杭州市數(shù)蘭中學(xué)人教版七年級下冊數(shù)學(xué)期末壓軸難題試卷一、選擇題1．的平方根是（）A． B． C． D．2．如圖所示的車標(biāo)，可以看作由平移得到的是（）A． B． C． D．3．平面直角坐標(biāo)系中有一點，則點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．下列命題是假命題的是（）．A．同一平面內(nèi)，兩直線不相交就平行 B．對頂角相等C．互為鄰補角的兩角和為180° D．相等的兩個角一定是對頂角5．如圖，點E在BA的延長線上，能證明BE∥CD是()A．∠EAD=∠B B．∠BAD=∠BCD C．∠EAD=∠ADC D．∠BCD+∠D=180°6．下列運算中：①；②；③；④，錯誤的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．如圖，將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)55°后得到△OCD，此時，若，則的度數(shù)是（）A．20° B．25° C．30° D．35°8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點，我們把點叫做點P的伴隨點，已知點的伴隨點為，點的伴隨點為，點的伴隨點為，…，這樣依次得點A1，A2，A3，…，，…，若點的坐標(biāo)為，則點A2021的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．二、填空題9．若，則______.10．已知點與點關(guān)于軸對稱，那么點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為__________．11．如圖，已知△ABC是銳角三角形，BE、CF分別為∠ABC與∠ACB的角平分線，BE、CF相交于點O，若∠A=50°，則∠BOC=_______.12．如圖，已知AB//EF，∠B=40°，∠E=30°，則∠C-∠D的度數(shù)為________________．13．如圖為一張紙片沿直線折成的V字形圖案，已知圖中，則______°．14．已知為兩個連續(xù)的整數(shù)，且，則_______15．已知點A在x軸上方，y軸左側(cè)，到x軸的距離是3，到y(tǒng)軸的距離是4，那么點A的坐標(biāo)是______________．16．如圖，每一個小正方形的邊長為1個單位長，一只螞蟻從格點．A出發(fā)，沿著A→B→C→D→A→B→...路徑循環(huán)爬行，當(dāng)爬行路徑長為2020個單位長時，螞蟻所在格點坐標(biāo)為___．三、解答題17．（1）計算：（2）比較與-3的大小18．求下列各式中實數(shù)的x值．（1）25x2﹣36＝0（2）|x+2|＝π19．完成下列證明：已知：如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，E為線段BA延長線上一點，G為BC邊上一點，連接EG交AC于點H，且∠ADC+∠EGD＝180°，過點D作DF∥AC交EG的延長線于點F．求證：∠E＝∠F．證明：∵AD平分∠BAC（已知），∴∠1＝∠2（），又∵∠ADC+∠EGD＝180°（已知），∴EF∥（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）．∴∠1＝∠E（兩直線平行，同位角相等），∠2＝∠3（）．∴∠E＝（等量代換）．又∵AC∥DF（已知），∴∠3＝∠F（）．∴∠E＝∠F（等量代換）．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形三個頂點的坐標(biāo)分別為．點P是三角形的邊上任意一點，三角形經(jīng)過平移后得到三角形，已知點的對應(yīng)點．（1）在圖中畫出平移后的三角形，并寫出點的坐標(biāo)；（2）求三角形的面積．21．已知＝0，求實數(shù)a、b的值并求出的整數(shù)部分和小數(shù)部分．二十二、解答題22．如圖，用兩個面積為的小正方形紙片剪拼成一個大的正方形．（1）大正方形的邊長是________；（2）請你探究是否能將此大正方形紙片沿著邊的方向裁出一個面積為的長方形紙片，使它的長寬之比為，若能，求出這個長方形紙片的長和寬，若不能，請說明理由．二十三、解答題23．如圖1，點在直線、之間，且．（1）求證：；（2）若點是直線上的一點，且，平分交直線于點，若，求的度數(shù)；（3）如圖3，點是直線、外一點，且滿足，，與交于點．已知，且，則的度數(shù)為______（請直接寫出答案，用含的式子表示）．24．綜合與探究（問題情境）王老師組織同學(xué)們開展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動．（1）如圖1，EF∥MN，點A、B分別為直線EF、MN上的一點，點P為平行線間一點，請直接寫出∠PAF、∠PBN和∠APB之間的數(shù)量關(guān)系；（問題遷移）（2）如圖2，射線OM與射線ON交于點O，直線m∥n，直線m分別交OM、ON于點A、D，直線n分別交OM、ON于點B、C，點P在射線OM上運動．①當(dāng)點P在A、B（不與A、B重合）兩點之間運動時，設(shè)∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．則∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②若點P不在線段AB上運動時（點P與點A、B、O三點都不重合），請你畫出滿足條件的所有圖形并直接寫出∠CPD，∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系．25．在中，射線平分交于點，點在邊上運動（不與點重合），過點作交于點.（1）如圖1，點在線段上運動時，平分.