12.4一次函數(shù)模型的應(yīng)用課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)能用一次函數(shù)解決簡單實(shí)際問題①會(huì)根據(jù)實(shí)際問題中的等量關(guān)系、變化圖象中的點(diǎn)的坐標(biāo)確定一次函數(shù)的表達(dá)式，及自變量的取值范圍；②會(huì)利用一次函數(shù)的知識(shí)解決最大利潤、最少費(fèi)用、行程、分配方案等實(shí)際問題；③會(huì)應(yīng)用分段函數(shù)表示出面積S與動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系?！し侄魏瘮?shù)的應(yīng)用——根據(jù)圖象信息解決問題①先根據(jù)信息（表格、圖象等）對(duì)自變量x的范圍進(jìn)行分類討論；②根據(jù)不同的自變量的范圍，用待定系數(shù)法或等量關(guān)系求出對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式；③將幾個(gè)函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)的形式。·分類討論三角形的面積S與動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系分別表示出三角形的底和高，用時(shí)間t表示出三角形的面積，并表示自變量x的范圍【題型一：一次函數(shù)與實(shí)際問題——最大利潤（最少費(fèi)用）問題】例1.（23-24八年級(jí)下·安徽淮南·期末）“書香潤澤心靈，閱讀豐富人生”，伴著百花飄香，楊柳依依的美好春光，某中學(xué)迎來了校園讀書節(jié)活動(dòng)．該中學(xué)計(jì)劃為在本次校園讀書節(jié)活動(dòng)中獲獎(jiǎng)的同學(xué)購買甲、乙兩種獎(jiǎng)品，其中甲種獎(jiǎng)品的單價(jià)為每件20元、乙種獎(jiǎng)品的單價(jià)為每件10元，共購買50件．設(shè)甲種獎(jiǎng)品購買x件，購買兩種獎(jiǎng)品的總費(fèi)用為y元．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)若乙種獎(jiǎng)品數(shù)量不大于甲種獎(jiǎng)品數(shù)量的3倍，請(qǐng)你設(shè)計(jì)費(fèi)用最少時(shí)的購買方案，并求出最少費(fèi)用．【答案】(1)(2)甲：13件，乙：37件；630元【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的應(yīng)用，將現(xiàn)實(shí)生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，讀懂題意列出函數(shù)關(guān)系式和不等式關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）分別算出甲、乙兩種獎(jiǎng)品的費(fèi)用相加即是總費(fèi)用；（2）一次函數(shù)的系數(shù)，故根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知隨的增大而增大，根據(jù)題（1）可求最小值．【詳解】（1）解：由題意，得．（2）由題意，得，解得．由（1），得，，隨x的增大而增大．為整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，乙：（件）．答：甲種獎(jiǎng)品購買13件，乙種獎(jiǎng)品購買37件時(shí)，費(fèi)用最少，最少為630元．變式1-1．（23-24八年級(jí)下·安徽淮南·期末）某花農(nóng)要將規(guī)格相同的800棵平安樹運(yùn)往A，B，C三地銷售，要求運(yùn)往C地的棵數(shù)是運(yùn)往A地棵數(shù)的3倍，各地的運(yùn)費(fèi)如表所示：A地B地C地運(yùn)費(fèi)（元/棵）102015(1)設(shè)運(yùn)往A地的平安樹x（棵），總運(yùn)費(fèi)為y（元），試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量x的取值范圍；(2)若要求運(yùn)往A地的平安樹不超過運(yùn)往B地的平安樹，且總運(yùn)費(fèi)不超過14000元，問當(dāng)運(yùn)往A地的平安樹多少棵時(shí)，總運(yùn)費(fèi)才最省？【答案】(1)(2)當(dāng)運(yùn)往A地的平安樹為160棵時(shí)，總運(yùn)費(fèi)才最?。痉治觥勘绢}考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，依據(jù)題意，正確得出一次函數(shù)的表達(dá)式是解題關(guān)鍵．（1）先分別求出運(yùn)往B、C兩地的棵數(shù)，再根據(jù)運(yùn)費(fèi)表列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）先根據(jù)題干信息求出x的取值范圍，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可得．【詳解】（1）解：設(shè)運(yùn)往A地的平安樹x棵，則運(yùn)往C地的棵數(shù)為棵，B地的棵數(shù)為棵，則，解得，由題意得：，整理得：，故y與x的函數(shù)關(guān)系式為；（2）由題意得：，解得，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，在內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，y取得最小值，答：當(dāng)運(yùn)往A地的平安樹為160棵時(shí)，總運(yùn)費(fèi)才最?。兪?-2．