27/28專題4.2簡(jiǎn)單冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1.熟練掌握冪函數(shù)的基本概念和性質(zhì)。2.理解和掌握數(shù)學(xué)概念的能力。3.能夠通過(guò)圖象特征來(lái)理解和解釋冪函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)：(1)理解冪函數(shù)的定義，即底數(shù)和指數(shù)都是正數(shù)的函數(shù)。(2)通過(guò)分析冪函數(shù)的圖象特征，掌握冪函數(shù)的性質(zhì)。難點(diǎn):(1)讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何通過(guò)圖象來(lái)理解冪函數(shù)的性質(zhì)。(2)能夠靈活運(yùn)用冪函數(shù)的知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)01冪函數(shù)的概念（易錯(cuò)）一般地，形如y＝xα(α為常數(shù))的函數(shù)，即底數(shù)是自變量、指數(shù)是常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù)．【即學(xué)即練】1.（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)3,3A．y=x-1C．y=x2【答案】B【解析】設(shè)冪函數(shù)解析式為y=xα，代入點(diǎn)3,3可得3所以該冪函數(shù)的解析式是y=知識(shí)點(diǎn)02冪函數(shù)的特征冪函數(shù)的三大特征：(1)xα的系數(shù)是1；(2)xα的底數(shù)x是自變量；(3)xα的指數(shù)α為常數(shù)．只有滿足這三個(gè)條件，才是冪函數(shù)．對(duì)于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函數(shù)都不是冪函數(shù)．【即學(xué)即練】1.(多選)（2024高一下·云南曲靖·階段練習(xí)）下列關(guān)于冪函數(shù)fxA．冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一象限B．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,1C．當(dāng)a>0時(shí)，冪函數(shù)fx=D．冪函數(shù)fx=【答案】AB【解析】當(dāng)x>0時(shí)，冪函數(shù)fx=xa對(duì)任意a因?yàn)?a=1，所以冪函數(shù)fx=xa的當(dāng)a=122.（24-25高一上·上?！卧獪y(cè)試）函數(shù)y=m2+2m【答案】-3【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=m2+2m解得：m=-3，或m知識(shí)點(diǎn)03常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象特征同一坐標(biāo)系中，冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x1注意點(diǎn)：(1)在第一象限內(nèi)，函數(shù)y＝x－1的圖象向上與y軸無(wú)限接近，向右與x軸無(wú)限接近．(2)在第一象限內(nèi)，在x＝1右側(cè)，指數(shù)越大，冪函數(shù)的圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡(jiǎn)記為指大圖高).【即學(xué)即練】1.（24-25高一·上?！ふn堂例題）函數(shù)y=x4A． B．C． D．【答案】A【解析】令fx=x所以函數(shù)y=由冪函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)y=x43在0,+∞上單調(diào)遞增，且當(dāng)x>1時(shí)的圖象知識(shí)點(diǎn)04常見(jiàn)冪函數(shù)的性質(zhì)（重點(diǎn)）1.常見(jiàn)冪函數(shù)的性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增在[0，＋∞)上單調(diào)遞增在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增在[0，＋∞)上單調(diào)遞增在(0，＋∞)上單調(diào)遞減在(－∞，0]上單調(diào)遞減在(－∞，0)上單調(diào)遞減2.冪函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)(1)所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)；(2)如果α＞0，那么冪函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增；(3)如果α＜0，那么冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)限接近y軸，當(dāng)x從原點(diǎn)趨向于＋∞時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限接近x軸；(4)在(0,1]上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為指大圖低)；在[1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡(jiǎn)記為指大圖高)．3.冪函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)冪函數(shù)y＝xα(a∈R)，當(dāng)α為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)α為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)．【即學(xué)即練】1.（2024高二下·福建廈門·期末）函數(shù)的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性即可求解.【解析】因?yàn)?，所以為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，為增函數(shù)，故為增函數(shù)，故B選項(xiàng)正確.