PAGE1NUMPAGES38專題02指數(shù)函數(shù)教學(xué)目標(biāo)1.指數(shù)函數(shù)的基本概念、圖象與性質(zhì)；2.體會(huì)研究一個(gè)函數(shù)的基本方法.教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的基本概念、圖象與性質(zhì)；2.難點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用．知識(shí)點(diǎn)01指數(shù)函數(shù)的概念（重點(diǎn)）(1)一般地，函數(shù)y=(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.

(2)指數(shù)函數(shù)y=(a>0,且a≠1)解析式的結(jié)構(gòu)特征：

①的系數(shù)為1;

②底數(shù)a是大于0且不等于1的常數(shù).【即學(xué)即練】1.（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義即可判斷.【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義形如且為指數(shù)函數(shù)判斷：對于A：為冪函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B：中不能作為底數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C：中系數(shù)不為1，故C錯(cuò)誤；對于D：是指數(shù)函數(shù)，故D正確；故選：D2.（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則．【答案】4【分析】由指數(shù)函數(shù)定義可得答案.【解析】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)，則，由，可得或，綜上，.知識(shí)點(diǎn)02指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)（重點(diǎn)）0<a<1a>1圖象性質(zhì)定義域R值域(0,+∞)過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)(0,1)，即當(dāng)x=0時(shí)，y=1單調(diào)性在(?∞,+∞)上是減函數(shù)在(?∞,+∞)上是增函數(shù)函數(shù)值的變化范圍當(dāng)x<0時(shí)，y>1當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1.當(dāng)x=0時(shí)，y=1當(dāng)x=0時(shí)，y=1當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1當(dāng)x>0時(shí)，y<1.【即學(xué)即練】1.已知，且的圖象如圖所示，則等于（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】由題中圖象知，函數(shù)過，，則，所以．又，所以（負(fù)值舍去），故，．故選2.（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，值域是．【答案】，【解析】由題意知，解得，所以定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以，所以?.（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）函數(shù)的定義域是．【答案】【分析】解不等式，可得出原函數(shù)的定義域.【解析】要使函數(shù)有意義，則，變形可得，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，故函數(shù)的定義域是.知識(shí)點(diǎn)03底數(shù)對指數(shù)函數(shù)圖象的影響（拓展）1.對函數(shù)值變化快慢的影響(1)當(dāng)a>1時(shí),指數(shù)函數(shù)y=ax是R上的增函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),底數(shù)a的值越大,函數(shù)圖象越“陡”,說明其函數(shù)值增長得越快.(2)當(dāng)0<a<1時(shí),指數(shù)函數(shù)y=ax是R上的減函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),底數(shù)a的值越小,函數(shù)圖象越“陡”,說明其函數(shù)值減少得越快.2.對函數(shù)圖象變化的影響指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與y=bx(b>0,且b≠1)的圖象的特點(diǎn):(1)若a>b>1,則①當(dāng)x<0時(shí),總有0<ax<bx<1;②當(dāng)x=0時(shí),總有ax=bx=1;③當(dāng)x>0時(shí),總有ax>bx>1.(2)若0<a<b<1,則①當(dāng)x<0時(shí),總有ax>bx>1;②當(dāng)x=0時(shí),總有ax=bx=1;③當(dāng)x>0時(shí),總有0<ax<bx<1.3.指數(shù)函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的規(guī)律在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大，指數(shù)函數(shù)圖象越靠近于y軸，這個(gè)規(guī)律可簡記為：底大圖高.如圖，①，②，③，④，則：又即：時(shí)，（底大冪大）時(shí)，【即學(xué)即練】1．若指數(shù)函數(shù)y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均為不等于1的正實(shí)數(shù)）的圖象如圖所示，則a、b、c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【答案】B【分析】】由題意，做出直線x＝1，結(jié)合圖象可得結(jié)論．【解析】對于指數(shù)函數(shù)y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均為不等于1的正實(shí)數(shù)）的圖象，做出直線x＝1，結(jié)合圖象可得，直線x＝1和指數(shù)函數(shù)y＝ax，y＝bx，y＝cx的圖象的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為a、b、c，且c＞a＞b，故選B．2．如圖是指數(shù)函數(shù)①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小是（）A．a(chǎn)＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．a(chǎn)＜b＜1＜d＜c D．1＜a＜b＜c＜d【答案】B【分析】作直線x＝1，根據(jù)直線x＝1與四個(gè)指數(shù)函數(shù)圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可判斷出a，b，c，d的大小關(guān)系．【解析】作直線x＝1與四個(gè)指數(shù)函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），由圖象可知縱坐標(biāo)的大小關(guān)系為0＜b＜a＜1＜d＜c，故選B．題型01判斷函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)【典例1】（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義即可判斷.【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義形如且為指數(shù)函數(shù)判斷：對于A：為冪函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B：中不能作為底數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C：中系數(shù)不為1，故C錯(cuò)誤；對于D：是指數(shù)函數(shù)，故D正確；故選：D判斷一個(gè)函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù)的方法牢記指數(shù)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式必須是y=a(1)整個(gè)指數(shù)冪的系數(shù)必須是1或者可以通過指數(shù)冪的運(yùn)算化簡成1;(2)底數(shù)的范圍：a>0且a≠1．