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）2022年某企業(yè)按餐廚垃圾處理費(fèi)12元/噸，建筑垃圾處理費(fèi)10元/噸的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，共支付餐廚和建筑垃圾處理費(fèi)3400元，從2023年元月起，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)上調(diào)為：餐廚垃圾處理費(fèi)40元/噸，建筑垃圾處理費(fèi)20元/噸．若該企業(yè)2023年處理的這兩種垃圾數(shù)量與2022年相比沒有變化，就要多支付垃圾處理費(fèi)6600元．(1)該企業(yè)2023年處理的餐廚垃圾和建筑垃圾各多少噸？(2)該企業(yè)計(jì)劃2023年將上述兩種垃圾處理總量減少到240噸，且建筑垃圾處理量不超過餐廚垃圾處理量的3倍，則2023年該企業(yè)最少需要支付這兩種垃圾處理費(fèi)共多少元？【答案】(1)餐廚垃圾，建筑垃圾(2)該企業(yè)2023年最少需要支付6000元垃圾處理費(fèi)【分析】本題主要考查了二元一次方程組以及一元一次不等式，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)餐廚垃圾x噸，建筑垃圾y噸，根據(jù)題意列方程組計(jì)算即可；（2）設(shè)餐廚垃圾a噸，則建筑垃圾噸，根據(jù)題意進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：設(shè)餐廚垃圾x噸，建筑垃圾y噸，，解得，答：餐廚垃圾，建筑垃圾；（2）解：設(shè)餐廚垃圾a噸，則建筑垃圾噸，，，，總費(fèi)用，當(dāng)時(shí)總費(fèi)用T最少，，答：該企業(yè)2023年最少需要支付6000元垃圾處理費(fèi)．例2.（23-24八年級(jí)上·安徽六安·期末）某商場購進(jìn)甲、乙兩種空氣凈化器共80臺(tái)進(jìn)行銷售，已知銷售2臺(tái)甲種空氣凈化器和1臺(tái)乙種空氣凈化器獲利1100元：銷售1臺(tái)甲種空氣凈化器和2臺(tái)乙種空氣凈化器獲利1300元，設(shè)購進(jìn)甲種空氣凈化器x臺(tái)，這80臺(tái)空氣凈化器全部售出的總利潤為w元．(1)每臺(tái)甲種空氣凈化器和每臺(tái)乙種空氣凈化器利潤各多少?(2)求w關(guān)于x的函數(shù)解析式．（不寫x的取值范圍）(3)若乙種空氣凈化器的數(shù)量不超過甲種空氣凈化器的3倍，當(dāng)甲種空氣凈化器購進(jìn)多少臺(tái)時(shí)，銷售總利潤w最大?最大總利潤是多少?【答案】(1)每臺(tái)甲種空氣凈化器利潤300元，每臺(tái)乙種空氣凈化器利潤500元(2)(3)當(dāng)時(shí)，w取得最大，最大值為36000元【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、解二元一次方程組：（1）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，從而可以解答本題；（2）根據(jù)題意可以得到w與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)題意可以求得x的取值范圍，由（2）中的函數(shù)關(guān)系，從而可以得到該公司購進(jìn)A型、B型空氣凈化器各多少臺(tái)時(shí)，才能使銷售總利潤最大．【詳解】（1）解：設(shè)每臺(tái)甲種空氣凈化器a元和每臺(tái)乙種空氣凈化器利潤b元?jiǎng)t：解得：，答：每臺(tái)甲種空氣凈化器利潤300元，每臺(tái)乙種空氣凈化器利潤500元（2）解：由題意得，，所以，w關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）解：∵，∴，∴中，所以W隨x增大而減小，當(dāng)時(shí)，w取得最大，最大值為36000元.變式2.（23-24八年級(jí)上·安徽六安·期末）某商場同時(shí)購進(jìn)甲、乙兩種商品共100件，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表：設(shè)其中甲種商品購進(jìn)件，商場售完這批商品的總利潤為元．商品名稱甲乙進(jìn)價(jià)（元/件）4090售價(jià)（無/件）60120(1)寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)該商品計(jì)劃最多投入8000元用于購買這兩種商品，則至少要購進(jìn)多少件甲商品？若銷售完這些商品，則商場可獲得的最大利潤是多少元？【答案】(1)(2)售完這些商品，則至少購進(jìn)20件甲商品商場可獲得最大利潤，獲得的最大利潤是2800元．【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意列正確的解析式或不等式．（1）由題意得，整理即可得到函數(shù)關(guān)系式；（2）由題意得，解得；由可知y隨x的增大而減小，進(jìn)而可求得購進(jìn)的甲商品數(shù)，最大利潤值．【詳解】（1）解：由題意得∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為．（2）由題意得解得∵∴y隨x的增大而減小∴當(dāng)時(shí)，利潤最大且∴若售完這些商品，則至少購進(jìn)20件甲商品商場可獲得最大利潤，獲得的最大利潤是2800元．【題型二：一次函數(shù)與實(shí)際問題——分配方案問題】例3．（23-24八年級(jí)上·安徽亳州·期末）某學(xué)校組織學(xué)生研學(xué)，游覽太湖山自然風(fēng)光．已知太湖山景區(qū)有動(dòng)物園和植物園兩個(gè)景點(diǎn)，其中動(dòng)物園門票40元/張，植物園門票30元/張．景區(qū)對(duì)批量購買門票給予打折優(yōu)惠，有以下兩種方案：方案一：動(dòng)物園門票每張打九折，植物園門票每張打六折；方案二：動(dòng)物園門票和植物園門票均打八折．