①若，，則_____；若，則_____；②試探究與之間的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（2）點在線段上運動時，的角平分線所在直線與射線交于點.試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.26．模型與應(yīng)用.（模型）（1）如圖①，已知AB∥CD，求證∠1＋∠MEN＋∠2＝360°.（應(yīng)用）（2）如圖②，已知AB∥CD，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度數(shù)為．如圖③，已知AB∥CD，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n的度數(shù)為．（3）如圖④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分線M1O與∠CMnMn－1的角平分線MnO交于點O，若∠M1OMn＝m°．在（2）的基礎(chǔ)上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1的度數(shù)．（用含m、n的代數(shù)式表示）【參考答案】一、選擇題1．D解析：D【分析】依據(jù)平方根的定義、算術(shù)平方根的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵，∴的平方根是；故選D.【點睛】本題主要考查的是算術(shù)平方根、平方根的定義，熟練掌握相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．2．B【分析】根據(jù)平移的概念：在平面內(nèi)，把一個圖形整體沿著某一方向移動，這種圖形的平行移動叫做平移變換，簡稱平移，由此即可求解.【詳解】解：A、不能經(jīng)過平移得到的，故不符合題意；B、可以經(jīng)過平解析：B【分析】根據(jù)平移的概念：在平面內(nèi)，把一個圖形整體沿著某一方向移動，這種圖形的平行移動叫做平移變換，簡稱平移，由此即可求解.【詳解】解：A、不能經(jīng)過平移得到的，故不符合題意；B、可以經(jīng)過平移得到的，故符合題意；C、不能經(jīng)過平移得到的，故不符合題意；D、不能經(jīng)過平移得到的，故不符合題意；故選B.【點睛】本題主要考查了圖形的平移，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握圖形平移的概念.3．D【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)各象限內(nèi)點的坐標(biāo)符號特征判定即可．【詳解】解：根據(jù)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)各象限內(nèi)點的坐標(biāo)符號特征可知：在第四象限故選D．【點睛】本題考查了各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號特征，第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．記住各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號是解決的關(guān)鍵．4．D【分析】根據(jù)相交線、對頂角以及鄰補角的有關(guān)性質(zhì)對選項逐個判斷即可．【詳解】解：A：同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線平行，選項正確，不符合題意；B：對頂角相等，選項正確，不符合題意；C：互為鄰補角的兩角和為180°，選項正確，不符合題意；D：相等的兩個角不一定是對頂角，選項錯誤，符合題意；故答案選D．【點睛】此題主要考查了相交線、對頂角以及鄰補角的有關(guān)性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】根據(jù)平行線的判定定理對四個選項進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A、若∠EAD=∠B，則AD∥BC，故此選項錯誤；B、若∠BAD=∠BCD，不可能得到BE∥CD，故此選項錯誤；C、若∠EAD=∠ADC，可得到BE∥CD，故此選項正確；D、若∠BCD+∠D=180°，則BC∥AD，故此選項錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了平行線的判定定理，熟練掌握平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵．6．D【分析】對每個選項依次計算判斷即可.【詳解】①，故該項錯誤；②無意義，故該項錯誤；③，故該項錯誤；④，故該項錯誤.共4個錯誤的，故選：D.【點睛】此題考查平方根、立方根的化簡，熟記平方根、立方根的性質(zhì)即可正確化簡.7．D【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠AOC＝55°，∠A＝∠C，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BOC＝∠C＝35°，則可得出答案．【詳解】解：∵將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)55°后得到△OCD，∴∠AOC＝55°，∠A＝∠C，∵∠AOB＝20°，∴∠BOC＝∠AOC?∠AOB＝55°?20°＝35°，∵CD∥OB，∴∠BOC＝∠C＝35°，∴∠A＝35°，故選：D．