3/27拓展專題04抽象函數(shù)的八大常考考點考點01抽象函數(shù)的定義域(共7小題 1考點02抽象函數(shù)求值（共4小題） 3考點03求抽象函數(shù)的值域（共4小題） 5考點04抽象函數(shù)的解析式（共5小題） 8考點05抽象函數(shù)的單調性（共3小題） 10考點06抽象函數(shù)的奇偶性（共5小題） 12考點07抽象函數(shù)的對稱性（共7小題） 17考點08抽象函數(shù)的周期性（共6小題）（拓展） 21考點01抽象函數(shù)的定義域(共7小題1．（25-26高三上·重慶·階段練習）已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用抽象函數(shù)定義域可得的定義域，結合分母不為零可得答案.【詳解】因為的定義域為，所以的定義域為，因為，所以的定義域為.故選：C2．（25-26高一上·吉林·期中）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意有，解不等式即可．【詳解】函數(shù)的定義域為，則對于函數(shù)，應有，解得，故的定義域為．故選：B．3．（24-25高一上·遼寧鞍山·期中）已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通過中間函數(shù)過渡，即求出的定義域后可求．【詳解】在中，，∴，∴的定義域是，故在中，解得，∴的定義域是.故選：A.4．（24-25高一上·貴州畢節(jié)·階段練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由即可求函數(shù)的定義域.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以，解得，故函數(shù)的定義域為.故選：B5．（23-24高一上·福建龍巖·期末）若冪函數(shù)的圖象過點，則的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，根據(jù)冪函數(shù)的圖象過點求出的值，即可求出的定義域，再根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法即可得解.【詳解】設，依題意可得，解得，所以，所以的定義域為，對于，有，解得，即函數(shù)的定義域是.故選：B6．（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）已知的定義域為，則的定義域為．【答案】【分析】由抽象函數(shù)的定義域求法，可得出關于的不等式組，由此可解得所求函數(shù)的定義域.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以對于函數(shù)，有，解得，故函數(shù)的定義域為．7．（24-25高一上·江西贛州·期末）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為.【答案】【分析】由函數(shù)的定義域為，可得，即的定義域為.【詳解】函數(shù)的定義域為，，則，，函數(shù)的定義域為.考點02抽象函數(shù)求值（共4小題）8．（2025·陜西西安·模擬預測）已知表示不小于x的最小整數(shù)，如，，已知定義在R上的函數(shù)滿足，，，且，則（

）A．2024 B．2025 C．2026 D．2027【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法探討求得函數(shù)解析式，再按定義求得結果.【詳解】定義在上的函數(shù)滿足，取，得，則，取，得，于是，而，則，當時，，因此，，則，所以，.故選：C9．（2025高三·全國·專題練習）已知定義在上的函數(shù)滿足，，則等于（

