12.3一次函數(shù)與二元一次方程（一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程）題型一圖像法解一元一次方程1．（21-22八年級上·江西景德鎮(zhèn)·期中）一次函數(shù)的圖象如圖所示，則關于x的方程的解為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圖象得出一次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標，即可得出方程的解．【詳解】解：∵直線與x軸交點坐標為，∴的解為，故選：B．【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程的關系，關鍵是正確利用解答．2．（24-25七年級下·廣西欽州·階段練習）已知直線經(jīng)過點，則方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查一次函數(shù)與一元一次方程之間的關系，解題的關鍵是正確理解直線上的點與方程解的對應關系．根據(jù)直線上的點與方程解的對應關系即可求解．【詳解】∵直線經(jīng)過點，∴時，，∴方程的解為，故選：．3．（2025·甘肅蘭州·一模）如圖，已知直線經(jīng)過點，則關于x的方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查根據(jù)圖像法解一元一次方程．根據(jù)題意利用圖像即可得到本題答案．【詳解】解：∵直線經(jīng)過點，∴關于x的方程的解為，故選：B．4．（24-25八年級上·遼寧沈陽·期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線經(jīng)過點，和，則關于x的方程的解為．

【答案】4【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程．根據(jù)題意，可知當時，，即可關于x的方程的解為．【詳解】解：∵直線經(jīng)過點，∴當時，，∴關于x的方程的解為．故答案為：4．5．（24-25八年級上·安徽合肥·階段練習）畫出函數(shù)圖象．(1)利用圖象求方程的解；(2)利用圖象求不等式的解集；(3)如果值在的范圍內(nèi)，求相應的的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查一次函數(shù)圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)與不等式、一次函數(shù)與一元一次方程的解，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關鍵．（1）利用一次函數(shù)圖象的特殊點作圖即可，根據(jù)一次函數(shù)與x軸的交點求得方程的解；（2）根據(jù)時，一次函數(shù)圖象位于x軸的下方，即可求得不等式的解集；（3）根據(jù)一次函數(shù)的圖象即可求得x的取值范圍．【詳解】（1）解：當時，，當時，，，作直線，如圖所示．當時，，所以方程的解為；（2）解：當時，，所以不等式的解集為；（3）解：值在的范圍內(nèi)，相應的的取值范圍是．題型二已知直線與坐標軸的交點求方程的解6．（24-25八年級上·安徽安慶·期中）若一次函數(shù)（為常數(shù)且）的圖像經(jīng)過點，則關于的方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律、一次函數(shù)與一元一次方程的關系．由直線向右平移8個單位得到直線，從而可得直線與x軸交點坐標，進而求解．【詳解】解：直線是由直線向右平移8個單位所得，∵與x軸交點為，∴直線與x軸交點坐標為，∴的解為，故選：A．7．（24-25八年級上·遼寧沈陽·期中）如圖，已知一次函數(shù)的圖象分別與x，y軸交于A，B兩點，若，，則關于x的方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程之間的關系．根據(jù)一次函數(shù)與軸交點坐標可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∵一次函數(shù)的圖象與軸交于點，∴當時，，即時，，∴關于的方程的解是．故選：C．8．（23-24八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）一次函數(shù)中，與的部分對應值如下表：那么一元一次方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次的關系．任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為，為常數(shù)，的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當某個一次函數(shù)的值為0時，求相應的自變量的值．從圖象上看，相當于已知直線確定它與軸的交點的橫坐標的值．此題實際上是求當時，所對應的的值．根據(jù)表格求解即可．【詳解】解：根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)值，當時，，即一元一次方程的解是．故選：D9．（24-25八年級上·山東青島·期中）直線過點，，則關于x的方程的解為．當時，自變量x的取值范圍是．【答案】【分析】此題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，一次函數(shù)與一元一次不等式．