若該學(xué)校計(jì)劃購買門票共100張．設(shè)購買動(dòng)物園門票x張，選擇方案一的購買費(fèi)用為元，選擇方案二的購買費(fèi)用為元．(1)求與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)請(qǐng)你分析該學(xué)校如何選擇購買方案使得所付的費(fèi)用較少．【答案】(1)(2)見詳解【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，列出函數(shù)解析式．（1）根據(jù)總費(fèi)用動(dòng)物園和植物園兩種門票費(fèi)用之和列出、關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)（1）中解析式分三種情況討論即可．【詳解】（1）由題意得：，，∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）當(dāng)時(shí)，解得，∴購買動(dòng)物園門票超過60張時(shí)，方案二支付費(fèi)用少；當(dāng)時(shí)，解得，∴購買動(dòng)物園門票60張時(shí)，方案一和方案二支付費(fèi)用一樣多；當(dāng)時(shí)，解得，∴購買動(dòng)物園門票少于60張時(shí)，方案一支付費(fèi)用少．變式3.（23-24八年級(jí)上·安徽池州·期末）為響應(yīng)政府低碳生活，綠色出行的號(hào)召，某公交公司決定購買一批節(jié)能環(huán)保的新能源公交車，計(jì)劃購買型和型兩種公交車，其中每輛的價(jià)格、年載客量如表：型型價(jià)格（萬元/輛）年載客量（萬人/年）60100若購買型公交車1輛，型公交車2輛，共需400萬元；若購買型公交車2輛，型公交車1輛，共需350萬元．(1)求，的值；(2)計(jì)劃購買型和型兩種公交車共10輛，如果該公司購買型和型公交車的總費(fèi)用不超過1200萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于640萬人次，問有幾種購買方案?(3)在（2）的條件下，請(qǐng)用一次函數(shù)的性質(zhì)說明哪種方案使得購車總費(fèi)用最少?最少費(fèi)用是多少萬元?【答案】(1)的值為100，的值為150；(2)有4購買方案(3)購車總費(fèi)用最少的方案是購買型公交車9輛，購買型公交車1輛，購車總費(fèi)用為1050萬元【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用和一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組；正確列出函數(shù)解析式．（1）利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，結(jié)合“購買型公交車1輛，型公交車2輛，共需400萬元；若購買型公交車2輛，型公交車1輛，共需350萬元”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買型公交車輛，則購買型公交車輛，根據(jù)“購買型和型公交車的總費(fèi)用不超過1200萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于640萬人次”，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，結(jié)合為整數(shù)，即可得出的值，得出購買方案；（3）設(shè)購車總費(fèi)用為萬元，根據(jù)總費(fèi)用=購買兩種公交車費(fèi)用之和列出函數(shù)解析式，由函數(shù)的性質(zhì)得出最值．【詳解】（1）解：依題意得：，解得：，答：的值為100，的值為150；（2）解：設(shè)購買型公交車輛，則購買型公交車輛，依題意得：解得：又為整數(shù)有4購買方案；（3）解：設(shè)購車總費(fèi)用為萬元，則，（且為整數(shù)），隨的增大而減小當(dāng)時(shí)，最小，最小值為（元），購車總費(fèi)用最少的方案是購買型公交車9輛，購買型公交車1輛，購車總費(fèi)用為1050萬元．【題型三：一次函數(shù)與實(shí)際問題——行程問題】例4．（23-24八年級(jí)上·安徽合肥·期末）A，B兩地相距80km，甲、乙兩人騎車分別從A，B兩地同時(shí)相向而行，他們都保持勻速行駛．如圖，，分別表示甲、乙兩人離B地的距離與騎車時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，求何時(shí)甲乙兩人相遇．【答案】1.6小時(shí)【分析】利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)和正比例函數(shù)解析式，聯(lián)立解答即可．此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意求出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)的解析式為，代入，則，解得：，∴；設(shè)的解析式是，將代入得：，解得：，∴；當(dāng)兩人相遇時(shí)，可得：，解得：．答：經(jīng)過1.6小時(shí)甲乙兩人相遇．變式4．（23-24八年級(jí)上·安徽宣城·期中）A、B兩地相距300千米，甲、乙兩車先后從A地出發(fā)到B地．如圖，線段表示甲車離A地距離y（千米）與時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系；折線表示乙車離A地距離y（千米）與x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系．根據(jù)圖象回答下列問題．(1)直接寫出線段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并說出點(diǎn)P坐標(biāo)的實(shí)際意義．