）A．33 B．32 C．31 D．30【答案】D【分析】先令和代入已知等式可得，進而得到①；再結合已知等式得到②，解方程組①②得到解析式可得.【詳解】令，則，令，則，則，所以①．所以，則，又因為，所以，，所以②．①－②，得，所以．所以．故選：D．10．（2025高三·全國·專題練習）已知定義在上的函數(shù)滿足，對任意，有，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由賦值法可令，求得，再令，求得的解析式，運用數(shù)列的裂項相消法求和，計算可得所求和.【詳解】在中，令，得；令，得，所以．所以，所以.故選：A．11．（24-25高三上·江西·階段練習）已知函數(shù)滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結合題意，令可得，進而利用累加法及等比數(shù)列的前和公式求解即可.【詳解】由，則，則，將以上各式相加得，所以.故選：D.考點03求抽象函數(shù)的值域（共4小題）12．（24-25高三下·湖南長沙·階段練習）已知函數(shù)的定義域和值域分別為和，則函數(shù)的定義域和值域分別為（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【分析】令，求得，得到的定義域為，再結合函數(shù)圖象變換，得到與函數(shù)的值域相同，即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的定義域和值域分別為和，可得和，令，解得，所以函數(shù)的定義域為，又由函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到的圖象，所以函數(shù)與函數(shù)的值域相同，即.故選：D.13．（24-25高一上·遼寧大連·階段練習）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由給定條件求出的值域，換元借助對勾函數(shù)性質即可得解.【詳解】因為函數(shù)的值域是，所以函數(shù)的值域是，令，則，由對勾函數(shù)的性質可知：函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，而，，，則，即函數(shù)的值域是.故選：B.14．（2025高三·全國·專題練習）已知函數(shù)的定義域為，值域為，則函數(shù)的值域為.【答案】【分析】函數(shù)可由的圖象向左平移得到，由此知的值域.【詳解】因為函數(shù)的圖象可看作由的圖象向左平移一個單位得到的，故值域不變，所以函數(shù)的值域為.15．（23-24高二下·河北保定·期末）已知函數(shù)的定義域和值域均為，則函數(shù)的定義域和值域分別為.【答案】，【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域的求法及函數(shù)值域的概念求解即可.【詳解】由函數(shù)的定義域和值域均為，所以要有意義，則需，解得，所以函數(shù)的定義域為，因為，所以，所以，即值域為.16．（24-25高二下·浙江麗水·期末）已知定義在上的函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的關系，結合值域的定義分析即可【詳解】函數(shù)的圖象向左平移3個單位得到的圖象，因此函數(shù)的值域為，則函數(shù)的值域是.17．（2025·山東聊城·模擬預測）已知偶函數(shù)的定義域為，且，則的值域為.【答案】【分析】令可得出，令結合偶函數(shù)的性質可求得函數(shù)的解析式，由此可得出函數(shù)的值域.【詳解】對，令，則，解得；對，令，則，又為偶函數(shù)，，故，解得。又，故其值域為.18．（24-25高三下·重慶·階段練習）已知滿足，且，則的值域為【答案】【分析】根據(jù)題意，令，求得，再令，求得，令，可得，即，再令，得到，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)滿足，且，令，可得，因為，可得，再令，可得，所以，令，可得，即，再令，可得，所以，則，當且僅當時，等號成立，所以的值域為.19．（2025·浙江溫州·二模）函數(shù)滿足：①②，．則的最大值等于．【答案】【分析】交換可得，進而可得再令可得，最后根據(jù)基本不等式可得答案.【詳解】，①．則交換可得，,化為②由①②可得③，③中令可得，化簡可得，當時等號成立，所以的最大值等于．考點04抽象函數(shù)的解析式20．（2025·重慶·模擬預測）設定義域為R的函數(shù)滿足：，都有且（a為常數(shù)），則函數(shù)．【答案】【分析】運用賦值法可求解.【詳解】由①，在①中，令可得②，在②中，令，則③，由②可得，④，由①可得，⑤，由②可得，⑥，則由③④⑤⑥可得，，即，因，則.21．（2025高三·全國·專題練習）已知函數(shù)的定義域為，且滿足，，若，則函數(shù)的解析式為.【答案】【分析】根據(jù)，令，得，依次可得，，，累加可得函數(shù)解析式.【詳解】函數(shù)的定義域為，且滿足，取，得，所以，，，，以上各式相加得．22．（2025高三·全國·專題練習）設是定義在上的函數(shù)，，且滿足對任意，，等式恒成立，則的解析式為．【答案】【分析】根據(jù)題設，進行賦值即可求解.【詳解】是定義在上的函數(shù)，，且對任意，，恒成立，令，得，則，此時，而，則，滿足題意，所以.23．（2025高三·全國·專題練習）設，函數(shù)滿足，函數(shù)的解析式為.【答案】【分析】利用已知條件重新構造一個方程聯(lián)立方程組解出即可.【詳解】由，，①將換成得：，②①②得：，即，24．（24-25高二下·浙江·期末）定義在上的函數(shù)滿足且是一個增函數(shù)，請寫出滿足條件的一個函數(shù).（寫出一個即可）【答案】（只需符合即可）.【分析】令，可得，推導出函數(shù)為奇函數(shù)，然后驗證滿足題設條件，即可得出結果.【詳解】因為定義在上的函數(shù)滿足，則，令，可得，令可得，由題意可得，令，則，則函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，可取，則，滿足要求，故滿足題意.考點05抽象函數(shù)的單調性25．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函數(shù)在上單調遞增，則的單調減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)在上單調遞增，則在上單調遞增，根據(jù)復合函數(shù)的單調性“同增異減”求出函數(shù)在定義域內(nèi)的遞減區(qū)間即可．【詳解】因為函數(shù)在上單調遞增，所以在上單調遞增，設，由，解得或，所以在上單調遞減，所以的單調減區(qū)間為.故選：B.26．（24-25高一上·遼寧·期中）設函數(shù)在上為增函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．在上為增函數(shù) B．在上為減函數(shù)C．在上為增函數(shù) D．在上為減函數(shù)【答案】D【分析】利用特殊函數(shù)排除A、B、C，即可得答案.【詳解】由題設，滿足要求，則為常數(shù)函數(shù)且定義域不是R，排除B，、在R上不是單調函數(shù)，且后一個函數(shù)定義域不為R，排除A、C，若函數(shù)在上為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)，D對.故選：D27．（25-26高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習）已知函數(shù)是定義在上的單調遞減函數(shù)，則的單調遞增區(qū)間為．【答案】【分析】先確定函數(shù)的定義域，再根據(jù)復合函數(shù)的單調性即可求得答案.【詳解】設，令，則，即函數(shù)的定義域為，結合題意知的定義域為；函數(shù)是定義在上的單調遞減函數(shù)，故要求的單調遞增區(qū)間，即求在上的單調遞減區(qū)間，而在上單調遞減，故在上的單調遞減區(qū)間為，則的單調遞增區(qū)間為.考點06抽象函數(shù)的奇偶性28．(多選)（24-25高一上·陜西榆林·期末）設函數(shù)的定義域為，，，若，，則（

