2/36專題01集合考點(diǎn)01集合的概念（共3小題） 1考點(diǎn)02判斷元素與集合的關(guān)系（共4小題） 3考點(diǎn)03由元素與集合的關(guān)系求參（共3小題）（重點(diǎn)） 4考點(diǎn)04集合的表示方法（共4小題）（重點(diǎn)） 5考點(diǎn)05求集合中元素的個數(shù)（共3小題） 6考點(diǎn)06根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參（共3小題） 7考點(diǎn)07求集合的子集（真子集）（共3小題） 8考點(diǎn)08集合中子集（或真子集）的個數(shù)問題（共4小題） 9考點(diǎn)09判斷兩個集合的關(guān)系（共4小題） 11考點(diǎn)10根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)（共3小題）（重點(diǎn)） 13考點(diǎn)11根據(jù)集合相等求參數(shù)（共3小題） 14考點(diǎn)12進(jìn)行集合的運(yùn)算（共6小題）（重點(diǎn)） 15考點(diǎn)13由集合的運(yùn)算求參（共6小題）（重點(diǎn)） 17考點(diǎn)14由集合的運(yùn)算確定集合(共3小題) 21考點(diǎn)15Venn圖及其應(yīng)用（共3小題） 22考點(diǎn)16容斥原理及其應(yīng)用（共3小題）（難點(diǎn)） 24考點(diǎn)17與集合有關(guān)的數(shù)學(xué)文化題(共3小題) 26考點(diǎn)18與集合有關(guān)的探究問題（共4小題）（難點(diǎn)） 27考點(diǎn)19集合新定義題（共5小題）（難點(diǎn)） 30考點(diǎn)01集合的概念（共3小題）1．（24-25高一上·廣西南寧·期中）下列對象能組成集合的是（

）A．非常接近0的數(shù) B．身高很高的人C．絕對值為5的數(shù) D．著名的數(shù)學(xué)家【答案】C【分析】借助集合中元素的性質(zhì)逐項(xiàng)判定即可得.【詳解】A、B、D選項(xiàng)都違背了集合中元素的確定性，故A、B、D錯誤；對C：絕對值為5的數(shù)有5或，符合集合的概念，故C正確.故選：C.2．(多選)（24-25高一上·江西景德鎮(zhèn)·期中）下列說法正確的有（

）A．某校高一年級視力差的學(xué)生可以構(gòu)成一個集合B．集合與集合是相同的集合C．由，，，，這些數(shù)組成的集合有4個元素D．在平面直角坐標(biāo)系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限內(nèi)所有的點(diǎn)組成的點(diǎn)集，可以表示成集合【答案】CD【分析】A選項(xiàng)：集合中元素需要具備確定性，而視力差標(biāo)準(zhǔn)不確定；B選項(xiàng)：點(diǎn)集和數(shù)集無法相等；C選項(xiàng)：集合中相同的元素算做1個；D選項(xiàng)：可以判斷出和異號.【詳解】對于選項(xiàng)A，視力差標(biāo)準(zhǔn)不確定，所以某校高一年級視力差的學(xué)生不能構(gòu)成集合，故選項(xiàng)A錯誤，對于選項(xiàng)B，其中集合是數(shù)集，集合是點(diǎn)集，所以集合與集合不是同一集合，故選項(xiàng)B錯誤，對于選項(xiàng)C，因?yàn)?，由集合中元素的互異性知這些數(shù)組成的集合有4個元素，所以選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，因?yàn)榈诙虻谒南笙迌?nèi)的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)異號，即，所以第Ⅱ象限或第Ⅳ象限內(nèi)所有的點(diǎn)組成的點(diǎn)集，可以表示成集合，故選D正確，故選：CD.3．(多選)（24-25高一上·江蘇徐州·期中）下列說法正確的是（）A．由組成的集合可表示為或B．與是同一個集合C．集合與集合是同一個集合D．集合與集合是同一個集合【答案】AD【分析】根據(jù)集合的定義和元素的性質(zhì)可判斷AB的正誤，對于CD，可計(jì)算出各自集合后判斷其正誤.【詳解】對于A，根據(jù)集合元素的無序性可得、表示同一集合，元素有，故A正確.對于B，不是空集，故B錯誤.對于C，，而，故兩個集合不是同一個集合，故C錯誤.對于D，，故D正確.故選：AD.考點(diǎn)02判斷元素與集合的關(guān)系（共4小題）4．（24-25高一上·湖南邵陽·期中）下列關(guān)系中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用元素與集合之間的關(guān)系對選項(xiàng)逐一判斷可得結(jié)果.【詳解】易知為有理數(shù)，可得，即A正確；易知，即B錯誤；而0不是正整數(shù)，所以，即C錯誤；顯然不是整數(shù)，即，可得D錯誤；故選：A5．