所求方程的解，即函數(shù)圖像與軸的交點橫坐標；根據(jù)直線過點，，判斷出函數(shù)的增減性，即可寫出不等式的解集．【詳解】解：關于x的方程的解，即為函數(shù)圖像與軸的交點橫坐標，直線過點，方程的解為，直線過點，，直線隨x的增大而減小，當時，自變量x的取值范圍是，故答案為：，．10．（24-25八年級上·安徽六安·階段練習）已知函數(shù)的圖象，利用圖象回答下列問題：(1)直接寫出方程的解；(2)直接寫出不等式的解集；(3)若，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象解不等式，（1）根據(jù)圖示，時，，結(jié)合圖象可求解；（2）根據(jù)圖示，當時，圖象在軸上方，由此即可求解；（3）根據(jù)圖示，結(jié)合（2）的結(jié)果，當時，滿足條件，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，當時，，∴的解為；（2）解：根據(jù)圖示，當時，圖象在軸上方，即，∴不等式的解集為；（3）解：由（2）可得，當時，，當時，，∴時，．題型三由一元一次方程的解判斷直線與x軸的交點11．（24-25八年級上·廣西·期中）若關于x的方程的解為，則直線一定經(jīng)過點（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程的關系，掌握一次函數(shù)與一元一次方程的關系式解題的關鍵．根據(jù)方程可知時，，即直線過點．【詳解】解：∵關于的方程的解為，∴直線一定經(jīng)過某點的坐標為，故選A．12．（2021·安徽合肥·二模）若是關于的方程的解，則一次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直線y=mx+n與x軸的交點的橫坐標就是函數(shù)值為0時的方程的解，根據(jù)題意得到一次函數(shù)y=mx+n的圖象與x軸的交點為（2，0），進而得到一次函數(shù)y=-mx-n的圖象與x軸的交點為（2，0），由于一次函數(shù)y=-mx-n的圖象向右平移一個單位得到y(tǒng)=-m（x-1）-n，即可求得一次函數(shù)y=-m（x-1）-n的圖象與x軸的交點坐標．【詳解】解：∵方程的解為x=2，∴當x=2時mx+n=0；∴一次函數(shù)y=mx+n的圖象與x軸的交點為（2，0），∴一次函數(shù)y=-mx-n的圖象與x軸的交點為（2，0），∵一次函數(shù)y=-mx-n的圖象向右平移一個單位得到y(tǒng)=-m（x-1）-n，∴一次函數(shù)y=-m（x-1）-n的圖象與x軸的交點坐標是（3，0），故選：B．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程的關系．任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當某個一次函數(shù)的值為0時，求相應的自變量的值．從圖象上看，相當于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標的值．13．（2024·陜西·一模）已知關于的方程的解是，則一次函數(shù)（、為常數(shù)，且）的圖象可能是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一次方程的關系，關鍵是根據(jù)方程的解其實就是當時一次函數(shù)與x軸的交點橫坐標解答．根據(jù)交點坐標的含義可得答案.【詳解】解：∵關于的方程的解是，∴一次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標是．∴只有選項B的圖象符合題意，故選：B14．（23-24八年級下·四川內(nèi)江·期中）將直線沿y軸向上平移4個單位后，與x軸的交點坐標是．【答案】【分析】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減”的原則是解答此題的關鍵．根據(jù)“上加下減”的原則求得平移后的解析式，令，解得即可．【詳解】解：由“上加下減”的原則可知，將函數(shù)的圖象向上平移4個單位長度所得函數(shù)的解析式為，∵此時與x軸相交，則，∴，即，∴與x軸的交點坐標是．故答案為：15．（21-22八年級上·廣西梧州·期中）一元一次方程的解是一次函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標．【答案】（答案不唯一）【分析】本題可先求出一元一次方程的解，即；因此這個交點的坐標為；那么只要過的一次函數(shù)，均符合條件．【詳解】解：∵，∴．設一次函數(shù)的解析式為，那么一次函數(shù)與軸交點的坐標為，即，；即一次函數(shù)的解析式為；當時，一次函數(shù)的解析式為．故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查一次函數(shù)與一元一次方程關系，求出一次函數(shù)與坐標軸的交點坐標是解決本題的關鍵．題型四由直線與坐標軸的交點求不等式的解集16．（24-25八年級下·安徽宿州·期中）如圖，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點和，則關于x的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，首先利用圖象可找到圖象在軸下方，此時，進而得到關于的不等式的解集．【詳解】解：一次函數(shù)中，要使關于的不等式即：時，圖象在軸下方，由圖可知：，則關于的不等式的解集是，故選：D．