）A．， B．是偶函數(shù)C．在上單調 D．可能是奇函數(shù)【答案】AB【分析】根據(jù)絕對值得意義可判斷A，根據(jù)偶函數(shù)定義及性質判斷B、C，利用反證法可判斷D.【詳解】因為，所以，故A正確；由，得，所以是偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知，函數(shù)在不上單調，故B正確，C錯誤；若是奇函數(shù)，結合選項B知，，所以，即，這與矛盾，故D錯誤.故選：AB.29．（24-25高三上·河北邢臺·階段練習）已知函數(shù)的定義域是，則下列命題中不正確的是（

）A．若是偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則是偶函數(shù)B．若是偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則是偶函數(shù)C．若是單調遞減函數(shù)，則也是單調遞減函數(shù)D．若是單調遞增函數(shù)，則也是單調遞增函數(shù)【答案】C【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義判斷A，B；舉反例判斷C；根據(jù)單調性的定義判斷D．【詳解】對于A，令，則，所以為偶函數(shù)，即是偶函數(shù)，故A正確；對于B，令，則，所以是偶函數(shù)，即是偶函數(shù)，故B正確；對于C，取，則在R上單調遞減，則，在R上單調遞增，故C錯誤；對于D，因為是單調遞增函數(shù)，任取，且，則，所以，所以也是單調遞增函數(shù)，故D正確.故選：C.29．（2025高三·全國·專題練習）已知定義在R上的單調函數(shù)，滿足，，，則下列說法不正確的是（）A． B．可能是單調遞減函數(shù)C．為奇函數(shù) D．若，則【答案】B【分析】由單調函數(shù)性質，奇函數(shù)定義結合賦值法可判斷各選項正誤.【詳解】因為定義在R上的單調函數(shù)，則，時.對于A，令，則或，若，則對，取，都有，不滿足單調函數(shù)性質，故，故A正確；對于B，令，則或由，則舍去，得，因，結合為定義在R上的單調函數(shù)，則只能是單調遞增函數(shù)，故B錯誤；對于C，令，則或（舍），則，取，則，又定義域為R，則為奇函數(shù)，故C正確；對于D，令，則，令，則，則，故D正確.故選：B30．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函數(shù)的定義域為，且，若，則（