（24-25高一上·上海·期中）以下選項(xiàng)中，是集合的元素的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】逐個驗(yàn)證即可.【詳解】對于A：滿足，對于B:，錯誤；對于C:，錯誤；對于D:，錯誤；故選：A6．(多選)（24-25高一上·山西大同·階段練習(xí)）下列關(guān)系不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】A由元素與集合關(guān)系可判斷選項(xiàng)正誤；B由空集定義可判斷選項(xiàng)正誤；C由N定義可判斷選項(xiàng)正誤；D由Q定于可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)閍是集合中的元素，所以，所以選項(xiàng)A錯誤；選項(xiàng)B：因?yàn)槭侨魏渭系淖蛹?，所以選項(xiàng)B錯誤；選項(xiàng)C：因?yàn)镹中含有元素0，1，而且還有其他元素，所以，所以選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：因?yàn)槭菬o理數(shù)，而Q是有理數(shù)集，所以，所以選項(xiàng)D錯誤；故選：ABD．7．（24-25高一上·河南信陽·期中）已知集合為非零常數(shù)，則下列不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分，；，或，異號，進(jìn)行求值，即可得解.【詳解】若，時，；若，時，；若，異號時，．故選：A考點(diǎn)03由元素與集合的關(guān)系求參（共3小題）8．（24-25高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）集合中的不能取的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)集合的互異性，即可求解.【詳解】由集合的互異性可知，，或，或，得，或，或，故選：C9．（24-25高一上·山東威海·期中）已知集合，若，則.【答案】14【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系得解.【詳解】因?yàn)椋?，所以?dāng)時，，,不滿足集合中元素的互異性，舍去；當(dāng)時，，符合題意.故答案為：1410．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，則實(shí)數(shù).【答案】【分析】由已知集合的元素，分類討論求參數(shù)值，再根據(jù)集合的性質(zhì)確定的值.【詳解】若，則，此時集合違背互異性，不符合要求；若，則，此時，符合要求；若，則，此時集合違背互異性，不符合要求；綜上所述，.故答案為：.考點(diǎn)04集合的表示方法（共4小題）11．（24-25高一上·遼寧·階段練習(xí)）方程組的解集為.【答案】【分析】解原方程組，可得其解集.【詳解】解方程組得，故原方程組的解集為.12．（24-25高一上·山東菏澤·期中）已知集合，則【答案】【分析】根據(jù)集合描述，應(yīng)用列舉法表示集合即可.【詳解】因?yàn)榛蚧?，所?13．（24-25高一上·天津?qū)幒印て谥校┯昧信e法表示下列集合：大于1且小于6的整數(shù)．．【答案】【分析】利用集合的描述法與列舉法求解即可.【詳解】因?yàn)榇笥?且小于6的整數(shù)包括2，3，4，5，所以該集合為.故答案為：14．（24-25高一上·上海黃浦·期中）用描述法表示圖中陰影部分（包括邊界）為．【答案】且．【分析】根據(jù)描述法的定義求解．【詳解】用描述法表示圖中陰影部分（包括邊界）為：且．考點(diǎn)05求集合中元素的個數(shù)（共3小題）15．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，則中的元素個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】利用集合中元素的互異性，對的取值進(jìn)行分類討論即可.【詳解】由題意，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由集合中元素滿足互異性，所以.故選：B.16．（24-25高一上·浙江杭州·期中）設(shè)集合，則中元素的個數(shù)為【答案】4【分析】根據(jù)列舉法，寫出集合中元素，即可得出結(jié)果.【詳解】將滿足的整數(shù)對列舉出來，有（0,0）,（1,0）,（1,1）,（0,1），共4個.故答案為：417．（24-25高一上·河南·期中）若集合，則的元素個數(shù)為.【答案】4【分析】由集合的描述法可得結(jié)果.【詳解】由題意得，所以的元素個數(shù)為4.考點(diǎn)06根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參（共3小題）18．