知識(shí)點(diǎn)05一般冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)（拓展）1.一般冪函數(shù)的圖象當(dāng)時(shí)，y=x的圖象是一條直線;當(dāng)時(shí)，（）的圖象是一條不包含點(diǎn)(0,1)的直線;當(dāng)為其他值時(shí)，相應(yīng)冪函數(shù)的圖象如下表：2．冪函數(shù)的性質(zhì)通過(guò)分析以上冪函數(shù)的圖象特征，可以得到冪函數(shù)的以下性質(zhì):(1)所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)（1，1）(2)時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù).(3)時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無(wú)限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無(wú)限地逼近軸正半軸．(4)任何冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸或僅相交于原點(diǎn)，或都不相交，任何冪函數(shù)圖象都不過(guò)第四象限；(5)任何兩個(gè)冪函數(shù)圖象最多有三個(gè)公共點(diǎn)．除(1，1)，(0，0)，(－1，1)，(－1，－1)外，其他任何一點(diǎn)都不是兩個(gè)冪函數(shù)的公共點(diǎn)．【即學(xué)即練】1.函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，則，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故排除D，由冪函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)的圖象高于的函數(shù)圖象，故排除B、題型01冪函數(shù)的判斷【典例1-1】下列函數(shù)中，屬于冪函數(shù)的是（） A． B． C． D．【答案】B【解析】形如（為常數(shù)且）為冪函數(shù)，要求底數(shù)為變量且系數(shù)為1，對(duì)比選項(xiàng)僅有B：符合要求.【典例1-2】．已知函數(shù)是冪函數(shù).則（） A． B．2 C． D．1【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，所以，所以，所以.冪函數(shù)的判斷方法1.系數(shù)為1;2.指數(shù)為常數(shù);3.后面不加任何項(xiàng).反之,若一個(gè)函數(shù)為冪函數(shù),則該函數(shù)必具有這種形式.【變式1-1】下列函數(shù)是冪函數(shù)且是奇函數(shù)的是（） A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，易知不是冪函數(shù)，錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知其為偶函數(shù)，錯(cuò)誤；對(duì)于C，由解析式可知為冪函數(shù)；，定義域?yàn)?，又，奇函?shù)，正確；對(duì)于D，易知其為偶函數(shù)，錯(cuò)誤；【變式1-2】若函數(shù)是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是（） A．1或 B． C．2 D．或2【答案】D【解析】由冪函數(shù)的定義知，解得或．題型02冪函數(shù)求值【典例2-1】已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則（） A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，設(shè)，則，可得，解得，故.故選：D.【典例2-2】（2024高一上·浙江溫州·期中）已知定義在R上的冪函數(shù)fx，則fA．0 B．-1 C．1 D．不確定【答案】B【解析】由題意函數(shù)fx過(guò)點(diǎn)0,0，1,1所以f0冪函數(shù)求值根據(jù)冪函數(shù)定義，得出表達(dá)式，代入即可?！咀兪?-1】已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則（） A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，設(shè)，則，可得，解得，故.【變式2-2】（2024高一上·天津·期末）已知函數(shù)fx=m2+【答案】4【解析】由題意得m2+m當(dāng)m=-2時(shí)，f當(dāng)m=1時(shí)，fx故f2故答案為：【變式2-3】已知函數(shù)且，則正數(shù)的值為______________.【答案】/=【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，有，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，有，因?yàn)?，所以有，故答案為：題型03冪函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)【典例3-1】（2025高一上·上海徐匯·階段練習(xí)）已知f(x)=(2x-1)n+1，則函數(shù)【答案】(1,2)【解析】令2x-1=1，得故函數(shù)f(x)圖象故答案為：(1,2)【典例3-2】已知為冪函數(shù)，為常數(shù)，且，則函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為（） A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，即有，所以，即的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)冪函數(shù)過(guò)定點(diǎn)判斷方法1）x>0時(shí)過(guò)定點(diǎn)(1，1)2)x=0時(shí)過(guò)定點(diǎn)(0,0)3)x<0時(shí)過(guò)定點(diǎn)(-1，-1)【變式3-1】（2025高一上·云南西雙版納·期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象一定過(guò)原點(diǎn)B．α=1,3,12C．冪函數(shù)的圖象會(huì)出現(xiàn)在第四象限D(zhuǎn)．