【變式1-1】（24-25高一下·貴州六盤水·期末）下列圖象中，有可能表示指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)來逐一分析選項(xiàng).【解析】指數(shù)函數(shù)的一般形式為（且），其具有以下性質(zhì)：定義域?yàn)?，值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.圖象恒過點(diǎn).觀察圖象可知，D有可能是指數(shù)函數(shù)圖象.故選：D【變式1-2】（24-25高一上·湖南·階段練習(xí)）“”是“為指數(shù)函數(shù)”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，是指數(shù)函數(shù)；若是底數(shù)為的指數(shù)函數(shù)．則，且，解得，故“”是“為指數(shù)函數(shù)”的充分不必要條件．故選：C.題型02已知函數(shù)為指數(shù)函數(shù)求參【典例2】（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則．【答案】4【分析】由指數(shù)函數(shù)定義可得答案.【解析】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)，則，由，可得或，綜上，.已知函數(shù)為指數(shù)函數(shù)求參問題求解策略先由指數(shù)冪的系數(shù)為1，解出參數(shù)的值，而后通常利用a>0且a≠1或函數(shù)的單調(diào)性等其他性質(zhì)來舍去其中一個(gè)值.【變式2-1】（24-25高二下·福建泉州·期末）若指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值為.【答案】3【分析】將點(diǎn)代入函數(shù)解析式計(jì)算即可求解.【解析】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得.【變式2-2】（24-25高一上·廣東湛江·階段練習(xí)）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則的值不可以是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由指數(shù)函數(shù)的定義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，即可得出實(shí)數(shù)的值.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是指數(shù)函數(shù)，則，解得.故選：ACD.【變式2-3】（22-23高一上·云南紅河·階段練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)，則的值為.【答案】27【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義求得，進(jìn)而代入求解即可.【解析】因?yàn)闉橹笖?shù)式，則，解得或，又因?yàn)榍?，可得，即，所?故答案為：27.題型03求指數(shù)函數(shù)的解析式【典例3】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若指數(shù)函數(shù)fx的圖象過點(diǎn)4,81，則fx的解析式為（A．fx=xC．fx=1【答案】B【分析】設(shè)fx=ax，（a>0且【解析】設(shè)fx=ax，（因?yàn)楹瘮?shù)fx的圖象過點(diǎn)4,81，則f4=所以fx故選：B.求指數(shù)函數(shù)的解析式的方法對于這類問題，一般利用待定系數(shù)法設(shè)出函數(shù)的解析式為fx=ax（【變式3-1】（24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí)）若指數(shù)函數(shù)fx的圖象過點(diǎn)3,8，則fx的解析式為（A．fx=x B．fx=x1【答案】C【解析】設(shè)fx=axa>0則a3=8，得a=2，所以故選：C.【變式3-2】（2025高一·全國·專題練習(xí)）若指數(shù)函數(shù)fx的圖象過點(diǎn)3,8，則f2=【答案】4【解析】設(shè)fx=ax（a>0且解得a=2，故fx=2題型04根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象判斷參數(shù)的取值范圍【典例4】（24-25高二下·河北石家莊·期末）若函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則一定有（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，列出關(guān)于和的不等式組，進(jìn)而求解和的取值范圍.【解析】已知函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，說明函數(shù)單調(diào)遞減，所以可得指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)，則函數(shù)過定點(diǎn)，即因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，如圖所示，所以該函數(shù)與軸的交點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，即綜上分析，可得故選：C.根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象判斷參數(shù)的取值范圍先由題干畫出大致圖象，通常將其與標(biāo)準(zhǔn)的指數(shù)函數(shù)進(jìn)行比較，再利用圖象平移變換及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的結(jié)論從而得出答案.【變式4-1】（24-25高一上·上?！て谀┖瘮?shù)（，且）單調(diào)遞增且圖象不經(jīng)過第四象限，則、滿足的條件為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限，判斷a，b的范圍.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)(且)單調(diào)遞增，所以，圖象不經(jīng)過第四象限，則當(dāng)時(shí)，，所以，，故選：B.【變式4-2】函數(shù)的圖象如圖所示，其中，為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，根據(jù)得到.【解析】由于的圖象單調(diào)遞減，所以，又，所以，即，.故選：D．題型05指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題【典例5】（24-25高二下·河北·期末）函數(shù)（，且）的圖象恒過點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用，令，得，將代入函數(shù)中計(jì)算即可求得函數(shù)的圖象恒過點(diǎn).【解析】根據(jù)題意，函數(shù)中，令，得，將代入函數(shù)可得，即函數(shù)的圖象恒過點(diǎn).故選：A指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題求解策略利用a0【變式5-1】（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）函數(shù)（，且）的圖象過定點(diǎn)．【答案】【分析】根據(jù)，可得指數(shù)型函數(shù)定點(diǎn).【解析】令得，此時(shí)，故函數(shù)（，且）的圖象過定點(diǎn)．