27/28專(zhuān)題4.1函數(shù)的奇偶性教學(xué)目標(biāo)1.了解函數(shù)奇偶性的含義，掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法.2.了解奇偶性與函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性之間的關(guān)系.3.利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式，利用函數(shù)的奇偶性解有關(guān)函數(shù)不等式，利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)范圍.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：(1)掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法;(2)求與奇偶函數(shù)有關(guān)的函數(shù)解析式難點(diǎn)：處理與函數(shù)單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)相關(guān)的綜合問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)01函數(shù)奇偶性定義（易錯(cuò)）1.函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)2.重要結(jié)論判斷與的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．【易錯(cuò)警示】由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))．【即學(xué)即練】1.下列函數(shù)是偶函數(shù)且值域是的函數(shù)是（）A． B．C． D．2.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，下列說(shuō)法：①；②若在上有最小值，則在上有最大值；③若在上為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0B.1C.2D.3知識(shí)點(diǎn)02奇偶性函數(shù)的圖象特征（重點(diǎn)）1.奇函數(shù)的圖象特征如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)．2.偶函數(shù)的圖象特征如果一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以軸為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．【即學(xué)即練】1.已知偶函數(shù)與奇函數(shù)的定義域都是，它們?cè)冢系膱D象如圖所示，則使關(guān)于的不等式成立的的取值范圍為（）A．，， B．，，C．，， D．，，知識(shí)點(diǎn)03奇偶性函數(shù)的單調(diào)性（重點(diǎn)）根據(jù)奇、偶函數(shù)的圖象特征，可以得到：（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．上述結(jié)論可簡(jiǎn)記為．（2）偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的最大（?。┲?，取最值時(shí)的互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的最值互為，取最值時(shí)的自變量也互為．【即學(xué)即練】1.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)04函數(shù)奇偶性的性質(zhì)（拓展）1.兩個(gè)函數(shù)間奇偶性的關(guān)系，在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)2.函數(shù)奇偶性的兩個(gè)特殊結(jié)論(1)若奇函數(shù)在x=0處有定義，則；(2)若函數(shù)為，則【即學(xué)即練】1.（2024青海西寧·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2.（多選）設(shè)函數(shù)，的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)知識(shí)點(diǎn)05函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性（拓展）1．若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)．2．若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．3．若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)．4．若，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．【即學(xué)即練】1.（2024南寧三中?？家荒＃┮阎瘮?shù)，的定義域均為，且，，若為偶函數(shù)，且，則（

）A．5 B．4 C．3 D．0題型01一般函數(shù)奇偶性的判斷【典例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1);(2);(3)；(4).判斷函數(shù)的奇偶性的基本方法1.定義法:若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則可判斷函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù);若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則判斷f(-x)是否等于f(x)或-f(x).2.驗(yàn)證法:即在定義法的基礎(chǔ)上,驗(yàn)證f(-x)±f(x)=0、f(-3.圖象法:奇(偶)函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對(duì)稱(chēng),所以通過(guò)函數(shù)的圖象可直觀(guān)地看出函數(shù)的奇偶性.4.性質(zhì)法:偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù);奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù);一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù).【變式1-1】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2025·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的奇偶性是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．既奇又偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)題型02分段函數(shù)奇偶性的判斷【典例2】判定下列分段函數(shù)的奇偶性(1);(2)分段函數(shù)奇偶性的判斷對(duì)于分段函數(shù)的奇偶性的判定,首先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),其次要分段討論,注意要根據(jù)x的取值范圍選取相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.【變式2-1】判斷函數(shù)的奇偶性.【變式2-2】證明函數(shù)是奇函數(shù).題型03抽象函數(shù)奇偶性的判斷【典例3】（2025·河南開(kāi)封高一上聯(lián)考）已知函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都有成立，且.(1)分別求和的值；(2)判斷并證明函數(shù)的奇偶性．抽象函數(shù)奇偶性的判斷判定抽象函數(shù)f(x)的奇偶性時(shí)，因無(wú)具體的解析式，所以需要利用給定的函數(shù)方程式，對(duì)變量賦值，將其轉(zhuǎn)化為含有f(x)、f(-x)的式子,再判斷奇偶性.【變式3-1】（多選）（2024春·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是定義在上不恒為0的偶函數(shù)，是定義在上不恒為0的奇函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù) B．為奇函數(shù)C．為偶函數(shù) D．為偶函數(shù)【變式3-2】（2024全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，滿(mǎn)足：①；②任意的，，.（1）求的值；（2）判斷并證明函數(shù)的奇偶性.題型04利用奇偶性求解析式【典例4】（2025·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B． C． D．奇偶性求解析式分正負(fù)兩種情況去考慮,告訴一邊求另一邊,從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律．【變式4-1】（2025春·河北石家莊·高二正定中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式4-2】（2025秋·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求在上的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求的值域.題型05利用奇偶性求值【典例5-1】(2025·上海市川沙中學(xué)高一期末)若函數(shù)為偶函數(shù)，則_______________.【典例5-2】(2025·內(nèi)蒙古赤峰學(xué)院附屬中學(xué)高一期末)若函數(shù)在上是奇函數(shù)，則的解析式為_(kāi)_____．奇偶性求值根據(jù)題目特征，由奇偶性性質(zhì)，代入數(shù)字可以求值．【變式5-1】(2025·吉林長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則等于()A． B． C． D．【變式5-2】(2025·云南彌勒市一中高一月考)已知，其中為常數(shù)，若，則()A．－10 B．－2C．10 D．2【變式5-3】(2025·遼寧高一期末)已知函數(shù)，若，則____________．題型06利用奇偶性求參數(shù)【典例6-1】（2025·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為偶函數(shù)，則a=（