【答案】(1)(2)，甲出發(fā)3.9小時(shí)，在距A地234千米處，乙追上甲【分析】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．（1）設(shè)線段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）先求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，聯(lián)立兩個(gè)解析式，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即為點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn)P坐標(biāo)的實(shí)際意義即可．讀懂題意，從圖象上獲取信息，正確的求出函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)線段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，由圖象可知，圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得：，∴；（2）由圖可得甲的速度為（千米/時(shí)），由甲的速度為60千米/時(shí)，可得解析式為，解得，∴，∴點(diǎn)P坐標(biāo)的實(shí)際意義是：甲出發(fā)3.9小時(shí)，在距A地234千米處，乙追上甲．例5．（23-24八年級(jí)上·安徽馬鞍山·期中）一輛汽車和一輛摩托車分別從、地同時(shí)前往同一個(gè)地方（三點(diǎn)在同一條直線上）城，它們距離地的路程隨著時(shí)間的變化的圖象如圖所示．

(1)他們相遇時(shí)，汽車離地多遠(yuǎn)？(2)S表示他們的距離，表示出發(fā)的時(shí)間，求：①與的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)圖象；②若方程有解，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．【答案】(1)他們相遇時(shí)，汽車離地40千米(2)①函數(shù)圖象見解析；②【分析】本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)圖象，一元一次方程的應(yīng)用；（1）根據(jù)函數(shù)圖象得出汽車與摩托車的速度，根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程，即可求解；（2）①根據(jù)題意分，，列出函數(shù)解析式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖象即可求解；②根據(jù)題意，分別求得直線經(jīng)過，，求得的值，結(jié)合函數(shù)圖象，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)函數(shù)圖象可得，汽車的速度為；摩托車的速度為，設(shè)出發(fā)小時(shí)后，他們相遇，則，解得：∴千米，答：他們相遇時(shí)，汽車離地40千米；（2）①由（1）可得時(shí)相遇，當(dāng)時(shí)，摩托車在汽車前面，則，當(dāng)時(shí)，汽車在摩托車前面，則，當(dāng)時(shí)，汽車到達(dá)C地，則；綜上所述，函數(shù)圖象如圖所示，

②∵，經(jīng)過一、三象限，∵有解，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，則，此時(shí)，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，則，此時(shí)，當(dāng)經(jīng)過時(shí)，，此時(shí)，∴．變式5．在一條筆直的道路上依次有A、、三地，南南從A地跑步到地，同時(shí)樂樂從地跑步到A地，休息后接到通知，要求樂樂比南南早到達(dá)地，兩人均勻速運(yùn)動(dòng)，如圖所示為兩人距A地的路程與南南的跑步時(shí)間之間的函數(shù)圖像．

(1)___________，樂樂去A地的速度為___________．(2)結(jié)合圖像，求出線段對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式寫出自變量的取值范圍．(3)求出兩人距地的路程相等的時(shí)間．【答案】(1)2；(2)(3)或或或【分析】本題主要考查了列式計(jì)算、一次函數(shù)圖像與行程問題等知識(shí)點(diǎn)，審清題意、明確函數(shù)圖象各點(diǎn)的意義成為解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意結(jié)合圖像以及速度、路程和時(shí)間的關(guān)系解答即可；（2）先確定F、G的坐標(biāo)以及t的取值范圍，然后利用待定系數(shù)法解答即可；（3）先運(yùn)用待定系數(shù)法確定，然后根據(jù)圖像聯(lián)立解析式求解即可．【詳解】（1）解：由于樂樂休息1分鐘，則；樂樂去A地的速度為；故答案為：2；．（2）解：線段對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．∵，∴解得∴線段對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．（3）解：設(shè)線段對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．∵，∴，解得：．∴線段對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．①當(dāng)時(shí)，，解得；②當(dāng)時(shí)，，解得，不合題意，舍去．③當(dāng)時(shí)，或，解得或．④當(dāng)時(shí)，兩人距B地的路程相等．綜上所述，兩人距B地的路程相等的時(shí)間為或或或．