【變式5-2】已知函數(shù)恒過定點(diǎn)，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】函數(shù)恒過定點(diǎn)，，解得，，在上為遞增的奇函數(shù)，其圖象經(jīng)過第一第三象限及坐標(biāo)原點(diǎn)，的圖象不經(jīng)過第四象限．故選：D．題型06指數(shù)函數(shù)的圖象識(shí)別問題【典例6】我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究過程中，常用函數(shù)圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也經(jīng)常用函數(shù)解析式來分析函數(shù)的圖象特征，函數(shù)在的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)函數(shù)在上，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，又因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，排除C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，排除D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以A不正確，B正確.故選：B.指數(shù)型函數(shù)圖象的識(shí)別策略對于這類問題，可從特殊點(diǎn)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性等角度入手，結(jié)合排除法求解，同時(shí)由于函數(shù)涉及到了指數(shù)函數(shù)，故往往還需考慮底數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系．【變式6-1】函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，且定義域?yàn)镽，故為奇函數(shù)，排除B、D；時(shí)，都趨向于，且增長快于，所以趨向于0，排除C.故選：A【變式6-2】函數(shù)y=2x2-e|x|在[-2,2]的圖象大致為()【答案】D.【解析】當(dāng)x=2時(shí),y=8-e2∈(0,1),排除A,B;易知函數(shù)y=2x2-e|x|為偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,2]時(shí),y=2x2-ex,求導(dǎo)得y'=4x-ex,當(dāng)x=0時(shí),y'<0,當(dāng)x=2時(shí),y'>0,所以存在x0∈(0,2),使得y'=0,故選D.【點(diǎn)撥】對于函數(shù)圖象的識(shí)別題，一般首選排除法，即通過函數(shù)的性質(zhì)（尤其是奇偶性和單調(diào)性）及取特殊點(diǎn)的策略排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，從而得到正解.題型07指數(shù)型函數(shù)圖象的變換問題【典例7-1】利用函數(shù)的圖象，作出下列各函數(shù)的圖象(l)f(x-1)；（2）f(|x|）；(3)f(x)-1;(4)-f(x);(5)|f(x)-1|.【分析】（1）將f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位；（2）保留f(x)在y軸右方圖象，并對稱至左邊;(3)將f(x)的圖象向下平移1個(gè)單位;(5)-f(x)與f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱;(5)先作出函數(shù)f(x)-1的圖象，再將x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸的上方.【解析】利用指數(shù)函數(shù)的圖象及變換作圖法可作所要作的函數(shù)圖象,其圖象如下：【點(diǎn)撥】利用平移變換作函數(shù)圖象時(shí),要明確平移方向及平移的單位長度;而利用對稱法作函數(shù)圖象時(shí),要明確對稱軸是哪條直線,點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)有何關(guān)系等.【典例7-2】（1）確定方程2x＝－x2＋2的根的個(gè)數(shù)．（2）若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|＋1(a>0且a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【分析】（1）將求方程的根的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)y=2x與y=－x2＋2圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題去求解；（2）根據(jù)條件確定直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|＋1圖象的位置關(guān)系，然后由位置關(guān)系建立不等式，進(jìn)而求得結(jié)果．【解析】根據(jù)方程的兩端分別設(shè)函數(shù)f(x)＝2x，g(x)＝－x2＋2.在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)＝2x與g(x)＝－x2＋2的圖象，如圖所示：由圖可以發(fā)現(xiàn)，二者僅有兩個(gè)交點(diǎn)，∴方程2x＝－x2＋2的根的個(gè)數(shù)為2.(2)當(dāng)a>1時(shí)，通過平移變換和翻折交換可得y＝|ax－1|＋1的圖象（如圖①所示）,則由圖可知1<2a<2，即eq\f(1,2)<a<1，與a>1矛盾；當(dāng)0<a<1時(shí)，同樣通過平移變換和翻折變換可得y＝|ax－1|＋1的圖象（如圖②所示），則由圖可知1<2a<2.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\f(1,2)<a<1.【點(diǎn)撥】(1)對于一些較為復(fù)雜的方程的根的個(gè)數(shù)問題，往往轉(zhuǎn)化為某兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題去求解.(2)對于第(2)題，要注意底數(shù)的不確定性，因此作圖時(shí)要分類討論.指數(shù)型函數(shù)圖象的變換問題求解策略1.平移變換(a>0,且a≠1)把函數(shù)y＝ax的圖象向左平移φ(φ＞0)個(gè)單位，則得到函數(shù)y＝ax＋φ的圖象；若向右平移φ(φ＞0)個(gè)單位，則得到函數(shù)y＝ax－φ的圖象；若向上平移φ(φ＞0)個(gè)單位，則得到y(tǒng)＝ax＋φ的圖象；若向下平移φ(φ＞0)個(gè)單位，則得到y(tǒng)＝ax－φ的圖象．即“左加右減，上加下減”．2.對稱變換(a>0,且a≠1)函數(shù)y＝a－x的圖象與函數(shù)y＝ax的圖象關(guān)于y軸對稱；函數(shù)y＝－ax的圖象與函數(shù)y＝ax的圖象關(guān)于x軸對稱；函數(shù)y＝－a－x的圖象與函數(shù)y＝ax的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；函數(shù)y＝a|x|的圖象關(guān)于y軸對稱．【變式7-1】為了得到函數(shù)y=9×3x+5的圖象,可以把函數(shù)y=3x的圖象()A.先向左平移9個(gè)單位長度,再向上平移5個(gè)單位長度B.先向右平移9個(gè)單位長度,再向下平移5個(gè)單位長度C.先向左平移2個(gè)單位長度,再向上平移5個(gè)單位長度D.先向右平移2個(gè)單位長度,再向下平移5個(gè)單位長度【答案】C【解析】∵y=9×3x+5=3x+2+5,∴把函數(shù)y=3x的圖象先向左平移2個(gè)單位長度,再向上平移5個(gè)單位長度,可得到函數(shù)y=9×3x+5的圖象,故選C.【變式7-2】根據(jù)函數(shù)f(x)=12x的圖象,作出函數(shù)g(x)=【分析】通過對稱變換得到圖象，再求其性質(zhì).【解析】因?yàn)間(x)=12x(保留y軸上及其右邊部分,再作其關(guān)于y軸對稱的圖象即可得到左邊部分,合起來就可得到函數(shù)g(x)=12題型08求指數(shù)（型）函數(shù)的定義域【典例8】（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）求下列函數(shù)的定義域與值域(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和分母不為0進(jìn)行求解即可.