（24-25高一上·上?！て谥校┤艏现缓幸粋€元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】對進(jìn)行分類討論，由此求得正確答案.【詳解】當(dāng)時，，符合題意.當(dāng)時，.綜上所述，的取值范圍是.19．（24-25高一上·湖南邵陽·期中）已知集合，若中只有一個元素，則的值構(gòu)成的集合為．【答案】【分析】根據(jù)題意分情況討論即可求得結(jié)果，當(dāng)時，滿足題意；時，只需讓判別式等于零即可.【詳解】當(dāng)時，解得，滿足題意；當(dāng)時，此時，解得，所以的值構(gòu)成的集合為，20．（24-25高一上·四川內(nèi)江·期中）已知集合．(1)若，求的值；(2)若中只有一個元素，求的取值范圍；(3)若中至多有一個元素，求的取值范圍．【答案】(1)(2)或時，(3)或【分析】（1）將代入方程中即可求解，（2）（3）將問題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于的方程解的問題，分類討論二次項(xiàng)系數(shù)的值，結(jié)合二次方程根與判別式的關(guān)系，即可得到答案．【詳解】（1）由于，所以是的實(shí)數(shù)根，故，故（2）當(dāng)時，原方程變?yōu)?，此時，符合題意；當(dāng)時，方程為一元二次方程，，即時，原方程的解為，符合題意．故當(dāng)或時，原方程只有一個解，此時只有一個元素．（3）若中最多有一個元素，則中可能無任何元素，或者只有一個元素，由（1）知當(dāng)時只有一個元素，當(dāng)時，方程為一元二次方程，，即時，為空集；，即時，方程有兩個相等的根，中有一個元素．中最多有一個元素，或考點(diǎn)07求集合的子集（真子集）（共3小題）21．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，則集合可用列舉法表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)子集關(guān)系分析求解即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以.故選：D.22．（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和為（

）A．126 B．128 C．130 D．132【答案】B【分析】根據(jù)子集概念分析即可求解.【詳解】，集合的所有子集有：，，1，3，5，7分別在子集中各出現(xiàn)8次，.故選：B．23．（24-25高一上·廣西南寧·期中）寫出集合的所有子集和真子集.【答案】答案見解析【分析】借助子集的概念與真子集的概念逐項(xiàng)列出即可得.【詳解】的子集有：、、、、、、、；的真子集有：、、、、、、.考點(diǎn)08集合中子集（或真子集）的個數(shù)問題（共4小題）24．（24-25高一上·江蘇常州·期中）滿足?的集合A的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)集合之間的關(guān)系直接得出結(jié)果.【詳解】集合A可以是，共3個.故選：B.25．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）集合的子集個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】先用列舉法寫出集合，得出元素個數(shù)，再利用公式計(jì)算其子集個數(shù).【詳解】由已知得集合，共有3個元素，所以其子集個數(shù)為.故選：D.26．（24-25高一上·廣東廣州·期中）已知集合，若，若集合是的子集且有兩個元素，則．【答案】或或【分析】首先根據(jù)，求出參數(shù)的值；然后再根據(jù)子集的概念求解集合即可【詳解】由于，所以或，解得：或；當(dāng)時，不滿足元素的互異性，故舍去；當(dāng)時，滿足題意.又因?yàn)榧鲜羌系淖蛹矣袃蓚€元素，所以或或.故答案為：或或.27．（24-25高一上·上?！て谥校┮阎锨∮袃蓚€子集，則實(shí)數(shù)取值集合為.【答案】【分析】分析可知有一個不等于3的實(shí)數(shù)解，分類討論最高項(xiàng)系數(shù)以及根的個數(shù)，運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可知：方程有且僅有一解，等價于有一個不等于3的實(shí)數(shù)解，1.當(dāng)時，解為，滿足題意；2.當(dāng)時，只有一解時，則，解得，若，則，解得，符合題意；3.當(dāng)時，且有兩解但3是方程的解，故，解得；綜上所述，實(shí)數(shù)取值集合為.考點(diǎn)09判斷兩個集合的關(guān)系（共4小題）28．（24-25高一上·貴州貴陽·期中）已知集合，，則（