【題型四：一次函數(shù)與實(shí)際問題——幾何問題】例6.（23-24八年級(jí)上·重慶沙坪壩·期末）如圖，在邊長為的正方形中，O是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿折線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)C點(diǎn)就停止，過P點(diǎn)作射線，設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為，射線掃過正方形內(nèi)部的面積為．(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并在平面直坐系中畫出其函圖象．(2)寫出該函數(shù)圖象的一條性質(zhì)：(3)若的圖象與的圖象有交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出k的取值范圍．【答案】(1)，圖見解析(2)當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．(3)或或或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用直角三角形和直角梯形的面積公式解答即可；（2）利用一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)解答即可；（3）利用分類討論的方法，聯(lián)立組成方程組，利用解一元一次不等式組的方法解答即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為．在平面直角坐標(biāo)系中畫出其函數(shù)圖象如下：（2）解：該函數(shù)圖象的一條性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．（答案不唯一）（3）解：若的圖象與y的圖象有交點(diǎn)，∴時(shí)，與時(shí)，有解，∴時(shí)，，時(shí)，．∴，．解得：或，或．∴若的圖象與y的圖象有交點(diǎn)，k的取值范圍為或或或．例7．（23-24八年級(jí)下·河北邯鄲·期末）如圖1，圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B，D的坐標(biāo)分別為，，過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為C，A，直線經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)D．(1)四邊形的形狀是________；(2)求直線的函數(shù)解析式；(3)如圖2，將直線沿y軸以每秒1個(gè)單位長度的速度向下平移，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，停止移動(dòng)，設(shè)平移的時(shí)間為ts．①在平移過程中，求直線在四邊形內(nèi)的線段的長度保持不變的時(shí)長；②當(dāng)直線使四邊形內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）平均分布在它的兩側(cè)時(shí)，直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)矩形(2)(3)①5s；②【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、函數(shù)圖像的平移．對(duì)平面直角坐標(biāo)系、直線解析式以及圖形平移等知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)坐標(biāo)可判斷錯(cuò)四邊形的形狀；（2）利用給定的點(diǎn)D，點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入直線解析式即可；（3）根據(jù)平移的特點(diǎn)和條件進(jìn)行分析計(jì)算即可．【詳解】（1）∵點(diǎn)B，過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為C，A，∴，，，，∴四邊形的形狀是長方形．（2）∵四邊形為長方形，．∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為．將點(diǎn)D，點(diǎn)A分別代入，得：，解得：，∴直線的函數(shù)解析式為：．（3）①將直線向下平移，函數(shù)解析式為．直線在四邊形內(nèi)的線段的長度先增加，經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)長度最大，，∴線段長度開始保持不變，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B后，線段長度開始減?。?dāng)經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，，解得，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，，解得，∴線段長度保持不變的時(shí)長為；②四邊形內(nèi)部的整點(diǎn)有6個(gè)，分別是，，，，，．當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有，解得；當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有，解得，∴t的取值范圍為．【例7．（2024·河北唐山·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，放置一平面鏡AB，其中點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，從點(diǎn)發(fā)射光線，其圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．