（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義域和性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解析】（1）由，得，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，．的值域?yàn)椋?）函數(shù)的定義域?yàn)椋实闹涤驗(yàn)椋笾笖?shù)（型）函數(shù)的定義域方法(1)y＝af(x)(a>0，且a≠1)的定義域與函數(shù)y＝f(x)的定義域相同．(2)y＝f(ax)的定義域與函數(shù)y＝f(x)的定義域不一定相同．例如，函數(shù)f(x)＝eq\r(x)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，而f(x)＝eq\r(ax)的定義域則為R.求y＝f(ax)的定義域時(shí)，應(yīng)通過復(fù)合函數(shù)的定義，由f(x)的定義域與g(x)＝ax的值域的等價(jià)性，建立關(guān)于x的不等式，利用指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求解．【變式8-1】（24-25高一上·河南·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)被開方式大于等于0求解定義域，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式.【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，則函數(shù)，即，所以.故選：C【變式8-2】（24-25高一上·四川成都·期中）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分母不為零、交集思想進(jìn)行求解即可.【解析】函數(shù)的定義域滿足，解得且．則函數(shù)定義域?yàn)?，故選：D題型09求指數(shù)(型)函數(shù)的值域【典例9】求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)y＝eq\r(1－2x)；(2)y＝2eq\s\up6(\f(1,x－1))；(3)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2－2x－3)；（4）y=4x【分析】首先要注意外層函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)的特征，然后利用指數(shù)函數(shù)的定義域、值域整體求解.【解析】(1)由1－2x≥0得2x≤1，∴x≤0.∴y＝eq\r(1－2x)的定義域?yàn)?－∞，0]．由0<2x≤1得－1≤－2x<0，∴0≤1－2x<1.∴y＝eq\r(1－2x)的值域?yàn)閇0，1)．(2)由x－1≠0得x≠1，∴函數(shù)y＝2eq\s\up6(\f(1,x－1))的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠1}．∵eq\f(1,x－1)≠0，∴2eq\s\up6(\f(1,x－1))≠1.∴y＝2eq\s\up6(\f(1,x－1))的值域?yàn)閧y|y>0且y≠1}．(3)定義域?yàn)镽.(11分)∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2－2x－3)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－4)＝16.又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2－2x－3)>0，∴函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2－2x－3)的值域?yàn)?0，16]．(4)y=4x+6·∴y=4x+6·令u=t2+6t+10,又u=t2+6t+10在(0,+∞)上是增函數(shù),∴u>10,∴y>10.∴函數(shù)的值域?yàn)閧y|y>10}.設(shè)t＝2x，則y＝t2＋2t＋2，∵x∈[－1，2]∴t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4)).又對稱軸為t＝－1，∴函數(shù)y＝t2＋2t＋2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))上為增函數(shù)，ymin＝eq\f(13,4)，ymax＝26，∴所求函數(shù)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(13,4)，26)).【點(diǎn)撥】(1)求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時(shí)，要充分考慮到用指數(shù)函數(shù)本身的要求，并利用好指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.(2)在引入新元后,一定要注意新元的范圍,否則會(huì)將所求的范圍擴(kuò)大(或縮小).如本題第(4)小題中,若不考慮t的范圍,就會(huì)得到值域?yàn)閇1,+∞)的錯(cuò)誤結(jié)果求指數(shù)（型）函數(shù)的值域的兩大策略(1)求y＝af(x)的值域時(shí)，先求函數(shù)y＝f(x)的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)y＝af(x)的值域．(2)求y＝f(ax)的值域時(shí)，可用換元法求解，但換元后應(yīng)注意引入的新變量的取值范圍【變式9-1】（24-25高一上·廣東深圳·期末）將函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.【解析】由于，故且，故函數(shù)的值域?yàn)?，【變?-2】（24-25高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）已知函數(shù)y=fx，其中.(1)求，并計(jì)算的值；(2)作出該函數(shù)的圖象，并求函數(shù)y=fx【分析】（1）直接代入式子計(jì)算、即可；（2）結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)分離常數(shù)法求函數(shù)值域，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性作出的圖象.【解析】（1），；（2）由（1）知，x∈R，，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，為增函數(shù)，因?yàn)?，所以，得函?shù)的值域?yàn)?1,1.的圖象如下圖，【變式9-3】（24-25高一上·西藏那曲·期末）已知函數(shù)．(1)若，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)求的值域．【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，結(jié)合二次不等式運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)分析可知，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求值域.【解析】（1）因?yàn)?，且在定義域R上單調(diào)遞增，則，解得，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為0,2.（2）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，且在定義域R上單調(diào)遞增，則，又因?yàn)?，所以的值域?yàn)?題型10判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【典例10】（24-25高二下·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果.【解析】函數(shù)中，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，而函數(shù)為減函數(shù)，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：A.