）A． B． C． D．=【答案】A【分析】根據(jù)集合中的元素滿足的約束即可求解.【詳解】由，可知：集合是由所有的奇數(shù)構(gòu)成的集合，而集合中的元素是的倍數(shù)，故，故選：A.29．（24-25高一上·福建·期中）集合，，的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合包含關(guān)系的定義和集合相等的定義判斷即可.【詳解】根據(jù)集合的概念可知集合表示所有被除余的數(shù)以及所構(gòu)成的集合，集合表示所有被除余的數(shù)所構(gòu)成的集合，所以，集合表示所有被除余的數(shù)所構(gòu)成的集合，任取，則，，所以，，又，，所以，綜上，故選：A30．（多選）（24-25高一上·廣東陽江·期中）下列各組中M，N表示不同集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】ABC【分析】由兩集合相等定義可判斷集合是否相同.【詳解】A選項(xiàng)，為數(shù)集，為點(diǎn)集，則兩集合不同，故A正確；B選項(xiàng)，均為點(diǎn)集，但包含的元素不同，則兩集合不同，故B正確；C選項(xiàng)，為數(shù)集，表示射線上的點(diǎn)，則兩集合不同，故C正確；D選項(xiàng)，兩集合均表示全體奇數(shù)，故兩集合相同，故D錯誤.故選：ABC31．（多選）（24-25高一上·江蘇南京·期中）設(shè)集合，，，，則下列關(guān)系中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】分別求出集合，再利用集合之間的關(guān)系判斷即可.【詳解】由題意得，，，，我們先化簡集合，集合可化為，所以，故A正確，而點(diǎn)在直線上，則成立，故C正確，因?yàn)槭菙?shù)集，是點(diǎn)集，二者一定無交集，故成立，故D正確，因?yàn)槭菙?shù)集，是點(diǎn)集，二者一定無交集，故不成立，故B錯誤.故選：ACD考點(diǎn)10根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)（共3小題）32．（24-25高一上·廣東·期中）（多選）已知集合，，且是的真子集，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】化簡集合，分和兩種情況討論即可求.【詳解】由題意得，因?yàn)槭堑恼孀蛹?dāng)時，，得；當(dāng)時，，得，故的取值范圍為.故選：AD33．（24-25高一上·上海·期中）若集合，，且，則實(shí)數(shù)組成的集合是.【答案】【分析】計(jì)算集合，再分別求和時，的值即可.【詳解】由題意，，又，若，則，滿足題意；若，則，所以或.故答案為：.34．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式可求的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，所以的取值范圍?考點(diǎn)11根據(jù)集合相等求參數(shù)（共3小題）35．（24-25高一上·貴州貴陽·期中）已知集合，，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】由集合相等可得元素完全相等，得到或，又由元素的互異性即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，兩集合元素全部相等，得到或，又根據(jù)集合互異性，可知，解得舍去，所以解得，所以，故選：A36．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，則.【答案】【分析】根據(jù)題意利用集合中元素的互異性分類討論即可求得結(jié)果.【詳解】依題意可知，由于可知，此時，所以，解得或(舍去)即.37．（24-25高一上·安徽·期中）若，則．【答案】【分析】由為分母可得，再利用集合相等的性質(zhì)計(jì)算即可得解．【詳解】由題意可得，則，即，則，解得或，若，則違背集合元素的互異性，舍去；若，則有，符合要求；綜上所述，，則．故答案為：．考點(diǎn)12進(jìn)行集合的運(yùn)算（共6小題）38．（24-25高一上·湖南邵陽·期中）若，，則集合中元素的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由交集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以集合中元素的個數(shù)為.故選：.39．（24-25高一上·甘肅臨夏·期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，再由并集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，，則.故選：D.40．