y=2【答案】B【解析】解：冪函數(shù)圖象不一定過(guò)原點(diǎn)，例如y=x-1當(dāng)α=1,3,12時(shí)，冪函數(shù)y=x由函數(shù)的定義及冪函數(shù)在第一象限均有圖象可知，冪函數(shù)的圖象不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，故C不正確；函數(shù)y=2x2【變式3-2】（2024高一上·天津?yàn)I海新·期中）已知函數(shù)y=xα，?α<0的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在一次函數(shù)y=mxA．1 B．2 C．2 D．4【答案】D【解析】依題意，A(1,1)，則m+n當(dāng)且僅當(dāng)m=所以當(dāng)m=n=題型04冪函數(shù)的定義域【典例4-1】（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）在函數(shù)①y=x75；②y=x56；③y=x47；④【答案】3【解析】解：①y=x7②y=x5③y=x4④y=x-⑤y=x-⑥y=x2故定義域?yàn)镽的有①③⑥，共3個(gè)，故答案為：3．【典例4-2】（2025高一上·全國(guó)·期中）已知函數(shù)fx的定義域是-1,3，則函數(shù)gx=【答案】0,2【解析】因?yàn)楹瘮?shù)fx的定義域是-1,3所以-1≤2x-1≤3，解得0≤x≤2，所以函數(shù)要使gx=f2x所以gx=f故答案為：0,2冪函數(shù)定義域求法1.已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解；2.對(duì)實(shí)際問(wèn)題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解.【變式4-1】（多選）（23-24高一上·甘肅慶陽(yáng)·期中）已知冪函數(shù)f(A．f(-32)=116 B．C．fx是奇函數(shù) D．不等式fx【答案】AD【解析】對(duì)A，由題知，m+95=1，得對(duì)B，函數(shù)f(x)的定義域是{對(duì)C，因?yàn)閒(-x)=對(duì)D，當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，所以|x即不等式的解集為[-1,1)∪(1,3]，故D正確．【變式4-2】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象可能滿足下列條件：①函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)3,1②函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)-2,4；③函數(shù)的定義域?yàn)?∞,0∪任選其中兩個(gè)條件滿足函數(shù)，同時(shí)求出x=4【答案】選①③，14【解析】設(shè)fx選①②：由題可得3a=1選①③：由函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)3,13可得3a=1易知，函數(shù)fx=x所以x=4時(shí)，y選②③：由函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)-2,4可得-2a=4，解得a=2因?yàn)閒x=x綜上，應(yīng)選①③，此時(shí)fx=x-1，當(dāng)【變式4-3】（24-25高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）求函數(shù)y=【答案】0,2【解析】由題意，x≠0x-2≠0即函數(shù)y=x題型05冪函數(shù)的值域與最值【典例5-1】（2024高一下·遼寧·階段練習(xí)）函數(shù)y=x2【答案】0,1【解析】由冪函數(shù)性質(zhì)可知y=x2又易知y=所以當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，可知y=可得0≤y故答案為：0,1求冪函數(shù)值域方法1．首先確定函數(shù)的定義域，然后準(zhǔn)確地找出其單調(diào)區(qū)間，最后再根據(jù)其單調(diào)性求出函數(shù)的最值;2.畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象的最高和最低點(diǎn)求最值【變式5-1】（2024高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知a∈-1,1,2,3，則使函數(shù)y=【答案】1，3【解析】當(dāng)a=-1時(shí)，y=x當(dāng)a=1時(shí)，y當(dāng)a=2時(shí)，y=x當(dāng)a=3時(shí)，y故答案為：1，3【變式5-2】（2025高一上·山東濟(jì)南·期中）若函數(shù)fx=ax2021+bx2021【答案】1【解析】設(shè)gx=f又g-x=記fxmin為fx在0,+∞上的最小值，fxmax又gx在0,+∞上的最小值為fxmin-3=5-3=2，gx所以fxmin-3+故答案為：1.【變式5-3】（2025高一上·浙江·期中）函數(shù)fx=2x-【答案】1,20,1【解析】函數(shù)fx=2x-令u(x)=2x-x2，對(duì)稱軸為x=1，開口向下，所以u(píng)(x)由u(x)=2x-x2所以fx題型06冪函數(shù)的單調(diào)性【典例6-1】已知冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則（） A．或3 B． C．3 D．1【答案】C【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，符合題意，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，不符合題意，舍去，所以，冪函數(shù)單調(diào)性1.在(0,1]上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為指大圖低)；2.在[1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡(jiǎn)記為指大圖高)．【變式6-1】已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則m的值為（） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3【答案】A【解析】由題意可得.【變式6-2】已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞增，則實(shí)數(shù)（） A．2 B． C．1 D．