判斷形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函數(shù)的單調(diào)性的方法利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，復(fù)合的兩個(gè)函數(shù)y＝au與u＝f(x)的單調(diào)性如果相同，則復(fù)合后的函數(shù)y＝af(x)在[m，n]上是增函數(shù)；如果兩者的單調(diào)性相反(即一增一減)，則復(fù)合函數(shù)y＝af(x)在[m，n]上是減函數(shù)．【變式10-1】（24-25高一下·河北保定·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．【答案】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求出減區(qū)間.【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：【變式10-2】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(1)y＝a－x2＋3x＋2(a>0且a≠1)；(2)y＝2eq\r(－x2＋2x＋3).【分析】本題考查與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，解題的關(guān)鍵是先確定指數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對(1)，要注意對a分類討論；對(2)，要注意其定義域．【解析】(1)設(shè)u＝－x2＋3x＋2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(17,4)，可知u在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上是增函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上是減函數(shù)．當(dāng)a>1時(shí)，y＝au在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上是增函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上是減函數(shù)；即當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y＝a－x2＋3x＋2的單調(diào)增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))，減區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝au在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上是減函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上是增函數(shù)．即當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y＝a－x2＋3x＋2的單調(diào)增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))，減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))).(2)∵－x2＋2x＋3≥0，x2－2x－3≤0，∴－1≤x≤3.∴函數(shù)的定義域?yàn)閇－1，3]．函數(shù)u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，其圖象的對稱軸為直線x＝1.∴u＝－x2＋2x＋3在[－1，1)上單調(diào)遞增，在[1，3]上單調(diào)遞減，∴函數(shù)y＝2eq\r(－x2＋2x＋3)在[－1，1)上單調(diào)遞增，在[1，3]上單調(diào)遞減，∴函數(shù)y＝2eq\r(－x2＋2x＋3)的單調(diào)增區(qū)間是[－1，1)，減區(qū)間是[1，3]．【點(diǎn)撥】一般情況下，兩個(gè)函數(shù)都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則其復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；如果兩個(gè)函數(shù)是一增一減，則其復(fù)合函數(shù)是減函數(shù)．但一定要注意考慮復(fù)合函數(shù)的定義域．題型11由指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性求參【典例11】（2025·山東濟(jì)寧·二模）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】是由與復(fù)合而成，先分析外層函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性確定內(nèi)層函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求出的取值范圍.【解析】是由與復(fù)合而成，在中，，，所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且外層函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，可知內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增.對于二次函數(shù)，其圖象開口向上，對稱軸為.二次函數(shù)在對稱軸右側(cè)單調(diào)遞增，要使在上單調(diào)遞增，則對稱軸需滿足，解得.故選：A.由指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性求參的方法這類問題其解決方法是換元法，通過換元，將問題轉(zhuǎn)化為外層函數(shù)或內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性問題，再根據(jù)“同增異減”列出關(guān)于參數(shù)的方程、不等式（組），解之即得所求.【變式11-1】（24-25高二下·廣東深圳·期末）若函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解即可.【解析】由題意知，函數(shù)（且）在上單調(diào)遞增，要使函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減，則，解得.故選：B.【變式11-2】（24-25高一下·云南·階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)，結(jié)合分段討論外函數(shù)單調(diào)性，再確定內(nèi)函數(shù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【解析】當(dāng)時(shí)，，所以外函數(shù)是單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，此時(shí)要使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，即滿足對稱軸，解得，結(jié)合，可得；當(dāng)時(shí)，，所以外函數(shù)是單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，此時(shí)要使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，即滿足對稱軸，解得，結(jié)合，可得；綜上可得a的取值范圍是或，故選：A.【變式11-3】（2025·重慶·三模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)單調(diào)性及分段函數(shù)單調(diào)性列式求解.【解析】依題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以的取值范圍是.故選：B題型12由指數(shù)(型)函數(shù)值域（最值）求參【典例12】（24-25高一上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）已知（且）是偶函數(shù).