（25-26高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用集合的并集和補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】由可得：又由，可得，故選：C.41．（25-26高二上·浙江·開學(xué)考試）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用補(bǔ)集和交集運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】由，又因?yàn)?，所以，故選：B.42．（多選）（24-25高一上·全國·周測）已知集合，集合，則下列關(guān)系式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由一元一次不等式和一元二次不等式的解法分別求出集合A、B的元素，再進(jìn)行集合交、并、補(bǔ)的運(yùn)算得出答案.【詳解】集合，集合，對于A選項(xiàng)：，故A正確；對于B選項(xiàng)：，故B錯誤；對于C、D選項(xiàng)：，，故C正確；，故D正確．故選：ACD．43．（2025·四川巴中·二模）設(shè)集合，則.【答案】【分析】首先求解集合M，再根據(jù)補(bǔ)集概念得到答案.【詳解】對于方程，根據(jù)十字相乘法可得.則或，解得或，所以.因?yàn)?，所?考點(diǎn)13由集合的運(yùn)算求參（共6小題）44．（24-25高一上·海南儋州·期中）設(shè)，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．或C．或 D．【答案】A【詳解】根據(jù)交集的結(jié)果直接求出參數(shù)的取值范圍.【分析】因?yàn)?，且，所?故選：A.45．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由交集結(jié)果得出集合間的包含關(guān)系，由包含關(guān)系可得的不等關(guān)系，從而得的范圍.【詳解】由題意，在，中，，∴解得.故選：C.46．（多選）（24-25高一上·福建福州·期中）全集，，，，則下列判斷正確的有（

）A．B．或C．若，則或D．若，則或【答案】AD【分析】由已知可得集合，根據(jù)并集的定義即可判斷；先求解，再根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算即可判斷；由已知分和兩種情況分別列不等式求解即可判斷；先求解，再分和兩種情況分別列不等式求解即可判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故正確；因?yàn)?，所以或，故錯誤；因?yàn)?，?dāng)時，所以，即，當(dāng)時，所以或，解得或，綜上，的取值范圍是或，故錯誤；因?yàn)?，所以或，因?yàn)?，?dāng)時，所以，即，當(dāng)時，所以或，解得或，綜上，的取值范圍是或，故正確.故選：.47．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知集合，.(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用等價于，列式求解即可；（2）利用，等價于，列式求解即可.【詳解】（1），，因?yàn)?，所以，所以解得，故?shí)數(shù)的取值范圍為；（2），，因?yàn)椋?，?dāng)時，，解得，滿足題意；當(dāng)時，解集為，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.48．（24-25高一上·廣東深圳·期中）設(shè)集合，集合．(1)若，求和；(2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）先求出集合B，再根據(jù)交集和并集的定義計(jì)算即可；（2）由題設(shè)得，分和兩種情況分析計(jì)算即可得解.【詳解】（1）若，則，所以，.（2）因?yàn)?，所以，?dāng)時，滿足，此時；當(dāng)時，要使，則.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.49．（24-25高一上·天津南開·期中）已知全集為，集合或，.(1)若，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或；(2).【分析】（1）先求出當(dāng)時的集合，再根據(jù)補(bǔ)集和并集定義即可計(jì)算求解.（2）先由題意求得，接著求出，再分和兩種情況討論即可求解.【詳解】（1）若，則，所以或，又集合或，所以或.（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以?dāng)時符合題意，此時，即；當(dāng)時，要使，則，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.考點(diǎn)14由集合的運(yùn)算確定集合(共3小題)50．