2024年西南財(cái)經(jīng)大學(xué)保險(xiǎn)精算數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題答案與解析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一1.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={c(x^2),0<x<2;0,其他}，求常數(shù)c的值。2.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，均服從參數(shù)為λ的泊松分布。令Z=X+Y，求Z的分布列。3.從總體X中抽取樣本X1,X2,...,Xn，樣本均值為√X，樣本方差為S^2。若總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，寫出μ的矩估計(jì)量和σ^2的無偏估計(jì)量。4.設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x;θ)={1/θ,0<x<θ;0,其他}，其中θ>0未知。從總體中抽取樣本X1,X2,...,Xn，求θ的最大似然估計(jì)量。二1.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)={c(x+y),0<y<x<1;0,其他}，求常數(shù)c的值，并求P(X+Y≤1/2)。2.設(shè)總體X的概率分布律為X|012P|1/41/21/4，求E(X)和Var(X)。3.從總體X中抽取樣本X1,X2,...,Xn，樣本均值為√X，樣本方差為S^2。若總體X服從指數(shù)分布Exp(λ)，寫出E(X)和Var(X)的矩估計(jì)量。4.某廠生產(chǎn)的燈泡壽命X服從正態(tài)分布N(μ,1000^2)。隨機(jī)抽取16只燈泡，測(cè)得樣本均值為9500小時(shí)。檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ=10000vsH1:μ<10000（顯著性水平α=0.05），請(qǐng)寫出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并說明應(yīng)使用哪種檢驗(yàn)法（不必計(jì)算結(jié)論）。三1.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，均服從N(0,1)分布。令X1=X+Y，X2=X-Y，求X1和X2的協(xié)方差Cov(X1,X2)。2.設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x;θ)={2(θ-x)/θ^2,0<x<θ;0,其他}，其中θ>0未知。從總體中抽取樣本X1,X2,...,Xn，求θ的無偏估計(jì)量。3.在一批產(chǎn)品中，次品率p未知?，F(xiàn)從中隨機(jī)抽取n件，發(fā)現(xiàn)k件次品。利用似然估計(jì)法估計(jì)p的值。4.某保險(xiǎn)公司收集了1000名30歲男性被保險(xiǎn)人的年醫(yī)療費(fèi)用數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)近似服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)。為估計(jì)μ，隨機(jī)抽取了這1000人中的100人，測(cè)得樣本均值為1800元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為300元。求μ的95%置信區(qū)間。四1.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律如下表所示（X|Y01P(X=x|Y=y)|1/43/4P(Y=y)|1/21/2），求E(XY)。```YX0101/83/811/83/8```2.設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x;θ)={θx^(θ-1),0<x<1;0,其他}，其中θ>0未知。從總體中抽取樣本X1,X2,...,Xn，求θ的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量。3.某射手每次射擊命中目標(biāo)的概率為p（p未知）。連續(xù)射擊直到命中為止，記X為射擊次數(shù)。寫出X的分布列，并求E(X)和Var(X)。4.某研究者想比較兩種教學(xué)方法（方法A和方法B）對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果是否有顯著差異。隨機(jī)抽取10組學(xué)生，每組5人，分別接受不同方法教學(xué)，測(cè)得考試成績(jī)?nèi)缦拢悍椒ˋ:85,82,88,90,84方法B:80,78,82,75,79假設(shè)兩組考試成績(jī)均服從正態(tài)分布，且方差相等。檢驗(yàn)兩種教學(xué)方法下學(xué)生的平均成績(jī)是否有顯著差異（顯著性水平α=0.05）。請(qǐng)寫出假設(shè)檢驗(yàn)的步驟（包括檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、分布、拒絕域，不必計(jì)算結(jié)論）。試卷答案一1.c=6/5解析：由概率密度函數(shù)性質(zhì)∫_(-∞)^(+∞)f(x)dx=1，得∫_0^2(6x^2)/5dx=1。計(jì)算得c=6/5。2.Z~Pois(2λ)解析：X和Y獨(dú)立同分布為Pois(λ)，根據(jù)泊松分布的可加性，X+Y~Pois(X+Y的參數(shù))=Pois(λ+λ)=Pois(2λ)。3.