17．（24-25八年級下·安徽宿州·期中）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則關于x的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與不等式之間的關系，根據(jù)可得y隨x增大而減小，則當時的函數(shù)值大于4，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵一次函數(shù)解析式為，∴y隨x增大而減小，∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴關于x的不等式的解集為，故選：B．18．（24-25九年級下·安徽蚌埠·階段練習）若對于任意負數(shù)，都存在，則一次函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題考查一次函數(shù)和一元一次不等式的關系，以及及數(shù)形結(jié)合思想的應用．根據(jù)圖象解答即可．【詳解】解：由題意可知，當時，，符合條件的圖象只能是D．故選D．19．（24-25八年級上·安徽淮北·階段練習）如圖，直線（和是常數(shù)且）交軸、軸于點、，下列結(jié)論正確的是（

）A．方程的解是 B．方程的解是C．不等式的解集是 D．不等式的解集是【答案】C【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)與一元一次方程、一次函數(shù)與一元一次不等式等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵．根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)與一元一次方程、一次函數(shù)與一元一次不等式以及函數(shù)的圖象逐項判斷即可．【詳解】解：如圖：由函數(shù)圖象可知直線（k和b是常數(shù)且）交x軸，y軸分別于點，．∴方程的解是，即A選項錯誤，不符合題意；由函數(shù)與的圖象關于y軸對稱，則函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標為，所以方程的解是，即B選項錯誤，不符合題意；由函數(shù)圖象可知：當時，函數(shù)的圖象在x軸的上方，不等式的解集是，即C選項正確，符合題意；由函數(shù)圖象可知：不等式的解集是，即D選項錯誤，不符合題意．故選：C．20．（24-25八年級上·安徽淮北·期中）已知關于x的一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點．(1)求這個一次函數(shù)的表達式；(2)直接寫出當x取何值時，．【答案】(1)；(2)當時，．【分析】本題考查了待定系數(shù)法法求一次函數(shù)的解析式．一次函數(shù)圖象上的點都滿足一次函數(shù)解析式．（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）作出點和，過兩點作直線，根據(jù)圖象，求出直線位于軸下面的部分的的取值范圍．【詳解】（1）解：把點和代入一次函數(shù)得：，解得，則一次函數(shù)的解析式是：；（2）解：函數(shù)圖象如圖所示：根據(jù)圖象可得：當時，．題型五圖像法解二元一次方程組21．（20-21八年級上·安徽宿州·期末）如圖，一次函數(shù)與的圖象相交于點，則方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將點P（、4）代入，求出的值，結(jié)合圖像交點P的坐標即為二元一次方程組的解．【詳解】一次函數(shù)與的交點為P（、4）解得點P的坐標為（2、4）的解為：故選：A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的關系，解題關鍵是求出點P坐標，結(jié)合圖形求解．22．（20-21八年級上·安徽馬鞍山·期末）若直線和相交于點，則方程組的解為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得直線和直線關于原點對稱的直線，由題意得出點P的對應點，根據(jù)方程組的解和直線交點的關系即可求得．【詳解】解：直線和關于原點對稱的直線為y=mx+3和，∵直線和相交于點P（2，3），∴直線y=mx+3和y=2xn相交于點（2，3），∴方程組的解為；故選：D．【點睛】本題考查了對一次函數(shù)與二元一次方程組的關系的理解和運用，題目比較典型，求得直線關于原點的對稱直線是解題的關鍵．23．（20-21八年級上·安徽合肥·階段練習）用圖像法解某二元一次方程組時，在同一直角坐標系中作出相應的兩個一次函數(shù)的圖像如圖所示，則方程組是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于函數(shù)圖象交點坐標為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解．因此本題應先用待定系數(shù)法求出兩條直線的解析式，聯(lián)立兩個函數(shù)解析式所組成的方程組即為所求的方程組．