(1)求的值；(2)若在上的最大值比最小值大，求的值.【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義建立方程，根據(jù)方程恒成立得解；（2）分和兩種情況討論，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求最值即可得解.【解析】（1）若為偶函數(shù)，則恒成立，所以，即恒成立，解得.故的值為0.（2）由（1）可得（且）.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，解得.故的值為或.根據(jù)指數(shù)(型)函數(shù)的值域或最值求參的策略先討論指數(shù)(型)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性與值域（或最值）得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式（組），解之即得所求.【變式12-1】若函數(shù)（且）在區(qū)間上的最大值是4，最小值為m，且函數(shù)在內(nèi)是嚴(yán)格增函數(shù)，則.【答案】【分析】首先由一次函數(shù)的單調(diào)性得，再討論指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)最值求解參數(shù)的取值.【解析】若函數(shù)在內(nèi)是嚴(yán)格增函數(shù)，則，，若，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，最大值是4，最小值為m，所以，，解得，，不滿足，若，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，最大值是4，最小值為m，所以，，解得，，滿足，所以.【變式12-2】（24-25高一上·江蘇蘇州·期末）已知函數(shù)（且）在上的最大值與最小值之積等于8，設(shè)函數(shù).(1)求的值，并證明為奇函數(shù)；(2)若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【分析】（1）根據(jù)題意，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到，得出，再由函數(shù)奇偶性的定義和判定方法，即可求解；（2）根據(jù)題意，化簡得到，利用基本不等式，求得的最大值，結(jié)合題意，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上的最大值與最小值之積等于，解得，可得，則，其定義域?yàn)椋钟?，所以函?shù)為上的奇函數(shù).（2）解：由，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，因?yàn)閷愠闪ⅲ?，即，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.題型13解指數(shù)不等式【典例13】不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范圍是（）A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣2，2）【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式．【解析】因?yàn)?＜a＜1，所以由不等式ax﹣3＞a1﹣x可得：x﹣3＜1﹣x，解得：x＜2，所以原不等式中x的取值范圍是（﹣∞，2）．故選：C．指數(shù)不等式的三種求解方法(1)性質(zhì)法：解形如>的不等式，可借助函數(shù)y=的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況進(jìn)行討論.(2)隱含性質(zhì)法：解形如>b的不等式，可先將b轉(zhuǎn)化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助函數(shù)y=的單調(diào)性求解.(3)圖象法：解形如>的不等式.可利用對應(yīng)的函數(shù)圖象求解.【變式13-1】不等式(1A．（﹣2，4） B．（﹣∞，﹣2） C．（4，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）【答案】A【解析】∵(1∴x2﹣8＜2x，解得﹣2＜x＜4．故選：A．【變式13-2】已知a＞0，且a≠1，若函數(shù)y＝xa﹣1在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，則不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范圍是（）A．（﹣∞，?15） B．（?15C．（﹣∞，?15）∪（?15，+∞） 【答案】A【解析】依題意，a﹣1＜0，即0＜a＜1，所以函數(shù)y＝ax為R上的減函數(shù)，由a3x+1＞a﹣2x可得，3x+1＜﹣2x，解得x＜?1故選：A．【變式13-3】已知指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象過點(diǎn)（1，12（1）求函數(shù)y＝f（x）的解析式；（2）若不等式滿足f（2x+1）＞1，求x的取值范圍．【分析】（1）因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象過點(diǎn)（1，12（2）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可將f（2x+1）＞1化為：2x+1＜0，解得答案．【解析】（1）因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象過點(diǎn)（1，12所以a所以指數(shù)函數(shù)的解析式為y=(（2）由（1）得，f（2x+1）＞1等價(jià)于(因?yàn)楹瘮?shù)y=(所以2x+1＜0，解得x綜上，x的取值范圍是{x題型14比較指數(shù)冪的大小【典例14-1】（24-25高一上·天津·期中）已知，那么大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值比較大小.【解析】，故.故選：B【典例14-2】（24-25高一上·陜西寶雞·期中）設(shè)，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.【解析】易知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，又指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減函數(shù)，所以，即.于是.故選：B.比較冪的大小的方法(1)“底同”,利用單調(diào)性.當(dāng)?shù)讛?shù)相同、指數(shù)不同時(shí),構(gòu)造指數(shù)函數(shù),根據(jù)其單調(diào)性比較.(2)“指同”,分析圖形.當(dāng)指數(shù)相同、底數(shù)不同時(shí),分別畫出以兩冪底數(shù)為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)圖象，當(dāng)x取相同冪指數(shù)時(shí)可觀察出函數(shù)值的大小，也可構(gòu)造冪函數(shù),利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較.(3)“全不同”,尋求“參照物”.當(dāng)?shù)讛?shù)、指數(shù)都不相同時(shí),取與其中一底數(shù)相同與另一指數(shù)相同的冪與兩數(shù)比較,或借助“1”與兩數(shù)比較.【變式14-1】（24-25高一上·貴州·階段練習(xí)）若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式可構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性可得，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可得.【解析】由可得，令函數(shù)，易知在上單調(diào)遞增，由可得，即可得；因此，即.故選：A【變式14-2】（24-25高一上·福建福州·期中）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判定大小即可.