第=page11頁，共=sectionpages11頁江西省名校2026屆高三上學期期中聯(lián)考數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知隨機變量X～N5,σ2，則“m=2”是“PX≤3mA.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件2.設全集U=1,2,3,4,5，B=1,2,3，則使A∪?UB=U成立的集合A至多有A.3 B.4 C.7 D.83.在?ABC中，D是BC的中點，AE=12AD.若BEA.?12 B.?14 C.4.已知0<α<β<π2，cosα?β=35，A.12 B.15 C.255.已知函數(shù)fx=x?sinx+1，則滿足不等式fm+2+fA.m<?13 B.m>?13 C.6.已知函數(shù)f(x)=9x，等差數(shù)列{an}的公差為2.若f(A.?12 B.?10 C.?6 D.?57.已知b是a,c的等差中項，直線ax?by+c=0與圓C:x2+y2+2x+4y?t=0交于A,B兩點，若弦AB的最小值為4A.24 B.19 C.26 8.已知eelnx=xA.e2<y B.x2<lne二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.給出下列四個命題，正確的有(

)A.已知復數(shù)z滿足iz=2+i，則復數(shù)z的虛部為?2i

B.在x+1x26展開式中，常數(shù)項為15

C.當實數(shù)x>0時，x+1xx+9x10.已知函數(shù)f(x)=2cos?(ωx+φ)(ω>0,?π2<φ<0)的部分圖象如圖所示，則A.f(x)圖象在點(π,f(π))處的切線方程為x+2y?π?23=0

B.f(x)+1的最小正周期為π

C.若關于x的方程f(x)=a在(π6,5π3)上有兩個不同的實根，則a的取值范圍a∈(11.若點N為點M在平面α上的正投影，則記N=fαM.如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，記平面AB1C1D為β，平面A.線段PQ2長度的取值范圍是12,22 B.存在點P使得PQ1//平面β

C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知平面向量a=(x,1)，b=(1?x,2x)，若a//(a+b13.已知函數(shù)fx=ex?f′014.在?ABC中，D,E為?ABC邊BC上的兩點，且滿足∠BAE=∠CAD，BD?BECD?CE=1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在“一帶一路”倡議推動下，中國與中亞國家合作日益緊密。2025年，某省計劃向海外“鄭和學院”項目派遣教師，為此舉辦了專項教學能力培訓。參會人員包括600名高職院校教師和400名企業(yè)工程師轉(zhuǎn)崗教師。培訓后均參加教學能力考核，考核結果為優(yōu)秀、合格兩種情況，統(tǒng)計得到如下列聯(lián)表：高職院校教師企業(yè)工程師總計優(yōu)秀350170520合格250230480總計6004001000(1)

根據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗，能否認為這次考核結果與教師背景類型有關？(2)若從參會人員中，采用分層抽樣的方法隨機抽取10名教師，再從這10人中隨機抽取3人進行海外教學意愿調(diào)研，設抽取的3人中企業(yè)工程師的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．附：χ2=n(ad?bcα0.10.050.010.001x2.7063.8416.63510.82816.(本小題15分)

如圖，在等腰梯形PABC中，AB=1，CP=3，PA=BC=2，D為邊PC上靠近點P的三等分點，現(xiàn)將三角形PAD沿AD翻折，得到四棱錐P′?ABCD，使得P′D⊥CD

(1)證明：BM//平面P(2)求二面角P′?MD?B17.(本小題15分)已知數(shù)列bn滿足：b1=a(a∈R)，3bn+1⑴若a=?3，求數(shù)列an⑵若數(shù)列an不是等比數(shù)列，證明：數(shù)列b⑶若數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn為其前n項和，且對任意正整數(shù)n，都有1<Sn18.(本小題17分)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的短軸長為2，與雙曲線4x2?43y(1)求橢圓C的方程;(2)若點Px0,y0的縱坐標為(3)設r1,r2分別為?P19.(本小題17分)已知函數(shù)fx⑴求實數(shù)c的取值范圍;⑵若存在實數(shù)c，使得函數(shù)fx在區(qū)間t?1,t+1上單調(diào)遞減，求實數(shù)t的取值范圍⑶若c<0，函數(shù)gx=fx?112x4+32x2，函數(shù)gx的圖像上一點A處的切線l1與y=gx的圖像交于點B，過點A的直線參考答案1.A