）A． B． C．1 D．2【典例6-2】（2025秋·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，則＝（

）A． B． C． D．奇偶性求參數(shù)根據(jù)題目特征，由奇偶性性質(zhì)，代入相關(guān)數(shù)字可以求參數(shù)．【變式6-1】（2025·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為偶函數(shù)，則a=（

）A． B． C．1 D．2【變式6-2】（2025·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，則＝（

）A． B． C． D．題型07利用奇偶性解不等式【典例7-1】（2025·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）為定義在上的偶函數(shù)，對(duì)任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【典例7-2】（2025·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對(duì)任意，且，有，若，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．利用奇偶性求參數(shù)判斷奇偶性，化不等式為對(duì)稱(chēng)區(qū)間形式，用單調(diào)性解，注意定義域，結(jié)合奇偶性變號(hào)規(guī)則?！咀兪?-1】（2024遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末）若偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式解集是（

）A． B．C． D．【變式7-2】（2024·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）定義在上的偶函數(shù)滿(mǎn)足：在上單調(diào)遞減，則滿(mǎn)足的解集________.【變式7-3】（2024廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知為上的偶函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為_(kāi)_____.題型08奇偶性與單調(diào)性的綜合【典例8-1】（(2025·浙江高一期末)下列函數(shù)中既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是()A． B． C． D．【典例8-2】（(2021年廣東)已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列關(guān)系式成立的是()A． B．C． D．奇偶性與單調(diào)性的綜合運(yùn)用奇偶性化對(duì)稱(chēng)區(qū)間，單調(diào)性定增減，結(jié)合用奇偶性變號(hào)，單調(diào)性解不等式，勿忘定義域。【變式8-1】(2025·江西南昌高一上聯(lián)考)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是()A． B． C． D．【變式8-2】(2025吉林高一上期末)設(shè)偶函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是()A．B．C．D．【變式8-3】(2025廣東揭陽(yáng)第一中學(xué)高一上期末)已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，

恒成立，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為()A． B． C． D．【變式8-4】(2024·福建高一期末)若定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，則不等式的解集為()A． B． C． D．題型09數(shù)形結(jié)合解決奇偶性問(wèn)題【典例9】（2024上海金山·高一上海市金山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意，有，若，則的解集為_(kāi)_______．奇偶性與單調(diào)性的運(yùn)用奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，借圖象直觀(guān)分析性質(zhì)?！咀兪?-1】（2025·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則關(guān)于x的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【變式9-2】（2025·北京·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，其部分圖象如圖所示．(1)求的值；(2)補(bǔ)全的圖象，并寫(xiě)出不等式的解集．題型10函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例10】（24-25高一上·江蘇常州·期中）已知函數(shù)的定義域是且，對(duì)定義域內(nèi)的任意，都有，且當(dāng)時(shí)，，.(1)判斷函數(shù)的奇偶性并證明；(2)求證：在上是增函數(shù)；(3)解不等式：.函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問(wèn)題破解策略對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，常采用各個(gè)擊破的策略求解，如需要用到函數(shù)奇偶性的則聯(lián)想函數(shù)的奇偶性，需要比較大小或解不等式則可聯(lián)想函數(shù)的單調(diào)性，等等.另外要注意各種數(shù)學(xué)思想，尤其是數(shù)形結(jié)合思想和整體代換思想的應(yīng)用.【變式10-1】（24-25高一上·廣西南寧·期中）已知定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足.(1)求的解析式；(2)證明：函數(shù)在上單調(diào)遞減；(3)求關(guān)于的不等式的解集.【變式10-2】（24-25高一上·云南臨滄·階段練習(xí)）若定義域是的函數(shù)對(duì)任意的，都有成立，且當(dāng)0時(shí)，.(1)判斷的奇偶性，并證明；(2)判斷的單調(diào)性，并證明；(3)解關(guān)于的不等式.練基礎(chǔ)1．（24-25高一上·河南商丘·期中）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．（2025全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)，那么的奇偶性是（）A．奇函數(shù) B．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)C．偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)3．（2024甘肅定西·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，則下列各式中一定成立的是（

）A． B．C． D．4．（2024廣西·期中）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B．C． D．5．（2024北京·期末）已知，，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)．設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．6．（2025福建廈門(mén)·期末）若定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．7（多選）（24-25高一上·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（

）A． B．C． D．8.（多選）（2025全國(guó)·課后作業(yè)）下列判斷正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是非奇非偶函數(shù)9.（2025上?！ふn后作業(yè)）若函數(shù)，（其中為常數(shù)）是奇函數(shù)，則．10．（2025上?！?zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則．11．（2025全國(guó)·課后作業(yè)）已知是R上的偶函數(shù)，且在上是嚴(yán)格增函數(shù)，若，則a的取值范圍是．12．（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4).13．（2025全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2).13．（24-25高一上·吉林·階段練習(xí)）已知定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)求的解析式；(2)寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間；(3)求出的值域．練提升14．（24-25高一下·湖南永州·階段練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，圖象如圖所示，則下列關(guān)系正確的是（

）A．B．C．D．15．已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足:關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則（

）A． B．C． D．16.(多選)（2025廣東佛山·階段練習(xí)）已知狄利克雷函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的值域?yàn)?B．定義域?yàn)镃． D．是奇函數(shù)17.（多選）（24-25高二下·黑龍江大慶·期末）已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．