【解析】易知，又定義域上單調(diào)遞減，，所以，易知單調(diào)遞增，，則，綜上.故選：A題型15指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【典例15】某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果成人按規(guī)定的劑量服用該藥，服藥后每毫升血液中的含藥量y（μg）與服藥后的時(shí)間t（h）之間近似滿足如圖所示的曲線．其中OA是線段，曲線段AB是函數(shù)y＝k?at（t≥1，a＞0，k，a是常數(shù)）的圖象．（1）寫出服藥后每毫升血液中含藥量y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)測定：每毫升血液中含藥量不少于2（μg）時(shí)治療有效，假若某病人第一次服藥為早上6：00，為保持療效，第二次服藥最遲是當(dāng)天幾點(diǎn)鐘？（3）若按（2）中的最遲時(shí)間服用第二次藥，則第二次服藥后再過3h，該病人每毫升血液中含藥量為多少μg？（精確到0.1μg）【分析】（1）由圖象知，0≤t＜1時(shí)函數(shù)的解析式是一個(gè)線段，再結(jié)合函數(shù)y＝k?at（t≥1，a＞0，k，a是常數(shù)）即可得到函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)（1）中所求出的解析式建立不等式y(tǒng)≥2，解此不等式計(jì)算出第二次吃藥的時(shí)間即可；（3）根據(jù)所求出的函數(shù)解析式分別計(jì)算出兩次吃藥的剩余量，兩者的和即為病人血液中的含藥量．【解析】（1）當(dāng)0≤t＜1時(shí)，y＝8t；當(dāng)t≥1時(shí)，把A（1，8）、B（7，1）代入y＝kat，得ka=8ka故y=（2）設(shè)第一次服藥后最遲過t小時(shí)服第二次藥，則t≥1（3）第二次服藥3h后，每毫升血液中含第一次服藥后的剩余量為：y1含第二次服藥量為：y2=82故該病人每毫升血液中的含藥量為4.7μg.指數(shù)型函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用指數(shù)型函數(shù)的模型可分為以下幾類：(1)指數(shù)增長模型．設(shè)原有產(chǎn)值為N，平均增長率為p，則經(jīng)過時(shí)間x后的產(chǎn)值y可以用y＝N(1＋p)x表示．(2)指數(shù)減少模型．設(shè)原有產(chǎn)值為N，平均減少率為p，則經(jīng)過時(shí)間x后的產(chǎn)值y可以用y＝N(1－p)x表示．(3)指數(shù)型函數(shù)．把形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)的函數(shù)稱為指數(shù)型函數(shù)，這是非常有用的函數(shù)模型．應(yīng)用指數(shù)型函數(shù)橫型解決實(shí)際問題時(shí)需注意的事項(xiàng)：(1)在利用指數(shù)增長(減少)模型解決實(shí)際問題時(shí)，要注意自變量x取值的確定要準(zhǔn)確．(2)對于指數(shù)型函數(shù)y＝kax，不僅要注意a的取值，還要注意k的符號(hào)對函數(shù)性質(zhì)的影響．(3)若原有量為N，每次的減少率為p，經(jīng)過x次減少，原有量減少到y(tǒng)，則y＝N(1－p)x(x∈N)．【變式15-1】牛奶保鮮時(shí)間因儲(chǔ)藏時(shí)溫度的不同而不同，假定保鮮時(shí)間與儲(chǔ)藏溫度間的關(guān)系為指數(shù)型函數(shù)，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鮮時(shí)間約是192h，而在22℃的廚房中則約是42h（1）寫出保鮮時(shí)間y（單位：h）關(guān)于儲(chǔ)藏溫度x（單位：℃）的函數(shù)解析式；（2）利用（1）中結(jié)論，指出溫度在30℃和16℃的保鮮時(shí)間（精確到1h）.【分析】（1）設(shè)y＝k?ax（k≠0，a＞0且a≠1），則利用牛奶放在0℃的冰箱中，保鮮時(shí)間約為192h，放在22℃的廚房中，保鮮時(shí)間約為42h，即可得出函數(shù)解析式；（2）x＝30°時(shí)，y＝192?（732）1511，x＝16°時(shí)，y＝192?（732【解析】（1）設(shè)y＝k?ax（k≠0，a＞0且a≠1），則有192=k∴k=192∴y＝192?（732）x（2）x＝30°時(shí)，y＝192?（732）15x＝16°時(shí)，y＝192?（732）1【變式15-2】已知某地區(qū)現(xiàn)有人口50萬．（1）若人口的年自然增長率為1.2%，試寫出人口數(shù)y（萬人）與年份x（年）的函數(shù)關(guān)系；（2）若20年后該地區(qū)人口總數(shù)控制在60萬人，則人口的年自然增長率應(yīng)為多少？（201.2【分析】（1）由于人口的年自然增長率為1.2%，由此即可得出人口數(shù)y（萬人）與年份x（年）的函數(shù)關(guān)系；（2）可直接設(shè)年人口自然增長率為p，即可得出50（1+p）20＝60，解此方向2即可得出人口的年自然增長率【解析】（1）x年后y＝50（1+1.2%）x．（2）設(shè)年人口自然增長率為p，因此有50（1+p）20＝60，即（1+p）20＝1.2．時(shí)解得1+p即人口年自然增長率為0.9%．練基礎(chǔ)1．（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）判斷函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．（，且）【答案】D【分析】由指數(shù)函數(shù)定義可判斷選項(xiàng)正誤.【解析】指數(shù)函數(shù)是指形如且的函數(shù).則四個(gè)選項(xiàng)中，只有D滿足條件.故選：D2．（2025高二上·云南·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)在上的最大值為（

）A． B． C．6 D．36【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求出最大值.【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在上的最大值為6.故選：C3．（24-25高二下·河南商丘·期末）若，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小.【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以．故選：D．4．（2025·北京海淀·一模）函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意只需要為定值即可，則，即可求得.【解析】令，則，則，所以函數(shù)的圖象一定過點(diǎn).故選：A.5．（24-25高一下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）若函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．1 C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)定義域?yàn)?，利用可求，再檢驗(yàn)即可.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，定義域?yàn)椋?，解得，時(shí)，，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，則.故選：C.6．（多選）（24-25高一上·湖北隨州·期末）下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵?/p>