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，求出∠BOC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】根據(jù)“伴隨點”的定義依次求出各點，得出每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2021除以4，根據(jù)余數(shù)的情況確定點A2021的坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵點的坐標(biāo)為，∴點的伴隨點的坐標(biāo)為，即解析：C【分析】根據(jù)“伴隨點”的定義依次求出各點，得出每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2021除以4，根據(jù)余數(shù)的情況確定點A2021的坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵點的坐標(biāo)為，∴點的伴隨點的坐標(biāo)為，即，同理得：∴每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，∵，∴A2021的坐標(biāo)與的坐標(biāo)相同，即A2021的坐標(biāo)為，故選：C．【點睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中探索點的變化規(guī)律問題，解題關(guān)鍵是讀懂題目，理解“伴隨點”的定義，并能夠得出每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)．二、填空題9．1【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計算即可得解．【詳解】解：根據(jù)題意得，a-3=0，b+2=0，解得a=3，b=-2，所以3+（-2）=1．故答案為1．解析：1【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計算即可得解．【詳解】解：根據(jù)題意得，a-3=0，b+2=0，解得a=3，b=-2，所以3+（-2）=1．故答案為1．【點睛】本題考查平方數(shù)非負(fù)數(shù)，算術(shù)平方根非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)幾個非負(fù)數(shù)的和等于0，則每一個算式都等于0列式是解題的關(guān)鍵．10．【分析】先將a,b求出來,再根據(jù)對稱性求出坐標(biāo)即可．【詳解】根據(jù)題意可得:﹣3=b,2a-1=3.解得a=2,b=﹣3．P(2,﹣3)關(guān)于y軸對稱的點(﹣2,﹣3)故答案為:(﹣2,﹣解析：【分析】先將a,b求出來,再根據(jù)對稱性求出坐標(biāo)即可．【詳解】根據(jù)題意可得:﹣3=b,2a-1=3.解得a=2,b=﹣3．P(2,﹣3)關(guān)于y軸對稱的點(﹣2,﹣3)故答案為:(﹣2,﹣3)．【點睛】本題考查了關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特征，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．11．115°【詳解】因為∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°?50°=130°，∵BE、CF分別為∠ABC與∠ACB的角平分線，∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB解析：115°【詳解】因為∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°?50°=130°，∵BE、CF分別為∠ABC與∠ACB的角平分線，∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=×130°=65°，在△OBC中,∠BOC=180°?(∠OBC+∠OCB)=180°?65°=115°12．10°【分析】過點C作CG∥AB，過點D作DH∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得AB∥CG∥DH∥EF，從而可得∠BCG=∠B=40°，∠EDH=∠E=30°，∠DCG=∠CDH，即可求解．【詳解】解析：10°【分析】過點C作CG∥AB，過點D作DH∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得AB∥CG∥DH∥EF，從而可得∠BCG=∠B=40°，∠EDH=∠E=30°，∠DCG=∠CDH，即可求解．【詳解】解：如圖，過點C作CG∥AB，過點D作DH∥EF，∵AB//EF，∴AB∥CG∥DH∥EF，∵∠B=40°，∠E=30°，∴∠BCG=∠B=40°，∠EDH=∠E=30°，∠DCG=∠CDH，∴∠BCD-∠CDE=∠BCG-∠EDH=40°-30°=10°．故答案為：10°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．70【分析】根據(jù)∠1+2∠2=180°求解即可．【詳解】解：∵∠1+2∠2=180°，，∴∠2=70°．故答案為：70．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，角的和差計算，由圖得出∠1+2∠解析：70【分析】根據(jù)∠1+2∠2=180°求解即可．【詳解】解：∵∠1+2∠2=180°，，∴∠2=70°．故答案為：70．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，角的和差計算，由圖得出∠1+2∠2=180°是解答本題的關(guān)鍵．14．7【分析】由無理數(shù)的估算，先求出a、b的值，再進(jìn)行計算即可．