到時刻??累積的最小代價：有限時域線性二次型最優(yōu)控制

有限時域線性二次型最優(yōu)控制

有限時域線性二次型最優(yōu)控制

有限時域線性二次型最優(yōu)控制

有限時域線性二次型最優(yōu)控制

有限時域線性二次型最優(yōu)控制

有限時域線性二次型最優(yōu)控制總結離散時間下的有限時域LQR的求解過程：有限時域線性二次型最優(yōu)控制有限時域主要適用于以下情況：有明確終止時間的任務：比如機器人需要在一定時間內完成一項任務時間依賴的性能指標：系統(tǒng)的性能指標隨時間變化或者只在特定時間段內有效模型或目標參數(shù)變化：有限時域LQR能夠根據(jù)每個階段設定不同的優(yōu)化目標有限操作環(huán)境：只在有限時間內運行或存在的系統(tǒng)無限時域線性二次型最優(yōu)控制有限時域的LQR在某些時候并不適用：長期或持續(xù)操作的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)或周期性任務缺乏明確終止條件的情況系統(tǒng)穩(wěn)定性要求無限時域線性二次型最優(yōu)控制因此，我們引入無限時域線性二次型最優(yōu)控制無限時域線性二次型最優(yōu)控制的性能指標無限時域線性二次型最優(yōu)控制

無限時域線性二次型最優(yōu)控制無限時域LQR可以通過同樣的過程得到然而，無限時域的LQR不存在一個終端時刻和終端狀態(tài)，不能遞推，但并非無解，我們可以通過一個定理求解。無限時域線性二次型最優(yōu)控制無限時域線性二次型最優(yōu)控制基于上述定理，在無限時域的LQR中，當系統(tǒng)和目標函數(shù)滿足上述三點條件，離散時間的Riccati差分方程存在且存在唯一的穩(wěn)態(tài)解??求解穩(wěn)態(tài)解??，可以計算當前時刻的最優(yōu)控制策略無限時域線性二次型最優(yōu)控制總結離散時間下的無限時域LQR的求解過程有限時域含噪聲線性二次型最優(yōu)控制實際的控制系統(tǒng)中，觀測噪聲和控制噪聲是不可避免，我們要考慮如何為有噪聲的控制模型設計最優(yōu)控制器（LinearQuadraticGaussian,LQG)考慮離散時間帶噪聲的狀態(tài)空間模型有限時域含噪聲線性二次型最優(yōu)控制因為狀態(tài)空間模型引入了作為隨機變量的噪聲，有限時域的LQG的代價函數(shù)以期望的方式表示有限時域含噪聲線性二次型最優(yōu)控制

有限時域含噪聲線性二次型最優(yōu)控制

有限時域含噪聲線性二次型最優(yōu)控制

有限時域含噪聲線性二次型最優(yōu)控制

有限時域含噪聲線性二次型最優(yōu)控制

有限時域含噪聲線性二次型最優(yōu)控制

有限時域含噪聲線性二次型最優(yōu)控制回憶可以得到有限時域含噪聲線性二次型最優(yōu)控制

有限時域含噪聲線性二次型最優(yōu)控制總結離散時間下的有限時域LQG的求解過程：無限時域含噪聲線性二次型最優(yōu)控制有限時域下的LQG控制器可以分為線性二次調節(jié)和最優(yōu)狀態(tài)估計兩部分

LQG控制器推廣到無限時域下時，需要分別分析兩個部分的穩(wěn)態(tài)情況無限時域含噪聲線性二次型最優(yōu)控制無限時域下LQG線性二次調節(jié)的穩(wěn)態(tài)分析與無限時域的LQR控制問題一樣假設系統(tǒng)和目標函數(shù)滿足代數(shù)Riccati方程存在唯一正定解的條件，則最優(yōu)控制系數(shù)??最后會趨于一個穩(wěn)定解??是下方代數(shù)Riccati方程的唯