）A． B． C．為增函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】C【分析】利用賦值法求出、及的值，從而判斷AB；令，結合的值，可得，從而判斷CD.【詳解】對于A，令，則，又因為，所以，令，則，解得，故A錯誤；對于B，令，則，又，解得，故B錯誤；對于C，令，則有，又因為，所以，所以函數(shù)為單調遞增函數(shù)，故C正確；對于D，由C可知，為非奇非偶函數(shù)，故D錯誤.故選：C.31．（24-25高一下·江西宜春·階段練習）已知函數(shù)滿足任意的實數(shù)，，都有，且當時，.(1)求的值，并證明：是奇函數(shù)；(2)判斷在上的單調性并證明；(3)若關于的不等式對任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)，證明見解析(2)在上單調遞增，證明見解析(3)【分析】（1）用特值法可求出的值，再利用奇函數(shù)的概念即可證明；（2）利用定義法證明函數(shù)的單調性即可；（3）題設不等式恒成立可化簡為對任意的恒成立，再利用換元法求出函數(shù)的單調性和最值，利用二次函數(shù)的圖象的單調性結合定義域即可求解.【詳解】（1）因為函數(shù)滿足任意的實數(shù)，，都有，令，則，所以.令，則，所以，所以是奇函數(shù).（2）在上單調遞增.證明：設，且，所以，又，所以，所以，所以，即，所以在上單調遞增.（3）關于的不等式對任意的恒成立，即關于的不等式對任意的恒成立，由（2）可知在上單調遞增，令，，所以，，令，，當，即時，在上單調遞增，所以，解得，當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，不符合題意；當，即時，在上單調遞減，所以，解得，與矛盾，不符合題意.綜上，的取值范圍是.32．（24-25高一下·安徽·開學考試）已知定義在上的函數(shù)滿足下列兩個條件：①對任意,都有；②對任意且，都有.請解答下列問題：(1)求的值；(2)判斷的奇偶性及在定義域內(nèi)的單調性并證明；(3)證明：對任意正整數(shù)，.提示：①.；②..【答案】(1)(2)奇函數(shù)，在上單調遞減，證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)賦值法令，可求得；（2）通過賦值令，可得是奇函數(shù)，可得，再結合條件即可證明單調性；（3）根據(jù)題目中提示將化簡為，再消項求和，根據(jù)單調性判斷，得證.【詳解】（1）令得：；（2）令得：，是奇函數(shù)，在上單調遞減.下面證明：任取且，，，且，則而，則，在上單調遞減；（3）由、知在單調遞減，，當時，，，則得證.考點07抽象函數(shù)的對稱性（共7小題）34．（25-26高三上·黑龍江綏化·開學考試）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調遞增，則，，的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意知關于對稱，，再由在上單調遞增可判斷大小關系.【詳解】因為函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，所以對，，所以關于直線對稱，所以，又因為在上單調遞增，所以.故選：B35．（2025·黑龍江大慶·一模）已知函數(shù)的定義域為，且在上單調遞減，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用對稱性及單調性求解函數(shù)不等式.【詳解】由函數(shù)的定義域為，得函數(shù)的圖象關于直線對稱，又函數(shù)在上單調遞減，則不等式，即，解得，所以所求不等式的解集為.故選：D36．（25-26高三上·黑龍江·開學考試）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，都有，則的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到函數(shù)的圖象關于對稱，且在上單調遞減，在上單調遞增，結合函數(shù)的單調性和對稱性，即可求解.【詳解】由函數(shù)滿足，可得函數(shù)的圖象關于對稱，又由，都有，根據(jù)函數(shù)單調性的定義，可得函數(shù)在上單調遞減，結合對稱性知：函數(shù)在上單調遞增，因為，所以，又因為，所以.故選：B.37．（25-26高一上·河北·期中）函數(shù)的定義域為R，對任意的有且函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由條件推出在上單調遞減，又由函數(shù)為偶函數(shù)，推出的圖象關于直線對稱，由對稱性和單調性即可得的大小關系.【詳解】因為的定義域為R，且對任意的，有，設，則有，所以在上單調遞減.又因為函數(shù)為偶函數(shù)，即，所以的圖象關于直線對稱，所以，則.故選：B.38．（25-26高三上·湖南·開學考試）定義在上的函數(shù)的圖象關于點對稱，且有，當時，恒有，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)關于點對稱可得，根據(jù)賦值法可得，結合單調性，可得當時，恒有，再利用遞推式計算即可．【詳解】在中，令，得．因為函數(shù)的圖象關于點對稱，所以．令，則，所以．又，所以．在中，令，得，所以．又由已知，在上是不減的函數(shù)，所以當時，恒有．由，得．所以．因為，所以．故選：C．39．（多選）（24-25高一下·安徽亳州·階段練習）已知函數(shù)的定義域為，且，下列說法正確的是（