【詳解】解：設經(jīng)過一、三、四象限的函數(shù)解析式為：y=kx+b，其經(jīng)過點(1，1)和點(0，-1)，代入解析式中：1=k+b，-1=b，解得：k=2，所以其解析式為：y=2x-1，設經(jīng)過一、二、四象限的函數(shù)解析式為：y=mx+n，其經(jīng)過點(1，1)和點(2，0)，代入解析式中：1=m+n，0=2m+n，解得：m=-1，n=2，所以其解析式為：y=-x+2，因此所解得二元一次方程組為：，故選：D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組），方程組的解就是使方程組中兩個方程同時成立的一對未知數(shù)的值，而這一對未知數(shù)的值也同時滿足兩個相應的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個相應的一次函數(shù)圖象的交點坐標．24．（22-23八年級上·山西太原·期末）如圖，一次函數(shù)與的圖象相交于點，則方程組的解是．【答案】【分析】根據(jù)一次函數(shù)與二元一次方程組的關系，即可進行解答．【詳解】解：把代入得：，∴，∵點P為一次函數(shù)與的圖象交點，∴方程組的解是；故答案為：．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的關系，解題的關鍵是掌握兩個一次函數(shù)的交點的橫坐標和縱坐標的值等于對應二元一次方程組的解．25．（24-25八年級上·安徽合肥·期中）在以下平面直角坐標系中，(1)畫出函數(shù)與的圖象；(2)根據(jù)圖象寫出方程組的解；(3)根據(jù)圖象寫出不等式的解集．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】本題主要考查了畫一次函數(shù)圖象、一次函數(shù)與方程組的關系、一次函數(shù)與不等式的關系等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關鍵．（1）運用列表、描點、連線的步驟畫出函數(shù)圖形即可；（2）根據(jù)二元一次方程組的解為其對應函數(shù)交點的坐標，據(jù)此即可解答；（3）根據(jù)函數(shù)圖象確定在上方部分所對應的自變量的取值范圍即可．【詳解】（1）解：列表如下：x01543描點、連線、畫圖如下：（2）解：方程組可化為：，由函數(shù)圖象可知直線與直線的交點坐標為，所以方程組的解為．（3）解：∵當時，函數(shù)的圖象在函數(shù)的下方，∴不等式的解集為．題型六兩直線的交點與二元一次方程組的解26．（24-25八年級上·安徽宿州·期末）如圖，一次函數(shù)（是常數(shù)，且）與正比例函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖象相交于點，下列判斷不正確的是（）A．關于的方程的解是B．當時，C．關于的方程組的解是D．當時，函數(shù)的值比函數(shù)的值小【答案】D【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關鍵是掌握用圖像法解一元一次方程和解二元一次方程組的方法和步驟．根據(jù)兩直線的交點坐標即可判斷A、C，根據(jù)圖象即可判斷B、D．【詳解】解：∵兩直線相交于點，∴方程的解是，方程組的解是，故A、C正確，不符合題意；∵當時，直線在x軸下方，即，故B正確，不符合題意；∴當時，函數(shù)的值比函數(shù)的值大，故D不正確，符合題意；故選：D．27．（24-25八年級上·安徽安慶·期中）在同一平面直角坐標系中，對于任意非零實數(shù)，關于的函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點有可能在（）象限A．第一或第三 B．第二或第四C．第三或第四 D．第一、第二、第三或第四【答案】A【分析】本題考查了求一次函數(shù)交點問題，直角坐標系中象限內(nèi)點的坐標特點，解二元一次方程組求交點是解題的關鍵．聯(lián)立兩個一次函數(shù)解析式求得交點坐標，進而進行判斷即可求解【詳解】解：解方程組，解得，，當時，，圖象的交點在第一象限；當時，，圖象的交點在第三象限；故選：A．28．（24-25八年級上·安徽馬鞍山·期中）如圖，一次函數(shù)與的圖象，下列說法正確的是（

）①；②的圖象，隨自變量的增大而減少；③不論為何值，一次函數(shù)的圖象總過定點；④方程組的解是．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，兩直線交點與二元一次方程組的解，理解圖示信息，掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限可判定①；根據(jù)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，可判定②；由一次函數(shù)，，可得當時，，即與的值無關，可判定③；根據(jù)一次函數(shù)與的圖象經(jīng)過，可判定④；由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)圖示可得，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，∴，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，∴，故①正確；∵，∴一次函數(shù)中，隨自變量的增大而減少，故②正確；∵一次函數(shù)，，∴當時，，即不論為何值，一次函數(shù)的圖象總過定點，故③正確；∵一次函數(shù)與的圖象經(jīng)過，∴方程組的解是，故④正確；綜上所述，正確的有①②③④．故選：D．題型七根據(jù)兩條直線的交點求不等式的解集29．