【詳解】解：∵，∴，∵、為兩個連續(xù)的整數(shù)，，∴，，∴；故答案為：7．【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是正確解析：7【分析】由無理數(shù)的估算，先求出a、b的值，再進(jìn)行計算即可．【詳解】解：∵，∴，∵、為兩個連續(xù)的整數(shù)，，∴，，∴；故答案為：7．【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是正確求出a、b的值，從而進(jìn)行解題．15．(－4，3)．【分析】到x軸的距離表示點的縱坐標(biāo)的絕對值；到y(tǒng)軸的距離表示點的橫坐標(biāo)的絕對值．【詳解】解：根據(jù)題意可得點在第二象限，第二象限中的點橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)為正數(shù)．所以點A的坐解析：(－4，3)．【分析】到x軸的距離表示點的縱坐標(biāo)的絕對值；到y(tǒng)軸的距離表示點的橫坐標(biāo)的絕對值．【詳解】解：根據(jù)題意可得點在第二象限，第二象限中的點橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)為正數(shù)．所以點A的坐標(biāo)為(－4，3)故答案為：(－4，3)．【點睛】本題考查點的坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．16．（2，2）【分析】由格點確定點A、B、C的坐標(biāo)，從而得出AB、BC的長度，從而可找出爬行一圈的長度，再根據(jù)2020＝126×16＋4，即可得出當(dāng)螞蟻爬了2020個單位時，它所處位置的坐標(biāo)．【詳解析：（2，2）【分析】由格點確定點A、B、C的坐標(biāo)，從而得出AB、BC的長度，從而可找出爬行一圈的長度，再根據(jù)2020＝126×16＋4，即可得出當(dāng)螞蟻爬了2020個單位時，它所處位置的坐標(biāo)．【詳解】解：∵A點坐標(biāo)為（?2，2），B點坐標(biāo)為（3，2），C點坐標(biāo)為（3，?1），∴AB＝3?（?2）＝5，BC＝2?（?1）＝3，∴從A→B→C→D→A→B→…一圈的長度為2（AB＋BC）＝16．∵2020＝126×16＋4，∴當(dāng)螞蟻爬了2020個單位時，它所處位置在點A右邊4個單位長度處，即（2，2）．故答案為：（2，2）．【點睛】本題考查了規(guī)律型中點的坐標(biāo)以及矩形的性質(zhì)，根據(jù)螞蟻的運動規(guī)律找出螞蟻每運動16個單位長度是一圈．三、解答題17．（1）-1；（2）【分析】（1）根據(jù)算數(shù)平方根，立方根化簡，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則計算即可；（2）求出-3=，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）原式===－1；（2）∵∴即解析：（1）-1；（2）【分析】（1）根據(jù)算數(shù)平方根，立方根化簡，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則計算即可；（2）求出-3=，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）原式===－1；（2）∵∴即．故答案為（1）-1；（2）．【點睛】本題考查實數(shù)的運算及實數(shù)的大小比較，熟練掌握平方根和立方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（1）x＝±；（2）x＝﹣2﹣π或x＝﹣2+π【分析】（1）先移項，再將兩邊都除以25，再開平方即可求解；（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）25x2﹣36＝0，25x2＝解析：（1）x＝±；（2）x＝﹣2﹣π或x＝﹣2+π【分析】（1）先移項，再將兩邊都除以25，再開平方即可求解；（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）25x2﹣36＝0，25x2＝36，x2＝，x＝±；（2）|x+2|＝π，x+2＝±π，x＝﹣2﹣π或x＝﹣2+π．【點睛】本題主要考查了絕對值及平方根，注意一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)．19．角平分線的定義；AD；兩直線平行，同位角相等；∠3；兩直線平行，內(nèi)錯角相等【分析】先根據(jù)角平分線的定義求得∠1＝∠2，再根據(jù)平行線的判定證得EF∥AD，運用平行線的性質(zhì)和等量代換得到∠E＝∠3，解析：角平分線的定義；AD；兩直線平行，同位角相等；∠3；兩直線平行，內(nèi)錯角相等【分析】先根據(jù)角平分線的定義求得∠1＝∠2，再根據(jù)平行線的判定證得EF∥AD，運用平行線的性質(zhì)和等量代換得到∠E＝∠3，繼而由AC∥DF證出∠3＝∠F，從而得到最后結(jié)論．【詳解】證明：∵AD平分∠BAC（已知），∴∠1＝∠2（角平分線的定義），又∵∠ADC+∠EGD＝180°（已知），∴EF∥AD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）．∴∠1＝∠E（兩直線平行，同位角相等），∠2＝∠3（兩直線平行，同位角相等）．∴∠E＝∠3（等量代換）．又∵AC∥DF（已知），∴∠3＝∠F（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．∴∠E＝∠F（等量代換）．故答案為：角平分線的定義；AD；兩直線平行，同位角相等；∠3；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能熟練地運用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．