(1)點(diǎn)為平面鏡的中點(diǎn)，若光線恰好經(jīng)過點(diǎn)，求CD所在直線的表達(dá)式；(2)若入射光線與平面鏡AB有公共點(diǎn)，求的取值范圍；(3)規(guī)定橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)是整點(diǎn)，光線經(jīng)過鏡面反射后，反射光線與軸相交于點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)是整點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（）先求出線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法解答即可求解；（）先求出直線CA解析式，再求出直線CB解析式，即可求出本題答案；（）作出點(diǎn)關(guān)于AB對(duì)稱點(diǎn)，可知的坐標(biāo)，作直線，分別求出這兩條直線與軸交點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)即在范圍內(nèi)，即可得到整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，線段中點(diǎn)坐標(biāo)，一次函數(shù)圖象及性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)為平面鏡的中點(diǎn)，，將，坐標(biāo)分別代入y=mx+，解得，所在直線的表達(dá)式為；（2）解：當(dāng)入射光線經(jīng)過、時(shí)，有，解得，當(dāng)入射光線經(jīng)過，時(shí)，有，解得，入射光線與平面鏡AB有公共點(diǎn)，的取值范圍：；（3）解：作出點(diǎn)關(guān)于AB對(duì)稱點(diǎn)，則，作直線、分別交軸于，，同理可得直線的表達(dá)式為，直線的直線表達(dá)式為，反射光線與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍為，整點(diǎn)有：，共個(gè)．例8．（23-24七年級(jí)下·福建泉州·期末）半馬，即半程馬拉松，又稱二分之一馬拉松，目前國際上從眾增長最快的賽跑項(xiàng)目，路程長度大約是21公里．如圖為某次半馬的路線，公里，E，E為折返點(diǎn)，拐彎路段EF的長度忽略不計(jì)，公里，為半圓路段，O為圓心，半徑為1公里．根據(jù)選手報(bào)名人數(shù)和賽道寬度等情況，為保證賽道暢通和補(bǔ)給有序，組委會(huì)決定采取分區(qū)檢錄、分槍起跑、同地出發(fā)的發(fā)令方式，具體發(fā)令時(shí)間如下：◆第一槍發(fā)令時(shí)間，A區(qū)選手出發(fā)；◆第二槍發(fā)令時(shí)間，B區(qū)選手出發(fā)；◆第三槍發(fā)令時(shí)間，C區(qū)選手出發(fā)．若甲為B區(qū)選手，平均配速為5分鐘/公里：乙為A區(qū)選手，平均配速為分鐘/公里．（平均配速是指每公里所需要的時(shí)間）(1)在整個(gè)賽程中，甲、乙共有________次相遇，并求甲、乙在距離起點(diǎn)多少公里處相遇；(2)此次比賽，冠軍用時(shí)1小時(shí)3分鐘．已知丙為C區(qū)選手，甲出發(fā)17分鐘時(shí)，甲、乙、丙三人所在的位置分別為S，R，T，當(dāng)S，R，T三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí)，求丙的平均配速．【答案】(1)1，甲、乙在距離起點(diǎn)10公里處相遇(2)丙的平均配速為分鐘/公里或分鐘/公里【分析】本題考查了一元一次函數(shù)的應(yīng)用，分情況討論是幾天的關(guān)鍵；（1）設(shè)甲、乙在距離起點(diǎn)x公里處相遇，列方程，進(jìn)而得出答案；（2）先求出冠軍的平均配速約為3分鐘/公里，則丙的平均配速分鐘/公里，設(shè)丙的平均配速為y分鐘/公里，在分別求出，，進(jìn)而得出，畫圖，分3中情況進(jìn)行討論即可。【詳解】（1）設(shè)甲、乙在距離起點(diǎn)x公里處相遇，，

解得：，答：甲、乙在距離起點(diǎn)10公里處相遇．且共有1次相遇，故答案為：1；（2）冠軍用時(shí)1小時(shí)3分鐘，冠軍的平均配速約為3分鐘/公里，丙的平均配速分鐘/公里．（法一）設(shè)丙的平均配速為y分鐘/公里，，，．①如圖，當(dāng)S為中點(diǎn)時(shí)，得，即，，丙的平均配速為分鐘/公里．②如圖，當(dāng)T為中點(diǎn)時(shí)，得，即，，∴丙的平均配速為分鐘/公里．③如圖，當(dāng)R為中點(diǎn)時(shí)，得，即（舍去）．綜上，丙的平均配速為分鐘/公里或分鐘/公里．（法二）設(shè)丙的平均速度為y公里/分，，，，，．①如圖，當(dāng)S為中點(diǎn)時(shí)，得，即，，，丙的平均配速為分鐘/公里．②如圖，當(dāng)T為中點(diǎn)時(shí)，得，即，，∴丙的平均配速為分鐘/公里，③如圖，當(dāng)R為中點(diǎn)時(shí)，得，即，（舍去）．綜上，丙的平均配速為分鐘/公里或分鐘/公里．1．某城市出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：行車?yán)锍淘?km以內(nèi)（含3km）收取車費(fèi)8元行車?yán)锍坛^3km時(shí)，超過部分每千米收取車費(fèi)1.4元．(1)在這個(gè)過程中，自變量和因變量分別是什么？(2)寫出行車?yán)锍坛^3km時(shí)，車費(fèi)y（元）和行車?yán)锍蘹（km）之間的關(guān)系式；(3)若小明乘坐出租車的車費(fèi)是15元，則他乘坐了多少km的里程？【答案】(1)行車?yán)锍淌亲宰兞浚囐M(fèi)是因變量(2)(3)8km【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用：（1）根據(jù)自變量和因變量的定義即可得到答案；（2）根據(jù)題意，列出關(guān)系式即可；（3）將車費(fèi)代入（2）中所列關(guān)系式，求出對(duì)應(yīng)的x的值即可．