μ的矩估計(jì)量:√X;σ^2的無偏估計(jì)量:S^2=(∑_(i=1)^n(X_i-√X)^2)/(n-1)解析：E(X)=μ，用樣本均值√X替代E(X)得μ的矩估計(jì)量√X。E(S^2)=σ^2，所以S^2是σ^2的無偏估計(jì)量。4.θ的最大似然估計(jì)量:θ?=max(X1,X2,...,Xn)解析：寫出似然函數(shù)L(θ)=∏_(i=1)^n[1/θ](若X_i<θ)，等價(jià)于lnL=-nlnθ-∑_(i=1)^nln(X_i)。求導(dǎo)lnL'=-n/θ-∑_(i=1)^n1/X_i，令其等于0得θ=-n/∑_(i=1)^n1/X_i。但θ必須大于所有X_i，故θ?=max(X1,X2,...,Xn)。二1.c=1;P(X+Y≤1/2)=1/8解析：由聯(lián)合密度函數(shù)性質(zhì)∫_0^1∫_y^1c(x+y)dydx=1。計(jì)算得c=1。P(X+Y≤1/2)=∫_0^(1/2)∫_y^(1/2-y)(x+y)dydx。計(jì)算積分得結(jié)果1/8。2.E(X)=1;Var(X)=1/4解析：E(X)=Σx*P(X=x)=0*(1/4)+1*(1/2)+2*(1/4)=1。E(X^2)=Σx^2*P(X=x)=0^2*(1/4)+1^2*(1/2)+2^2*(1/4)=5/2。Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=5/2-1^2=3/2。3.E(X)的矩估計(jì)量:√X;Var(X)的矩估計(jì)量:(1/(n-1))*Σ_(i=1)^n(X_i-√X)^2解析：E(X)=μ，用樣本均值√X替代E(X)得μ的矩估計(jì)量√X。E(X^2)=Var(X)+(E(X))^2=σ^2+μ^2。用樣本方差S^2近似Var(X)，樣本均值√X近似μ，得Var(X)的矩估計(jì)量為(1/(n-1))*Σ_(i=1)^n(X_i-√X)^2。4.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:Z=(√X-10000)/(1000/√16);使用Z檢驗(yàn)法解析：總體方差σ^2=1000^2已知，樣本量n=16足夠大，可用Z檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z=(樣本均值-μ_0)/(σ/√n)=(√X-10000)/(1000/√16)。三1.Cov(X1,X2)=0解析：X1=X+Y,X2=X-Y。Cov(X1,X2)=Cov(X+Y,X-Y)=Cov(X,X)-Cov(X,Y)+Cov(Y,X)-Cov(Y,Y)=Var(X)-0+0-Var(Y)=σ^2-σ^2=0。因X,Y獨(dú)立，Cov(X,Y)=Cov(Y,X)=0，且Var(X)=Var(Y)=1。2.θ的無偏估計(jì)量:(1/n)*Σ_(i=1)^n(1-X_i)解析：E(1/X_i)=∫_0^θ(1/x)*[2(θ-x)/θ^2]dx=2/θ*[θlnθ-θ+x]_0^θ=2/θ*(θlnθ-θ+θ)=2lnθ。令E(1/X_i)=1/θ，得θ=e^(1/(2lnθ))。用樣本矩替代總體矩，令(1/n)*Σ(1/X_i)≈1/θ，得θ的矩估計(jì)量θ?=(1/n)*Σ(1/X_i)。進(jìn)一步計(jì)算可知，(1/n)*Σ(1-X_i)才是θ的無偏估計(jì)量。3.p的估計(jì)值:k/n解析：寫出似然函數(shù)L(p)=p^k*(1-p)^(n-k)。求導(dǎo)lnL=klnp+(n-k)ln(1-p)。令d(lnL)/dp=k/p-(n-k)/(1-p)=0，解得p=k/n。故p的估計(jì)值為k/n。4.μ的95%置信區(qū)間:(1781.96,1818.04)解析：總體N(μ,σ^2),σ未知,樣本n=100,樣本均值√X=1800,樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=300。用t分布構(gòu)建置信區(qū)間。t_(α/2,n-1)=t_(0.025,99)≈1.984。置信區(qū)間為(√X-t_(α/2,n-1)*S/√n,√X+t_(α/2,n-1)*S/√n)=(1800-1.984*300/√100,1800+1.984*300/√100)=(1781.96,1818.04)。四1.E(XY)=3/4解析：根據(jù)聯(lián)合分布律，E(XY)=ΣΣxy*P(X=x,Y=y)=0*(1/8+1/8)+1*(3/8+3/8)+2*(0+0)=6/8=3/4。2.θ的矩估計(jì)量:(1/(n*mean(X)))^(-1);最大似然估計(jì)量:(1/(n*mean(X)))^(-1)解析：E(X)=∫_0^1x*θx^(θ-1)dx=θ/(θ+1)。用樣本均值mean(X)替代E(X)，得θ的矩估計(jì)量mean(X)=θ/(θ+1)，解得θ?_矩=(1/(n*mean(X)))^(-1)。似然函數(shù)L(θ)=(θ^n)*[∏_(i=1)^nx_i^(θ-1)]/θ^(n*mean(X))。lnL=nlnθ+(θ-1)Σlnx_i-n*mean(X)lnθ。求導(dǎo)lnL'=n/θ+Σ(1/x_i)-n*mean(X)/θ=0。解得θ=(1/(n*mean(X)))。故θ的最大似然估計(jì)量θ?_MLE=(1/(n*mean(X)))^(-1)。3.P(X=k)=(1-p)^(k-1)p;E(X)=1/p;Var(X)=(1-p)/p^2解析：這是幾何分布。P(X=k)表示第k次射擊命中，前k-1次未命中，概率為(1-p)^(k-1)p。期望E(X)=Σk*(1-p)^(k-1)p=1/p(利用幾何級(jí)數(shù)求和)。方差Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2。E(X^2)=Σk^2*(1-p)^(k-1)p=2/p。故Var(X)=2/p-1/p^2=(1-p)/p^2。4.假設(shè)檢驗(yàn)步驟：a.H0:μ_A=