（2025·陜西咸陽·一模）若函數(shù)和函數(shù)的圖像如圖所示，其交點為，則關于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)與不等式，先求出，再結(jié)合函數(shù)圖象即可得解，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關鍵．【詳解】解：將代入得：，解得：，∴，由圖象可得，關于的不等式的解集是，故選：B．30．（24-25八年級上·安徽合肥·期中）如圖，在平面直角坐標系中，若直線與直線相交于點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．方程組的解是B．方程的解是C．不等式和不等式的解集相同D．不等式組的解集是【答案】A【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程之間的關系，一次函數(shù)與二元一次方程組之間的關系，一次函數(shù)與不等式之間的關系．根據(jù)一次函數(shù)與一元一次方程之間的關系，一次函數(shù)與二元一次方程組之間的關系，一次函數(shù)與不等式之間的關系解答即可．【詳解】解：A、根據(jù)方程組的解才是，原結(jié)論錯誤，符合題意；B、根據(jù)兩條直線交點P的坐標是，得到方程的解是，原結(jié)論正確，不符合題意；C、根據(jù)不等式的解集與不等式的解集都是，得到不等式和不等式的解集相同，原結(jié)論正確，不符合題意；D、把代入，得到，當時，，得到不等式的解集是，根據(jù)不等式的解集是，得到不等式組的解集是，原結(jié)論正確，不符合題意．故選：A．31．（24-25八年級上·安徽淮北·期末）如圖，已知函數(shù)和的圖象交于點，則時的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查根據(jù)一次函數(shù)交點求不等式組的解集，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關鍵．利用圖象法，根據(jù)函數(shù)圖象求解即可．【詳解】解：∵函數(shù)和的圖象交于點，∴由圖象可得：的解集為：，由的圖象可得：的解集為：，∴當時的取值范圍是．故選：D．32．（23-24八年級下·安徽宣城·期末）如圖，觀察函數(shù)圖象，當?shù)娜≈捣秶菚r，．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)與不等式，根據(jù)函數(shù)圖象解答即可求解，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關鍵．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當時，的圖象在的圖象下方，即，故答案為：．33．（24-25八年級下·安徽宿州·期中）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、，與軸相交于點，且和一次函數(shù)的圖象交于點，如圖所示．(1)填空：不等式的解集是________．(2)若點的橫坐標是1，請完成下面的問題：①填空：不等式的解集是________．②求的值．【答案】(1)(2)①②【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與不等式之間的關系，一次函數(shù)與幾何綜合，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．（1）結(jié)合函數(shù)圖象找到一次函數(shù)的圖象在x軸上方時，自變量的取值范圍即可得到答案；（2）①由函數(shù)圖象可知，找到一次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象下方時，自變量的取值范圍即可得到答案；②利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，進而求出點C的坐標，再利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】（1）解：由函數(shù)圖象可知，當一次函數(shù)的圖象在x軸上方時，自變量的取值范圍為，∴不等式的解集是，故答案為：；（2）解：①由函數(shù)圖象可知，當一次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象下方時，自變量的取值范圍為，∴不等式的解集是，故答案為：；②∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、，∴，∴，∴一次函數(shù)的解析式為，在中，當時，，∴，∴，∴．34．（24-25八年級上·安徽淮北·期中）如圖，在平面直角坐標系中，過點的直線與直線相交于點．(1)求直線的表達式；(2)結(jié)合圖象，求不等式的解集．【答案】(1)(2)【分析】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，一次函數(shù)與一元一次不等式，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用是解題的關鍵．（1）將代入可得，則，再用待定系數(shù)法求直線的表達式即可；（2）根據(jù)點B坐標，結(jié)合函數(shù)圖象即可求得答案．【詳解】（1）解：過點，解得：，，直線過點，，，解得：直線的表達式為；（2）解：結(jié)合圖象可知，的解集為，即的解集為，由（1）可知，的解集為．題型一求直線圍成的圖形面積1．（21-22八年級上·安徽亳州·階段練習）一次函數(shù)y=-x+4的圖象與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為(