【詳解】（1）解：行車?yán)锍淌亲宰兞?，車費(fèi)是因變量；（2）解：行車?yán)锍淘?km以內(nèi)（含3km）收取車費(fèi)8元行車?yán)锍坛^3km時(shí)，超過部分每千米收取車費(fèi)1.4元，行車?yán)锍坛^3km時(shí)，；（3）解：當(dāng)時(shí)，即，解得：，答：小明乘坐出租車的車費(fèi)是15元，則他乘坐了8km的里程．2．（23-24八年級(jí)上·安徽亳州·期末）某學(xué)校計(jì)劃購買甲乙兩種型號(hào)的電腦，購買2臺(tái)甲種型號(hào)電腦與1臺(tái)乙種型號(hào)電腦總費(fèi)用為8400元；1臺(tái)甲種型號(hào)電腦比1臺(tái)乙種型號(hào)電腦貴600元．(1)求1臺(tái)甲種型號(hào)電腦和1臺(tái)乙種型號(hào)電腦各多少元？(2)若學(xué)校計(jì)劃購買甲乙兩種型號(hào)的電腦共60臺(tái)，并且乙種型號(hào)電腦的數(shù)量不超過甲種型號(hào)電腦的數(shù)量的2倍．求至少需要購買多少臺(tái)甲種型號(hào)電腦？并求出購買電腦總費(fèi)用的最小值．【答案】(1)1臺(tái)甲種型號(hào)電腦和1臺(tái)乙種型號(hào)電腦的價(jià)格分別為3000元、2400元．(2)至少需要購買20臺(tái)甲種型號(hào)電腦，購買電腦總費(fèi)用的最小值為元．【分析】（1）本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)1臺(tái)甲種型號(hào)電腦的單價(jià)為元，則1臺(tái)乙種型號(hào)電腦的價(jià)格為元，根據(jù)“購買2臺(tái)甲種型號(hào)電腦與1臺(tái)乙種型號(hào)電腦總費(fèi)用為8400元”列出方程即可解題．（2）本題考查了一元一次不等式，及一次函數(shù)在實(shí)際問題中應(yīng)用，設(shè)1種型號(hào)電腦的數(shù)量為臺(tái)，則乙兩種型號(hào)的電腦有臺(tái)，根據(jù)“乙種型號(hào)電腦的數(shù)量不超過甲種型號(hào)電腦的數(shù)量的2倍”列出一元一次不等式，得到的取值范圍，然后根據(jù)總費(fèi)用購買甲種型號(hào)的費(fèi)用購買甲種型號(hào)的費(fèi)用，列出關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式的增減性，即可解題．【詳解】（1）解：設(shè)1臺(tái)甲種型號(hào)電腦的價(jià)格為元，則1臺(tái)乙種型號(hào)電腦的價(jià)格為元，由題意可得，，解得：，所以1臺(tái)甲種型號(hào)電腦的價(jià)格為：3000元，1臺(tái)乙種型號(hào)電腦的價(jià)格為：（元）．答：1臺(tái)甲種型號(hào)電腦和1臺(tái)乙種型號(hào)電腦的價(jià)格分別為3000元、2400元．（2）解：設(shè)甲種型號(hào)電腦的數(shù)量為臺(tái)，則乙兩種型號(hào)的電腦有臺(tái)，乙種型號(hào)電腦的數(shù)量不超過甲種型號(hào)電腦的數(shù)量的2倍，，解得．由題知，購買電腦總費(fèi)用，電腦總費(fèi)用隨著的增大而增大，當(dāng)值最小時(shí)，電腦總費(fèi)用最小，即當(dāng)時(shí)，電腦總費(fèi)用最小為（元）答：至少需要購買20臺(tái)甲種型號(hào)電腦，購買電腦總費(fèi)用的最小值為元．3．（23-24八年級(jí)上·安徽合肥·期末）學(xué)校有3名教師準(zhǔn)備帶領(lǐng)部分學(xué)生（不少于3人）參觀野生動(dòng)物園．經(jīng)洽談，門票價(jià)格為教師票每張36元，學(xué)生票每張18元，且有兩種購票優(yōu)惠方案．方案一：購買一張教師票贈(zèng)送一張學(xué)生票；方案二：按全部師生門票總價(jià)的80%付款，只能選用其中一種方案購買．設(shè)學(xué)生人數(shù)為x（人），師生門票總金額為y（元）．(1)分別求出兩種優(yōu)惠方案中y與x的函數(shù)表達(dá)式；(2)請(qǐng)通過計(jì)算回答，選擇哪種購票方案師生門票總費(fèi)用較少．【答案】(1)、(2)當(dāng)時(shí)，選方案二較劃算；當(dāng)購買9張票時(shí)，兩種優(yōu)惠方案付款一樣多；當(dāng)時(shí)，選方案一較劃算．【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、列函數(shù)關(guān)系式等知識(shí)點(diǎn)．根據(jù)題意正確列出兩種方案的解析式是解題的關(guān)鍵．（1）分別根據(jù)方案一、方案二列出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式即可；（2）根據(jù)（1）的函數(shù)關(guān)系式求出當(dāng)兩種方案付款總金額相等時(shí)，購買的票數(shù)．再就三種情況討論即可．【詳解】（1）解：按優(yōu)惠方案一：，按優(yōu)惠方案二：；所以兩種優(yōu)惠方案中y與x的函數(shù)表達(dá)式分別是：、（2）解：∵，∴①當(dāng)，解得，∴當(dāng)時(shí)，選方案二較劃算；②當(dāng)時(shí)，解得，∴當(dāng)購買9張票時(shí)，兩種優(yōu)惠方案付款一樣多；③當(dāng)時(shí)，解得，∴當(dāng)時(shí)，選方案一較劃算．4．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）2023年12月18日甘肅積石山縣發(fā)生6.2級(jí)地震，造成嚴(yán)重的人員傷亡和財(cái)產(chǎn)損失．