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)二次函數(shù)、反比例函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷可得.【解析】對A，的值域?yàn)?，A錯(cuò)誤；對B，y=的值域?yàn)椋珺錯(cuò)誤；對C，的值域?yàn)椋珻正確；對D，的值域?yàn)?，D正確.故選：CD.7．（多選）（2025·湖南婁底·模擬預(yù)測）下列函數(shù)，其圖象平移后可得到函數(shù)的圖象的有（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】利用函數(shù)圖象變換依次判斷可得出結(jié)論.【解析】對于A，函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位長度可得到函數(shù)的圖象，故A正確；對于B，函數(shù)的圖象向上平移2個(gè)單位長度可得到函數(shù)的圖象，故B正確；對于C，函數(shù)的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍可得到函數(shù)的圖象，故C錯(cuò)誤；對于D，函數(shù)，其圖象向左平移個(gè)單位長度可得到函數(shù)的圖象，故D正確．故選：ABD8．（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖象一定過點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)求解.【解析】當(dāng)，即時(shí)，恒成立，所以函數(shù)恒過點(diǎn)．9．（2025高二下·浙江·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.【答案】或【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷可得答案.【解析】函數(shù)，令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由的，而在上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是或.10．（24-25高一上·北京·期中）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，其中且.(1)求的值：(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，即；（2），即，所以，，所以的范圍是．11．（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的定義域，判斷并證明的奇偶性；(2)用單調(diào)性定義證明函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)；(3)解不等式．【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性定義判斷證明；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、得到關(guān)于的不等式，解不等式即可得結(jié)果．【解析】（1）因?yàn)?，，函?shù)的定義域?yàn)?，，所?所以是定義在上的奇函數(shù).（2）任取，且，則，因?yàn)?，所以，又，所以，即，所以函?shù)在其定義域上是增函數(shù).（3）由，得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，所以．由（2）已證得函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，所以.所以不等式的解集為.練提升12．（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）下列關(guān)系中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將變形為，再利用指數(shù)函數(shù)在上的單調(diào)性即可得解.【解析】，又在上單調(diào)遞減，，，即．故選：B13．（24-25高三上·福建福州·階段練習(xí)）設(shè)集合，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得出集合，再應(yīng)用并集定義計(jì)算求解.【解析】因?yàn)榧?，則.故選：D.14．（24-25高一上·天津·階段練習(xí)）設(shè)集合，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解不等式化簡集合，再利用交集的定義求解.【解析】集合，，所以.故選：C15．（多選）（24-25高一下·河北石家莊·期中）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的定義域?yàn)锽．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】ABD【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)關(guān)于軸對稱定義、單調(diào)性的性質(zhì)逐一判斷即可.【解析】對A：由恒成立，故函數(shù)的定義域?yàn)?，故A正確；對B：，由，則，故，則，故B正確；對C：，故關(guān)于對稱，故C錯(cuò)誤；對D：，由且為增函數(shù)，則為減函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ABD.16．(多選)（24-25高一上·山東棗莊·期中）如圖，在不對某種病毒采取任何防疫措施的情況下，從疫情發(fā)生開始某地區(qū)感染人數(shù)y（千人）與時(shí)間x（周）的關(guān)系式為y=kax（a>0且a≠1），則下列說法中正確的有（

A．疫情開始后，該地區(qū)每周新增加的感染人數(shù)都相等B．隨著時(shí)間推移，該地區(qū)后一周新增加的感染人數(shù)會(huì)是前一周的2倍C．估計(jì)該地區(qū)感染人數(shù)翻一番所需時(shí)間只需1周D．根據(jù)圖象，估計(jì)疫情發(fā)生一個(gè)月后該地區(qū)感染人數(shù)會(huì)超過8000人【答案】BCD【分析】首先求函數(shù)的解析式，再結(jié)合選項(xiàng)，即可判斷選項(xiàng).【解析】由圖象可知，f1=1,f2=2，即所以y=1A.第三周，即x=3時(shí)，感染人數(shù)為y=4千人，所以第一周到第二周增加1千人，第二周到第三周增加4?2=2千人，故A錯(cuò)誤；B.由y=2x?1可知，第n周的感染人數(shù)為2n?1，則第n+1周的感染人數(shù)為2n，第則第n+1周新增感染人數(shù)為2n?2n?1=2n?1C.第一周是1千人，第二周是2千人，該地區(qū)感染人數(shù)翻一番所需時(shí)間只需1周，故C正確；D.第四周，即x=4時(shí)，感染人數(shù)y=8千人，所以估計(jì)疫情發(fā)生一個(gè)月后該地區(qū)感染人數(shù)會(huì)超過8000人，故D正確.故選：BCD.17．（2025·廣西·模擬預(yù)測）若函數(shù)，在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性列出不等式求解即得.【解析】由函數(shù)在R上是增函數(shù)，得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18．（24-25高一上·天津·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的值域；(2)若在恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)求出值域.（2）將給定不等式作等價(jià)變形并分離參數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合基本不等式求出最小值即可.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，由，得，則，因此，所以函數(shù)的值域是.（2），，由（1）知，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則，所以實(shí)數(shù)的范圍是.19．已知函數(shù)[來源:學(xué)#科#網(wǎng)](1)判斷函數(shù)的奇偶性并證明；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．【解析】(1)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，證明如下：∵x∈R，f(－x)＝eq\f(1－2－x,2－x＋1)＝eq\f(1－\f(1,2x),\f(1,2x)＋1)＝eq\f(2x－1,1＋2x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．(2)令2x＝t，則g(t)＝eq\f(1