20．（1）作圖見解析，；（2）7【分析】（1）直接利用P點平移變化規(guī)律得出A′、B′、C′的坐標(biāo)；直接利用得出各對應(yīng)點位置進(jìn)而得出答案；（2）利用三角形ABC所在矩形面積減去周圍三角形面積進(jìn)而得出解析：（1）作圖見解析，；（2）7【分析】（1）直接利用P點平移變化規(guī)律得出A′、B′、C′的坐標(biāo)；直接利用得出各對應(yīng)點位置進(jìn)而得出答案；（2）利用三角形ABC所在矩形面積減去周圍三角形面積進(jìn)而得出答案．【詳解】解：（1）∵P到點的對應(yīng)點，橫坐標(biāo)向左平移了兩個單位，縱坐標(biāo)向上平移了3個單位．∵，∴，如圖所示，三角形A′B′C′即為所求，（2）三角形ABC的面積為：4×5?×1×3?×2×4?×3×5＝7．【點睛】此題主要考查了平移變換以及三角形面積求法，正確得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．21．4，【分析】根據(jù)分母不等于0，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b的值，再根據(jù)根據(jù)被開方數(shù)估算無理數(shù)的大小即可得解．【詳解】解：根據(jù)題意得，3a-b=0，a2-49=0且a+7＞0，解得a=7，解析：4，【分析】根據(jù)分母不等于0，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b的值，再根據(jù)根據(jù)被開方數(shù)估算無理數(shù)的大小即可得解．【詳解】解：根據(jù)題意得，3a-b=0，a2-49=0且a+7＞0，解得a=7，b=21，∵16＜21＜25，∴的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是．【點睛】本題考查了絕對值非負(fù)數(shù)，算術(shù)平方根非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)幾個非負(fù)數(shù)的和等于0，則每一個算式都等于0列式是解題的關(guān)鍵．二十二、解答題22．（1）4；（2）不能，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的邊長即可；（2）先設(shè)未知數(shù)根據(jù)面積=14（cm2）列方程，求出長方形的邊長，將長方形的長與正方形邊長比較大小再解析：（1）4；（2）不能，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的邊長即可；（2）先設(shè)未知數(shù)根據(jù)面積=14（cm2）列方程，求出長方形的邊長，將長方形的長與正方形邊長比較大小再判斷即可．【詳解】解：（1）兩個正方形面積之和為：2×8=16（cm2），∴拼成的大正方形的面積=16（cm2），∴大正方形的邊長是4cm；故答案為：4；（2）設(shè)長方形紙片的長為2xcm，寬為xcm，則2x?x=14，解得：，2x=2>4，∴不存在長寬之比為且面積為的長方形紙片．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根，能夠根據(jù)題意列出算式是解此題的關(guān)鍵．二十三、解答題23．（1）見解析；（2）10°；（3）【分析】（1）過點E作EF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得出結(jié)合已知條件，得出即可證明；（2）過點E作HE∥CD，設(shè)由（1）得AB∥CD解析：（1）見解析；（2）10°；（3）【分析】（1）過點E作EF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得出結(jié)合已知條件，得出即可證明；（2）過點E作HE∥CD，設(shè)由（1）得AB∥CD，則AB∥CD∥HE，由平行線的性質(zhì)，得出再由平分，得出則，則可列出關(guān)于x和y的方程，即可求得x，即的度數(shù)；（3）過點N作NP∥CD，過點M作QM∥CD，由（1）得AB∥CD，則NP∥CD∥AB∥QM，根據(jù)和，得出根據(jù)CD∥PN∥QM,DE∥NB,得出即根據(jù)NP∥AB，得出再由，得出由AB∥QM,得出因為，代入的式子即可求出．【詳解】（1）過點E作EF∥CD，如圖，∵EF∥CD,∴∴∵,∴∴EF∥AB，∴CD∥AB；（2）過點E作HE∥CD，如圖，設(shè)由（1）得AB∥CD，則AB∥CD∥HE，∴∴又∵平分，∴∴即解得：即；（3）過點N作NP∥CD，過點M作QM∥CD，如圖，由（1）得AB∥CD，則NP∥CD∥AB∥QM，∵NP∥CD，CD∥QM，∴,又∵，∴∵,∴∴又∵PN∥AB，∴∵,∴又∵AB∥QM，∴∴∴．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造相等的角，利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同位角相等來計算和推導(dǎo)角之間的關(guān)系．24．