1或【答案】B【解析】由題意冪函數(shù)可得，解得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不合題意，故舍去；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，滿足題意，故；【變式6-3】已知冪函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則（） A． B． C． D．2【答案】C【解析】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，解得.題型07冪函數(shù)的奇偶性【典例7-1】（2025·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)y=x5A．增函數(shù)且是奇函數(shù)B．增函數(shù)且是偶函數(shù)C．減函數(shù)且是奇函數(shù)D．減函數(shù)且是偶函數(shù)【答案】A【解析】因?yàn)閥=x5因?yàn)閤∈所以f-所以y=x59是奇函數(shù)，又因?yàn)?9【典例7-2】（2025上?！るS堂練習(xí)）已知α∈-2,-1,-12,12,1,2,3，若冪函數(shù)y=x【答案】-1【解析】因?yàn)棣痢蕛绾瘮?shù)fx=xα的所以α是奇數(shù)，且α<0，所以α故答案為：-1.冪函數(shù)奇偶性判斷方法1.先看冪函數(shù)指數(shù)結(jié)構(gòu)2.再看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不對(duì)稱則非奇非偶；對(duì)稱時(shí)，若f(-x)=f(x)為偶，f(-x)=-f(x)為奇?！咀兪?-1】（2025上海虹口·期末）設(shè)α∈-2,-12,23,3，若冪函數(shù)y=xα【答案】2【解析】∵α若冪函數(shù)y=xα的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則又冪函數(shù)y=xα在區(qū)間(0,+∞)上是嚴(yán)格增函數(shù)，則故答案為：23【變式7-2】（2025四川·階段練習(xí)）已知α∈-1,12,2,3.若冪函數(shù)fx=【答案】3【解析】因?yàn)棣痢仕援?dāng)冪函數(shù)fx=xα為奇函數(shù)時(shí)，而冪函數(shù)fx=xα又在故答案為：3【變式7-3】（多選）（2025高一上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）關(guān)于冪函數(shù)fxA．fx的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn) B．fC．fx的值域?yàn)?,+∞ D．fx在區(qū)間【答案】BC【解析】由題意，m-1=1，所以m=2對(duì)于A，f(x)=故fx的圖象對(duì)于B，因?yàn)閒(x)=f(-x)=對(duì)于C，由于f(x)=對(duì)于D，由于-2<0，故f(x)=題型08利用冪函數(shù)性質(zhì)比較大小【典例8-1】已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（） A． B． C． D．【答案】D【解析】,冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?所以,即,所以,【典例8-2】若冪函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若，，則的大小關(guān)系為（） A． B． C． D．【答案】B【解析】為偶函數(shù)，所以，又因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即．利用冪函數(shù)性質(zhì)比較大小同底數(shù)看指數(shù)增減，同指數(shù)看底數(shù)正負(fù)；不同底指用中間值過(guò)渡【變式8-1】下列比較大小中正確的是（） A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)A：因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)閮绾瘮?shù)為奇函數(shù)，在單調(diào)遞減，，所以，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)閮绾瘮?shù)為奇函數(shù)，在單調(diào)遞增，，所以，即，故C正確；對(duì)D：因?yàn)閮绾瘮?shù)為偶函數(shù)，在單調(diào)遞增，，所以，即，故D錯(cuò)誤.【變式8-2】已知實(shí)數(shù)滿足等式，給出下列五個(gè)關(guān)系式：①；②；③；④；⑤，其中可能成立的關(guān)系式有（） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)和的圖象如圖所示：由圖可知在處；在處；在處；在處；在兩曲線的三個(gè)交點(diǎn)處均滿足，所以①②⑤正確.【變式8-3】?jī)绾瘮?shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，且，則的值（） A．無(wú)法判斷 B．等于0 C．恒小于0 D．恒大于0【答案】D【解析】由，解得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，故.又，所以，因?yàn)闉樵赗上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，所以，即.題型09利用冪函數(shù)性質(zhì)解不等式【典例9-1】若冪函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，解得，則，由可得，可得，解得或，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.利用冪函數(shù)性質(zhì)解不等式先確定冪函數(shù)單調(diào)性，轉(zhuǎn)化不等式；注意定義域，結(jié)合奇偶性簡(jiǎn)化，最后求解集?！咀兪?-1】已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則不等式的解集為（） A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則，解得，即，因?yàn)?，即，整理可得，解得或，所以不等式的解集?【變式9-2】已知函數(shù)，且，則m的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，函數(shù)是奇函數(shù)，又函數(shù)都是R上的增函數(shù)，則在R上單調(diào)遞增，不等式，則，即，解得或，所以m的取值范圍是.