（2025·湖南長沙·二模）已知全集，，則集合（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得中的元素，再根據(jù)，，，即可求得結(jié)果.【詳解】全集，∴，又∵，∴，，∴集合．故選：C.51.（24-25高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）若全集，集合，，則集合（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)交并補(bǔ)集的運(yùn)算結(jié)果，結(jié)合選項(xiàng)依次驗(yàn)證即可判斷.【詳解】A：若，則，所以，與矛盾，故A錯誤；B：若，則，所以，與矛盾，故B錯誤；C：若，則，由，得，所以，與矛盾，故C錯誤；D：若，則，由，得，所以，故D正確.故選：D52．已知全集，若，則下列說法正確的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】A【分析】依題意畫出Venn圖表示出集合間的基本關(guān)系，即可判斷出元素與集合間的關(guān)系.【詳解】根據(jù)題意，畫出Venn圖如下圖所示：由圖可知，且，即A正確；顯然，可得B錯誤，，C錯誤，，可知D錯誤.故選：A考點(diǎn)15Venn圖及其應(yīng)用（共3小題）53．（24-25高一上·吉林長春·期末）已知集合，或，則圖中的陰影部分表示的集合為（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】由題可知圖中陰影部分表示，結(jié)合集合的交運(yùn)算、并運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意知，，，所以圖中陰影部分表示或.故選：A.54．（24-25高一上·江西南昌·階段練習(xí)）如圖，三個圓形區(qū)域分別表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八個部分所表示的集合，不正確的是（

）A．圖形I表示的集合為B．圖形Ⅲ表示的集合為C．圖形Ⅴ表示的集合為D．圖形Ⅷ表示的集合為【答案】D【分析】由集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得出答案.【詳解】圖形I表示的集合為；圖形Ⅱ表示的集合為；圖形Ⅲ表示的集合為；圖形Ⅳ表示的集合為；圖形Ⅴ表示的集合為；圖形Ⅵ表示的集合為；圖形Ⅶ表示的集合為；圖形Ⅷ表示的集合為．故選：D.55．（24-25高一上·福建泉州·期中）（多選）設(shè)全集為，集合，如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)和維恩圖的關(guān)系即可得到答案.【詳解】對A，由圖知，故A正確；對B，由圖知不是的子集，故B錯誤；對C，由圖知，故C正確；對D，由圖知，故D正確.故選：ACD.考點(diǎn)16容斥原理及其應(yīng)用（共3小題）56．（24-25高一上·重慶·期中）求精中學(xué)為豐富學(xué)生們的課余生活，開展了多種多樣的學(xué)生社團(tuán)活動，其中心理社，動漫社和地理社最受歡迎，高一某班有35名學(xué)生參加了這三個社團(tuán)，其中有19人參加了心理社，有16人參加了地理社，有15人參加了動漫社，有6人參加了心理社和地理社，有5人參加了地理社和動漫社，已知每人至少都參加了一個社團(tuán)，沒有人同時參加三個社團(tuán)，則只參加了一個社團(tuán)的同學(xué)有（

）人A．16 B．18 C．20 D．24【答案】C【分析】由題意，根據(jù)容斥原理，結(jié)合集合的運(yùn)算即可求解.【詳解】設(shè)心理社為A，地理社為B，動漫社為C，則，，得即，得，所以只參加一個社團(tuán)的人數(shù)共有.故選：C57．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同學(xué)讀過《牡丹亭》，有8名同學(xué)讀過《醒世恒言》，兩者都讀過的同學(xué)有4名，則該班學(xué)生中至少讀過《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的學(xué)生有（

）A．16人 B．18人 C．20人 D．24人【答案】A【分析】根據(jù)集合的容斥原理即可求解.【詳解】設(shè)集合“高三1班讀過《牡丹亭》的學(xué)生”，其元素個數(shù)記為；集合“高三1班讀過《醒世恒言》的學(xué)生”，其元素個數(shù)記為；則，則.故該班學(xué)生中至少讀過《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的學(xué)生有16人.故選：A.58．（24-25高一上·云南昆明·期中）（多選）某高中為了迎接國慶的到來，在國慶前一周舉辦了“迎國慶，向未來”的趣味運(yùn)動會，其中共有12名同學(xué)參加拔河、4人足球、羽毛球三個項(xiàng)目，其中有8人參加“拔河”，有7人參加“4人足球”，有5人參加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都參加的有4人，“拔河和羽毛球”都參加的有3人，“4人足球和羽毛球”都參加的有3人，則（