2.B

3.B

4.C

5.A

6.A

7.B

8.D

9.BCD

10.ACD

11.BCD

12.52或13.π

14.1215.解：(1)零假設為H0:這次考核結果與教師背景類型有關，

χ2=1000×(350×230?250×170)2600×400×520×480=451251872≈24.11，

查臨界值表，α=0.01對應的臨界值x0.01=6.635，

由于24.11>6.635，

故依據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗，我們推斷H0成立，

即認為這次考核結果與教師背景類型有關，此推斷犯錯的概率不大于0.01；

(2)分層抽樣時，總抽取比例為600:400=3:2，

因此：高職院校教師抽取人數(shù)：10×35=6(人)，

企業(yè)工程師抽取人數(shù)：10×25=4(人)，

從10人中抽取3人，設企業(yè)工程師人數(shù)為X，

則X服從超幾何分布，可能取值為X0123P1131由超幾何分布性質(zhì)得：E(X)=3×41016.解：(1)證明：取P′D的中點N，連接MN，AN，

在△P′DC中，M，N為所在邊的中點，

所以MN=12DC，MN//DC，

在梯形ABCD中，CD=2，AB=1，

所以AB=12DC，AB//DC，

所以AB=MN，AB//MN，

所以四邊形ABMN是平行四邊形，

所以BM//AN，

又BM?平面P′AD，AN?平面P′AD，

所以BM/?/平面P′AD；

(2)由題意，在等腰梯形PABC中，

AB=1，CP=3，D為邊PC上靠近點P的三等分點，

所以AD⊥PD，AD⊥CD，

即AD⊥P′D，AD⊥DC，

又P′D⊥DC，

以D為坐標原點，以DA，DC，DP′所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

在△ADP中，由勾股定理易得AD=1，

則A(1,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，P′(0,0,1)，

又M為棱P′C的中點，

所以M(0,1,12)，B(1,1,0)，

則DB=(1,1,0)，DM=(0,1,12)，

且平面P′MD的一個法向量n1=(1,0,0)，

設平面BMD的法向量為n2=(x,y,z)，

由

DB?n2=x+y=0DM?n2=y+1217.解：(1)由題意得bn+1=23bn+n?4，

因為an+1=(?1)n+1[bn+1?3(n+1)+21]=(?1)n+1(23bn+n?4?3n+18)=(?1)n+1(23bn?2n+14)

=?23(?1)n(bn?3n+21)=?23an，

當a=?3時，

又a1=?(?3+18)=?15，

所以數(shù)列{an}是以?15為首項，?23為公比的等比數(shù)列，

所以an=?15(?23)n?1；

(2)證明：由(1)知an+1=?23an，又a1=?(a+18)，所以

?①當a≠?18時，a1=?(a+18)≠0，由上可知an≠0，an+1an=?23(n∈N?).

此時數(shù)列{an}是以?(a+18)為首項，?23為公比的等比數(shù)列，不合題意，舍去;

?②當a=?18時，an=0(n∈N?)，此時{an}18.解：(1)由題意得2b=2，即b=1，

雙曲線4x2?43y2=1的標準形式為x214?y234=1，

其焦點滿足c2=14+34=1，即焦點為(±1,0)，

橢圓與雙曲線共焦點，故橢圓的c=1，

結合橢圓關系a2=b2+c2，

得a2=1+1=2，

因此，橢圓C的方程為x22+y2=1；

(2)因為點P(x0,y0)的縱坐標為22，∴P(1,22)，

又F2(1,0)，∴PF2⊥x軸，

由對稱性知，△PF1Q2內(nèi)切圓圓心在x軸正半軸上，且F2是切點，

∴S△PF1Q2=2×12|F1F2|×|PF2|=2×12×2×22=2，

且△PF1Q2的周長為19.解：(1)因為函數(shù)f(x)=112x4+13x3?32x2+cx有四個不同單調(diào)區(qū)間，

所以函數(shù)有三個極值點，

所以f′(x)=13x3+x2?3x+c=0有三個互異的實根，

設g(x)=13x3+x2?3x+c，

則g′(x)=x2+2x?3=(x+3)(x?1)，

當x<?3時，g′(x)>0，g(x)在(?∞,?3)上單調(diào)遞增，

當?3<x<1時，g′(x)<0，g(x)在(?3,1)上單調(diào)遞減，

當x>1時，g′(x)>0，g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)g(x)在x=?3時取極大值，在x=1時取極小值，

當g(?3)≤0或g(1)≥0時，g(x)=0最多只有兩個不同實根，

因為g(x)=0有三個不同實根，

所以g(?3)>0，且g(1)<0，

即?9+9+9+c>0，且13+1?3+c<0，

解得c>?9，且c<53，

所以實數(shù)c的取值范圍為?9<c<53；

(2)由(1)的證明可知，當?9<c<53時，f(x)有三個極值點，

不妨設為x1，x2，x3(x1<x2<x3)，

注意到f′(?3)=f′(3)=c+9，f′(?5)=f′(1)=c?53，

所以?5<x1<?3<x2<1<x3<3，

則f′(x)=13(x?x1)(x?x2)(x?x3)，

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(?∞,x1]，[x2,x3]，

若f(x)在區(qū)間[t