)A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，可求出一次函數(shù)y＝?x＋4的圖象與兩坐標軸的交點坐標，再利用三角形的面積計算公式，即可求出答案．【詳解】解：∵當x＝0時，y＝4，∴一次函數(shù)y＝?x＋4的圖象與y軸交于點（0，4），∵當y＝0時，即?x＋4＝0，解得：x＝4，∴一次函數(shù)y＝?x＋4的圖象與x軸交于點（4，0），∴一次函數(shù)y＝?x＋4的圖象與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為：×4×4＝8．故選：C．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及三角形的面積，牢記直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關系式是解題的關鍵．2．（24-25八年級上·四川·期中）如圖，直線：與直線：相交于點，直線與y軸相交于點A，直線與y軸交于點B，則的面積等于．【答案】9【分析】此題主要考查了兩條直線相交問題，關鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點必能滿足解析式．先根據(jù)題意求出，得出P點坐標為，再求出，得出，求出點A的坐標為，點B的坐標為，然后可求出的面積即可．【詳解】解：直線：與直線：相交于點，，解得：，∴P點坐標為，把代入得，解得：，∴，把代入得：，把代入得：，∴點A的坐標為，點B的坐標為，∴，的面積為：，故答案為：9．3．（23-24八年級上·安徽合肥·階段練習）若一次函數(shù)與坐標軸圍成的三角形面積為9，則這個一次函數(shù)的解析式為．【答案】或【分析】先求出函數(shù)圖象與兩坐標軸的交點坐標，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可得出答案．【詳解】一次函數(shù)中令，則令，則這個一次函數(shù)的解析式為或．【點睛】本題考查了求直線圍成的圖形面積，解題的關鍵是求出交點坐標．4．（24-25八年級上·安徽滁州·期中）如圖，直線：分別交x軸，y軸于A，B兩點，直線：分別交y軸，x軸于C，D兩點，直線相交于點P．(1)點P的坐標為______；(2)求四邊形的面積；(3)過點P的直線把的面積二等分，求該條直線的表達式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象的交點坐標與二元一次方程組解的關系即可求得；（2）分別求出，，，利用即可求得；（3）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，找到兩點的中點，待定系數(shù)法求出表達式即可．【詳解】（1）解：∵直線：和直線：相交于點P．∴點坐標為的解，解得：．∴；故答案為：；（2）解：當時，代入，得，解得．∴．當時，代入，，得，，∴，．∴．∴；（3）解：由（2）知，，則的中點坐標為．設該直線的表達式為，代入，，得，解得．∴該直線的表達式為．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象的交點坐標與二元一次方程組解的關系、圖象與坐標軸圍成面積、三角形的中線、待定系數(shù)法求函數(shù)表達式等知識點，一次函數(shù)知識點的熟練運用是解題關鍵．5．（24-25八年級上·安徽六安·期中）如圖，正比例函數(shù)與一次函數(shù)（k，b是常數(shù)且）交于點C，一次函數(shù)與x，y軸分別交于點A與點B，已知．(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)已知過點C的直線將的面積分為，求該直線的表達式．【答案】(1)；(2)6(3)或．【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、三角形的面積，解題時要熟練掌握并能靈活運用一次函數(shù)的性質(zhì)是關鍵．（1）依據(jù)題意，由，從而，，利用待定系數(shù)法即可得解；（2）依據(jù)題意，聯(lián)立方程組，求得C的坐標為，利用三角形面積公式計算可得解；（3）依據(jù)題意，得或，則或，進而可得D的坐標為或，利用待定系數(shù)法即可得解．【詳解】（1）解：由題意，，∴，．∴．∴，．∴一次函數(shù)的解析式為；（2）解：由題意，聯(lián)立方程組，解得，∴C的坐標為．∴；（3）解：由題意，如圖，∵過點C的直線將的面積分為，∴或，∴或，∴D的坐標為或，又∵C的坐標為，同理，由待定系數(shù)法求得直線的解析式為或．題型二一次函數(shù)圖像與坐標軸交點問題6．（24-25八年級上·安徽淮北·期末）如圖，直線與坐標軸交于，兩點，直線與坐標軸交于，兩點，連接，．試說明．【答案】見解析【分析】本題考查一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點，三角形全等的判定及性質(zhì)．先根據(jù)一次函數(shù)與方程的關系求出點A，B，C，D的坐標，進而得到，，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】解：對于函數(shù)，令，則；令，則，∴，，∴．對于函數(shù)，令，則；令，則，∴，，∴．∵，∴，∴．7．