）A．B．若在上有最小值－1，則在上有最大值1C．若在上為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)D．若時，，則時，【答案】AB【分析】根據(jù)奇函數(shù)和單調性的定義與性質逐項判斷即可確定答案.【詳解】由題意可知：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱.對A：令，則，故A正確；對B：根據(jù)奇函數(shù)圖象的對稱性，若在上有最小值－1，則在上有最大值1，故B正確；對C：根據(jù)奇函數(shù)圖象的對稱性，若在上為增函數(shù)，則在上也為增函數(shù)，故C不正確；對D：設，則，所以，又，所以（）.故D不正確.故選：AB40．(多選)（24-25高一上·廣東深圳·期中）定義在上的函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A． B．在上是減函數(shù)C．的圖象關于點對稱 D．的圖象關于直線對稱【答案】ABC【分析】利用賦值法可判斷A，利用抽象函數(shù)的對稱性與單調性可判斷B，利用抽象函數(shù)的對稱性的判定可判斷C，利用反例排除D，從而得解.【詳解】對于A，由得，又，則，A正確，對于B，由于故是奇函數(shù)，由在上是增函數(shù)可得在上也是增函數(shù)由，因此關于對稱，故在上是減函數(shù)，B正確，對于C，由，則，故關于對稱，結合為奇函數(shù)，故的圖象關于對稱，故C正確，對于D，因為，所以，又在上是減函數(shù)，所以，故，即，則不是的對稱軸，故D錯誤.故選：ABC.考點08抽象函數(shù)的周期性（共6小題）（拓展）41．（多選）（25-26高三上·陜西漢中·階段練習）已知函數(shù)，的定義域均為，，關于直線對稱，且，若，則（

）A． B．的圖象關于點中心對稱C．是偶函數(shù) D．【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)的性質，結合題給條件得出是周期為6的偶函數(shù)，從而判斷出選項C，再根據(jù)函數(shù)的性質結合已知條件逐一判斷其余各選項．【詳解】關于對稱，，令，則①，，令替換為，則，周期為6，，令替換為，則，又，，即，令替換為，則②，聯(lián)立①②得：，即，為偶函數(shù)，選項C正確．選項A：，令，則，解得，選項A正確．選項B：為偶函數(shù)，，，令替換為，則，即，，即圖象關于點中心對稱，故B正確．選項D：周期為6，，，，，，即一個周期的和為0，到共項，共個周期余4項，前項和為0，剩余4項，，，，剩余項和為，，令，則，即，，故D錯誤．故選：．42．(多選)（25-26高三上·重慶·階段練習）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，對，都有，且在區(qū)間上單調遞增，則下列說法正確的是（

）A． B．的一個周期為4C． D．在區(qū)間上單調遞增【答案】ABC【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質，結合已知等式求出函數(shù)的周期，再根據(jù)已知等式求出函數(shù)的一條對稱軸，然后逐一判斷即可.【詳解】A：因為函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，所以，在中，令，則有，因此本選項說法正確；B：因為函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，所以有，而，所以有，即有，則有，所以函數(shù)的周期為，因此本選項說法正確；C：因為奇函數(shù)的周期為，所以，因此本選項說法正確；D：當時，，，由，所以該函數(shù)的一條對稱軸為，又因為在區(qū)間上單調遞增，所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞減，因此本選項說法不正確，故選：ABC43．(多選)（25-26高三上·四川綿陽·階段練習）已知函數(shù)定義域為，其導函數(shù)為，且，則下列說法正確的是（

）A．一個對稱中心為 B．的一個周期為2C．的圖象關于對稱 D．【答案】ACD【分析】對A，根據(jù)函數(shù)的對稱性定義可判斷；對B，由，兩邊求導可得的圖象關于對稱，結合條件可得，由周期函數(shù)的定義得解；對C，由的圖象關于對稱，周期為4，可判斷；對D，將代入，可得，將代入結合可得，結合函數(shù)的周期性運算得解.【詳解】對于A，由滿足，則關于中心對稱，故A正確；對于B，由，兩邊求導可得，即，所以的圖象關于對稱，又等價于，，所以，，即的一個周期為4，故B錯誤；對于C，因為的圖象關于對稱，周期為4，所以的圖象關于對稱，故C正確；對于D，將代入，可得，將代入，得，又，所以，，所以，又，所以，故D正確.故選：ACD.44.(多選)（25-26高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知函數(shù)，定義域均為，的圖象關于點對稱，且滿足，，則（

）A．函數(shù)的圖象關于對稱 B．是周期為4的函數(shù)C． D．是奇函數(shù)【答案】ABD【分析】由的圖象關于點對稱，根據(jù)對稱性可得，可判斷D；由已知可得判斷A；由已知等式推出，可推出函數(shù)的周期，判斷B；再結合賦值法可判斷C.【詳解】函數(shù)的定義域均為