）A．三項(xiàng)都參加的有1人 B．只參加拔河的有3人C．只參加4人足球的有2人 D．只參加羽毛球的有4人【答案】BC【分析】應(yīng)用容斥原理求出三項(xiàng)都參加的同學(xué)人數(shù)，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)是參加拔河的同學(xué)，是參加4人足球的同學(xué)，是參加羽毛球的同學(xué)，則，，，又，，所以，所以三項(xiàng)比賽都參加的有2人，只參加拔河的有3人，只參加4人足球的有2人，只參加羽毛球的有1人．故選：BC考點(diǎn)17與集合有關(guān)的數(shù)學(xué)文化題(共3小題)59．（24-25高一上·福建漳州·期中）中國古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》下卷有題：“今有物，不知其數(shù).三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二.問：物幾何？”現(xiàn)有如下表示：已知，，，若，則下列選項(xiàng)中符合題意的整數(shù)為（

）A．23 B．68 C．128 D．233【答案】ACD【分析】依題意可知整數(shù)除以3余數(shù)為2，除以5余數(shù)為3，除以7余數(shù)為2；對選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可知，代表的是除以3余數(shù)為2，除以5余數(shù)為3，除以7余數(shù)為2的整數(shù)；對于A，可知，即A正確；對于B，可得，不合題意，即B錯誤；對于C，可得，即C正確；對于D，易知.可知D正確.故選：ACD60．（24-25高一上·重慶·期中）我國南北朝時期著名的數(shù)學(xué)家祖沖之算出圓周率的值在3.1415926和3.1415927之間，這比外國早了近千年．事實(shí)上，無理數(shù)．如果記小數(shù)點(diǎn)后第位上的數(shù)字為，則是關(guān)于的函數(shù)，記．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)給定信息求出函數(shù)的定義域、值域，再逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】依題意，，，顯然，，，AD正確，C錯誤；而小數(shù)點(diǎn)后第8位上的數(shù)字為5，因此，B正確.故選：ABD61．（24-25高一上·山東青島·期中）在數(shù)學(xué)漫長的發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中存在著神秘的“黑洞”現(xiàn)象，數(shù)學(xué)黑洞：無論怎樣設(shè)值，在規(guī)定的處理法則下，最終都將得到固定的一個值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一樣．目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的數(shù)字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡爾黑洞”、“自戀性數(shù)字黑洞”等．定義：若一個n位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的n次方和等于這個數(shù)本身，則稱這個數(shù)是自戀數(shù)．已知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合A，集合，則的非空子集個數(shù)為；【答案】31【詳解】，時，，，時，不等式化為，或，∴，所以或，又，所以，它的子集有32個，非空子集有31個，考點(diǎn)18與集合有關(guān)的探究問題（共4小題）62．（24-25高一·全國·課后作業(yè)）設(shè)非空集合S具有如下性質(zhì)：①元素都是正整數(shù)；②若，則．(1)請你寫出符合條件，且分別含有一個、二個、三個元素的集合S各一個．(2)是否存在恰有6個元素的集合S？若存在，寫出所有的集合S；若不存在，請說明理由．【分析】由S的性質(zhì)：，則，所以，即S的元素是和為10的正整數(shù)對，據(jù)此以及題目的要求推理構(gòu)思.【詳解】（1）若集合S中只有一個元素，則只需滿足，故，則，若集合S中有兩個元素，則符合條件，（答案不唯一）若集合S中有三個元素，則符合條件；（答案不唯一）（2）由于S中的元素是成對的，6個元素只要確定3個，另外的3個自然就確定了，因?yàn)?