為支援災(zāi)區(qū)的災(zāi)后重建，甲、乙兩縣分別籌集了水泥200噸和300噸支援災(zāi)區(qū)，現(xiàn)需要調(diào)往災(zāi)區(qū)A鎮(zhèn)100噸，調(diào)往災(zāi)區(qū)B鎮(zhèn)400噸．已知從甲縣調(diào)運(yùn)一噸水泥到A鎮(zhèn)和B鎮(zhèn)的運(yùn)費(fèi)分別為40元和80元；從乙縣調(diào)運(yùn)一噸水泥到A鎮(zhèn)和B鎮(zhèn)的運(yùn)費(fèi)分別為30元和50元．(1)設(shè)從甲縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥x噸，求總運(yùn)費(fèi)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求出總運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案，最低運(yùn)費(fèi)是多少？【答案】(1)(2)總運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案是從甲縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥噸，則從甲縣調(diào)往B鎮(zhèn)水泥噸，從乙縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥0噸，從乙縣調(diào)往B鎮(zhèn)水泥噸．，最低運(yùn)費(fèi)是元．【分析】（1）設(shè)從甲縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥x噸，則從甲縣調(diào)往B鎮(zhèn)水泥噸，從乙縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥噸，從乙縣調(diào)往B鎮(zhèn)水泥噸，再根據(jù)每噸的運(yùn)費(fèi)列出總運(yùn)費(fèi)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍即可；（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和x的取值范圍，求出最低的調(diào)運(yùn)方案及最低運(yùn)費(fèi)即可；本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用問題，用x表示運(yùn)往各地的噸數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)從甲縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥x噸，則從甲縣調(diào)往B鎮(zhèn)水泥噸，從乙縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥噸，從乙縣調(diào)往B鎮(zhèn)水泥噸，

則總費(fèi)用

整理得：

∵，解得，即總運(yùn)費(fèi)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為；（2）∵，∴y隨x的增大而減小∵，∴當(dāng)時(shí)，最低運(yùn)費(fèi)為：，此時(shí)從甲縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥噸，則從甲縣調(diào)往B鎮(zhèn)水泥噸，從乙縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥0噸，從乙縣調(diào)往B鎮(zhèn)水泥噸．答：總運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案是從甲縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥噸，則從甲縣調(diào)往B鎮(zhèn)水泥噸，從乙縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥0噸，從乙縣調(diào)往B鎮(zhèn)水泥噸．，最低運(yùn)費(fèi)是元．5．共享電動(dòng)車是一種新理念下的交通工具，主要面向3km～10km的出行市場，現(xiàn)有A，B兩種品牌的共享電動(dòng)車，給出的圖象反映了收費(fèi)y（元）與騎行時(shí)間x（min）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中A品牌收費(fèi)方式對(duì)應(yīng)y1，B品牌的收費(fèi)方式對(duì)應(yīng)，請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：

(1)寫出圖中函數(shù)，的圖象交點(diǎn)P表示的實(shí)際意義(2)求，，關(guān)于x的函數(shù)解析式(3)①如果小明每天早上需要騎行A品牌或B品牌的共享電動(dòng)車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動(dòng)車的平均行駛速度均為，小明家到工廠的距離為9km，那么小明選擇___________品牌共享電動(dòng)車更省錢．（填“A”或“B”）②當(dāng)x為何值時(shí)，兩種品牌共享電動(dòng)車收費(fèi)相差3元？【答案】(1)當(dāng)騎行時(shí)間為時(shí)，兩種品牌的收費(fèi)一樣(2)，(3)①②或【分析】（1）當(dāng)騎行時(shí)間為時(shí)，兩種品牌的收費(fèi)一樣．（2）待定系數(shù)法確定；．（3）①騎行時(shí)間，結(jié)合圖形判斷品牌更省錢；②根據(jù)題意，構(gòu)建方程，解得或．【詳解】（1）解：當(dāng)騎行時(shí)間為時(shí)，兩種品牌的收費(fèi)一樣．（2）解：設(shè)，經(jīng)過，∴，得，∴．設(shè)，經(jīng)過，則，解得∴．（3）解：①騎行時(shí)間，如圖