（1）∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；（2）①，見解析；②或【分析】（1）作PC∥EF，如圖1，由PC∥EF，EF∥MN得到PC∥MN，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠PAF＋∠APC＝180°，∠解析：（1）∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；（2）①，見解析；②或【分析】（1）作PC∥EF，如圖1，由PC∥EF，EF∥MN得到PC∥MN，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠PAF＋∠APC＝180°，∠PBN＋∠CPB＝180°，即有∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；（2）①過P作PE∥AD交ON于E，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得到，，于是；②分兩種情況：當(dāng)P在OB之間時；當(dāng)P在OA的延長線上時，仿照①的方法即可解答．【詳解】解：（1）∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°，理由如下：作PC∥EF，如圖1，∵PC∥EF，EF∥MN，∴PC∥MN，∴∠PAF＋∠APC＝180°，∠PBN＋∠CPB＝180°，∴∠PAF＋∠APC+∠PBN＋∠CPB＝360°,∴∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；（2）①，理由如下：如答圖，過P作PE∥AD交ON于E，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴，，∴②當(dāng)P在OB之間時，，理由如下：如備用圖1，過P作PE∥AD交ON于E，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴，，∴；當(dāng)P在OA的延長線上時，，理由如下：如備用圖2，過P作PE∥AD交ON于E，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴，，∴；綜上所述，∠CPD，∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系是或.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補．難點是分類討論作平行輔助線．25．（1）①115°，110°；②，證明見解析；（2），證明見解析.【解析】【分析】（1）①根據(jù)角平分線的定義求得∠CAG=∠BAC=50°；再由平行線的性質(zhì)可得∠EDG=∠C=30°，∠FMD=解析：（1）①115°，110°；②，證明見解析；（2），證明見解析.【解析】【分析】（1）①根據(jù)角平分線的定義求得∠CAG=∠BAC=50°；再由平行線的性質(zhì)可得∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°；由三角形的內(nèi)角和定理求得∠AFD的度數(shù)即可；已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根據(jù)角平分線的定義可得∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG；由DE//AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；即可得∠FDM+∠FMD=∠EDG+∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×140°=70°；再由三角形的內(nèi)角和定理可求得∠AFD=110°；②∠AFD=90°+∠B，已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根據(jù)角平分線的定義可得∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG；由DE//AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；由此可得∠FDM+∠FMD=∠EDG+∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；再由三角形的內(nèi)角和定理可得∠AFD=90°+∠B；（2）∠AFD=90°-∠B，已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根據(jù)角平分線的定義可得∠CAG=∠BAC，∠NDE=∠EDB，即可得∠FDM=∠NDE=∠EDB；由DE//AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDB=∠C，∠FMD=∠GAC；即可得到∠FDM=∠NDE=∠C，所以∠FDM+∠FMD=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；再由三角形外角的性質(zhì)可得∠AFD=∠FDM+∠FMD=90°-∠B.【詳解】（1）①∵AG平分∠BAC，∠BAC=100°，∴∠CAG=∠BAC=50°；∵，∠C=30°，∴∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°；∵DF平分∠EDB，∴∠FDM=∠EDG=15°；∴∠AFD=180°-∠FMD-∠FDM=180°-50°-15°=115°；∵∠B=40°，∴∠BAC+∠C=180°-∠B=140°；∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG，∵DE//AC，∴∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；∴∠FDM+∠FMD=∠EDG+∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×140°=70°；∴∠AFD=180°-（∠FDM+∠FMD）=180°-70°=110°；故答案為115°，110°；②∠AFD=90°+∠B，理由如下：∵AG平