，所以三個不同的元素應(yīng)在1，2，3，4中選出（也可以在6,7,8,9中選出），選法有1,2,3；1,2,4；2,3,4；1,3,4；四種，所以一共有四個：或或或；63．（24-25高一上·遼寧錦州·階段練習(xí)）已知集合，.（1）若集合中有個元素，求實(shí)數(shù)不可以取的值的集合；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使，若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，或.【分析】（1）根據(jù)集合的并集運(yùn)算以及集合的互異性列出關(guān)于的不等式解出即可；（2）根據(jù)集合的包含關(guān)系得，結(jié)合互異性即可得結(jié)果.【詳解】（1），，有個元素，，，，，，，，不可以取的值的集合為.（2）若，則，由集合中元素的互異性知或或當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，.存在實(shí)數(shù)或，使.64．（24-25高一上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知全集，集合，.(1)若時，存在集合使得，求出這樣的集合；(2)是否存在集合，滿足?若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不能，請說明理由.【分析】（1）由題意，，再根據(jù)求解即可；（2）根據(jù)題意得到，分類討論與兩種情況，結(jié)合二次方程的解法即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時，，，又因?yàn)椋赃@樣的集合共有如下6個：.（2）由可得，結(jié)合，當(dāng)，即，時，，滿足題意，當(dāng)時，①若有兩個相等的實(shí)數(shù)根，即，則，此時，不滿足題意，②若有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，又，結(jié)合韋達(dá)定理可得兩根，故，此時，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.65．（24-25高一上·上?！て谥校┰O(shè)數(shù)集A由實(shí)數(shù)構(gòu)成，且滿足：若（且），則.(1)若，則A中至少還有幾個元素？(2)集合A是否為雙元素集合？請說明理由；(3)若A中元素個數(shù)不超過，所有元素的和為，且A中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合A中的元素.【答案】(1)兩個；(2)不是，理由見解析；(3).【分析】（1）利用給定的定義，依次計(jì)算即得.（2）由，求得A中其它元素，再判斷不相等即可.（3）由（2）中信息，可得，再結(jié)合已知列出方程求解即得.【詳解】（1）由，得，則，因此所以A中至少還有兩個元素為，.（2）不是雙元素集合．理由如下：由，得，則，而且，，即，，于是，由，得，則，因此集合A中至少有個元素，所以集合A不是雙元素集合．（3）由（2）知A中有三個元素為、、（且），且，依題意，A中除上述3個元素外，還有其它元素，設(shè)A中有一個元素為，則，，且，于是A中的元素為，且集合A中所有元素之積為，由A中有一個元素的平方等于所有元素的積，設(shè)或，解得或．此時，，，依題意，，整理得，即，解得或或，所以集合A中的元素為.考點(diǎn)19集合新定義題（共3小題）66．（25-26高一上·上海·開學(xué)考試）定義一種集合運(yùn)算nand為：或，設(shè)全集為，給定集合與，則僅使用nand運(yùn)算和、、，①可以表示；②可以表示.則下列說法正確的是（

）A．①正確，②錯誤 B．①②都正確C．①②都錯誤 D．①錯誤，②正確【答案】B【分析】利用集合新運(yùn)算把問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來求解.【詳解】或，或，或，或，①正確；或且，②正確.故選：B67．（25-26高一上·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）已知集合，，定義集合，則中有個元素．【答案】99【分析】先確定集合，的元素個數(shù)，再確定、的取值情況，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，則，所以中的元素有:共9個；又因?yàn)?，所以，所以中共有個元素；又因?yàn)椋?，，所以，?1種可能；，共9種可能，所以中有個元素.68．（25-26高一上·河南鶴壁·階段練習(xí)）設(shè)是非空數(shù)集，若對任意，都有，則稱集合為一個“完美集”，給出以下命題：①若是一個“完美集”，且，則也為“完美集”；②若、都是“完美集”，且，則也是“完美集”；③若是“完美集”，則可以是有限集；④若、都是“