（24-25八年級上·陜西榆林·期中）如圖，已知函數(shù)與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C與點A關于y軸對稱．(1)求直線的函數(shù)表達式；(2)設點M是x軸上的動點，過點M作y軸的平行線，交直線于點P，交直線于點Q．若的面積為2，求滿足題意的所有點P的坐標．【答案】(1)(2)或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合應用，三角形面積計算，求一次函數(shù)解析式，解題的關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法．（1）先求出點B、C的坐標，然后用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；（2）設，分兩種情況：當點M在x軸的負半軸時，當點M在x軸的正半軸時，分別列出關于m的方程，解方程即可．【詳解】（1）解：令，則，所以，令，則，解得：，所以，因為點C與點A關于y軸對稱，所以，設直線的表達式為，則：，解得，所以直線的解析式為：．（2）解：設，因為軸，所以，①當點M在x軸的負半軸時，，所以，解得：；②當點M在x軸的正半軸時，，所以，解得，所以或．8．（24-25八年級上·安徽安慶·期末）如圖，已知直線經(jīng)過點，，直線與直線相交于點M，與x軸交于點D，點M的橫坐標為．(1)根據(jù)圖象，直接寫出當時，x的取值范圍是什么？(2)求直線的表達式和a的值；(3)若點P在直線上，且，求點P的坐標．【答案】(1)(2)，(3)或【分析】本題考查一次函數(shù)解析式及一次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關鍵：（1）根據(jù)圖象可知時，在的下方，得出答案；（2）將點，代入，得：，求解得出直線的表達式為，進而求出點M的坐標為，把代入，求解即可得出答案；（3）設把代入得，，求出，進而得出，根據(jù)題意得出，求解即可．【詳解】（1）解：由圖象可知，當時，x的取值范圍為；（2）將點，代入，得：，解得：，∴直線的表達式為，把代入得，∴點M的坐標為，把代入，得．（3）設，把代入得，，∴，∴，，解得或．∴或9．（2024八年級上·安徽·專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，直線與直線交于點，且直線與軸交于點，直線與軸交于點．(1)求與直線的函數(shù)解析式；(2)如果點在直線上，且，求點的坐標；(3)如果點在直線上，且點的橫坐標為，點在直線上，且軸，，直接寫出的值．【答案】(1)，(2)(3)或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與坐標軸交點問題，待定系數(shù)法求解析，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識點，（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題；（2）首先推出點P的縱坐標為3，再根據(jù)待定系數(shù)法即可解決問題；（3）由題意設，則，由題意可得，解方程即可；熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決此題的關鍵．【詳解】（1）解：把代入中，得到，，把代入直線中，得到，，直線的解析式為；（2）解：與軸交于點A，∴，，與軸交于點，∴，，，點的縱坐標為，，則，；（3）解：設，而軸，∴，，，解得或．題型三一次函數(shù)與幾何綜合10．（24-25八年級上·安徽宿州·期末）直線經(jīng)過，兩點，點的坐標為．(1)求和的值；(2)點為線段上一點，點為直線上一點，．①如圖1，若，求點坐標；②如圖2，若，求點坐標．【答案】(1)；(2)①；②．【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，坐標與圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是關鍵．（1）將，兩點代入直線解析式求解即可；（2）①先求出直線的解析式，再設出、兩點的坐標，根據(jù)列方程求解即可；②設出、兩點的坐標，根據(jù)列方程求解即可．【詳解】（1）解：直線經(jīng)過，兩點，，解得：；（2）解：①由（1）可知，直線的解析式為，設直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，點為線段上一點，設，點為直線上一點，，，，，，；點坐標為；②設，點為直線上一點，，，，，，；點坐標為．11．（24-25八年級上·安徽六安·期中）如圖，在平面直角坐標系中，點，線段經(jīng)過平移得到線段，其中點B的對應點為點C，點D在第一象限，直線交x軸于點F．(1)點D坐標為；(2)線段由線段經(jīng)過怎樣平移得到？(3)求的面積．【答案】(1)(2)向右平移5個單位，再向上平移3個單位(3)【分析】本題考查坐標與圖形變化的性質(zhì)-平移，求一次函數(shù)解析式，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．（1）根據(jù)點移動到的平移規(guī)律可得結(jié)論．（2）根據(jù)點移動到的平移規(guī)律可得結(jié)論．（3）求出直線的解析式，可得點的坐標，再利用三角形的面積公式計算即可．【詳解】（1）解：∵點向右平移5個單位，再向上平移3個單位得到點，∴點向右平移5個單位，再向上平移3個單位得到點．故答案為：．（2）解：線段經(jīng)過向右平移5個單位，再向上平移3個單位得到線段．（3）解：設直線的解析式為，則有，解得：，∴直線的解析式為，∴點的坐標為，，，，∴．12．（24-25八年級上·安徽六安·期末）如圖1，直線與軸交于點，直線與軸交于點，、交于軸上一點．(1)求直線所對應的函數(shù)表達式；(2)求證：；(3)規(guī)律探究：將向左平移個單位長度得到圖2，與軸交于點，在的延長線上取一點，使，連接交軸于點．請?zhí)骄肯蜃笃揭频倪^程中，線段的長度的變化情況．【答案】(1)(2)見解析(3)在向左平移的過程中，線段的長度不變【分析】（1）先求出A點坐標，然后用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式．（2）先求出點和點的坐標，得出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理即可證明；（3）過點作軸，證明，算出，再證明，即可得出，即可解答．【詳解】（1）解：把代入，得，∴點的坐標為，設直線的表達式為，把，代入得，解得：，∴直線的表達式為；（2）證明：令，有，解得：，則點坐標為；令，有，解得：，故點的坐標為；∴，又∵，∴．（3）解：的長度不變，理由如下：過點作軸，∴，由（2）可知，∴，在與中，∵，∴，∴，，∴，在與中，∵，∴，∴．∴在向左平移的過程中，線段的長度不變．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關鍵是作輔助線并證明三角形全等．13．（24-25八年級上·安徽宿州·期中）在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點，交直線于點P．(1)若點P為的中點，求k的值；(2)在（1）的條件下，C是線段上一點，過點C作x軸的垂線，與x軸交于點E，與直線交于點D，若，求點C的坐標；(3)在（2）的條件下，M是y軸上一點，當時，求點M的坐標．【答案】(1)(2)(3)或．【分析】（1）分別把，代入解析式求出點A，點B的坐標，再根據(jù)線段中點P的坐標，再用待定系數(shù)法即可得出k的值．（2）設C點坐標為，則點D坐標為，點E坐標為，可得，，從而可得，再求解即可；（4）由，，求得，再由可得，求得，即可求解．【詳解】（1）解：令，則，∴B點坐標為，令，則，∴A點坐標為；∵點P為的中點，∴點P的橫坐標為，縱坐標為：，∴．∵點P在直線上，∴，∴．（2）解：由（1）知，所在直線的解析式為：．∵C是直線上一點，∴設C點坐標為，則點D坐標為，點E坐標為，，，，，解得，點坐標為；（3）解：∵B點坐標為，A點坐標為，，，，，，，，，∴或．【點睛】本題考查一次函數(shù)與幾何綜合，一次函數(shù)與坐標軸的交點問題、解一元一次方程、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練掌握相關知識，運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題的關鍵．1．（24-25八年級上·安徽六安·期中）已知：如圖一次函數(shù)與軸相交于點，與軸相交于點，這兩個數(shù)圖象相交于點．(1)求出點的坐標；(2)結(jié)合圖象，直接寫出時的取值范圍；(3)連接，直線上是否存在一點，使，若存在，求點的坐標．【答案】(1)(2)當時，(3)點坐標為或【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象和性質(zhì)，解題關鍵是熟練運用一次函數(shù)知識，用待定系數(shù)法求解析式，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)求點的坐標．（1）把分別代入兩個解析式，聯(lián)立兩個解析式，解方程組即可；（2）觀察圖象直接判斷即可；（3）根據(jù)求出點的縱坐標，代入解析式即可．【詳解】（1）解：把代入得，，解得，；把代入得，，解得，；聯(lián)立方程組得，，解得，，點坐標為：；（2）解：根據(jù)圖象可知，在點或點的左側(cè)時，，∴當時，；（3）解：由（1），．，，設點坐標為，，，，當時，，∴，∴點坐標為；當時，，∴，∴點坐標為；綜上，點坐標為或．2.（24-25八年級上·安徽宿州·期末）如圖，直線與直線相交于點，直線與與軸分別交于、兩點．(1)求的值，并結(jié)合圖象寫出關于、的方程組的解；(2)求的面積；(3)垂直于軸的直線與直線、分別交于點、，若線段的長為，求出的值．【答案】(1)，(2)(3)或【分析】（1）把點代入，得，則，由直線與直線相交于點可得，方程組的解為，由此即可得出方程組的解；（2）先求出直線與軸的交點的坐標，再求出直線與軸的交點的坐標，然后求出線段的長，再利用三角形的面積公式可得，由此即可求出的面積；（3）由題意得，直線與直線的交點的坐標為，與直線的交點的坐標為，由可得，即，解方程即可求出的值．【詳解】（1）解：把點代入，得：，，直線與直線相交于點，方程組的解為，方程組的解為；（2）解：對于直線，令，則，解得：，，對于直線，令，則，解得：，，，；（3）解：由題意得：直線與直線的交點的坐標為，與直線的交點的坐標為，，，即：，解得：或．【點睛】本題主要考查了兩直線的交點與二元一次方程組的解，一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題，一元一次方程的應用（幾何問題），三角形的面積公式等知識點，熟練掌握相關知識點并運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關鍵．3．（24-25八年級上·安徽亳州·期中）如圖，已知直線過點，．(1)求直線l的表達式．(2)若直線與x軸交于點B，且與直線l交于點C．①求的面積．②在直線l上是否存