故選：A【變式9-3】已知冪函數(shù)（）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________.【答案】【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)（）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，所以且為奇數(shù)，又，所以，則，即為，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)榍覟闇p函數(shù)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.題型10冪函數(shù)圖象的應(yīng)用【典例10-1】（2025云南昆明·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x,x≥02x,x<0，A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】作出函數(shù)fx=x

因?yàn)間x=-fx，則將函數(shù)fx的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，可得出函數(shù)

【典例10-2】（2025廣東肇慶·開學(xué)考試）把拋物線y=3A．y=3x+1C．y=3x-6【答案】B【解析】將拋物線y=3x-2再向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的拋物線為y=3冪函數(shù)圖象的應(yīng)用1.確定定義域與奇偶性，畫關(guān)鍵點(diǎn)連線；借單調(diào)性、定點(diǎn)解不等式，比較大??；2.依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0,1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y＝x－1或y＝x3)來(lái)判斷。【變式10-1】（2025·山東濟(jì)南·期末）已知函數(shù)fx=x-2,A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】結(jié)合題意可得：當(dāng)x<0時(shí)，易知fx=當(dāng)x≥0時(shí)，易知fx=故函數(shù)fx=x要得到y(tǒng)=-fx，只需將y=fx的圖象沿【變式10-2】（2025全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示是函數(shù)y=xmn（m、A．m，n是奇數(shù)且mn<1 C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且mn>1 【答案】B【解析】由圖象可看出y=xm故mn∈0,1且m【變式10-3】（2025陜西西安·期中）直線y=2與函數(shù)y=x2【答案】4【解析】令x2-6x>0，xx將x=3代入y=x2-6x

由圖可知，直線y=2與函數(shù)y=x2故答案為：4.【變式10-4】已知函數(shù)其中．那么=0的實(shí)根為___________；若的值域是，則c的取值范圍是____________________．【答案】0,-1.【解析】依題意作下圖：令，得x=0，令，得x=0或x=-1，∴=0的實(shí)根為0，1；由于當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以其值域?yàn)?，由題意可知：；練基礎(chǔ)一、單選題1．下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A．y=x2xB．y=【答案】C【解析】對(duì)于A，y=x2對(duì)于B，y=對(duì)于C，y=對(duì)于D，y=32．下列函數(shù)既是冪函數(shù)又是偶函數(shù)的是（

）A．f(x)=3C．f(x)=【答案】C【解析】解:冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)，排除A；f(x)=3．冪函數(shù)在第一象限的圖象如圖所示，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)，的右側(cè)部分的圖象，圖象由下至上，冪指數(shù)增大，所以由圖象得：，4．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以．5．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，由，可得，則，因此，.6．已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則m的值為（

）A．－2 B．3 C．－2或3 D．2或3【答案】B【解析】由冪函數(shù)定義得：，解得：或3，又在單調(diào)遞增，所以，解得：，綜上：m的值為3.二、多選題7．下列結(jié)論中正確的是（）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,1B．冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限C．當(dāng)指數(shù)α取1，3，12時(shí)，冪函數(shù)yD．當(dāng)α=-1時(shí)，冪函數(shù)y【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)可知，A正確；B選項(xiàng)，所有的冪函數(shù)在區(qū)間0,+∞上都有定義且y=xα>0α∈R，所以冪函數(shù)的圖象D選項(xiàng)，當(dāng)α=-1時(shí)，y=x-1在區(qū)間8．下列可能是函數(shù)f（x）＝（其中a，b，c∈）的圖象的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)中的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，B選項(xiàng)中的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，兩個(gè)選項(xiàng)均可得函數(shù)的定義域?yàn)?，可得c＝0，又函數(shù)f（x）的零點(diǎn)只能由ax＋b產(chǎn)生，所以函數(shù)f（x）可能沒(méi)有零點(diǎn)，也可能零點(diǎn)是x＝，所以AB選項(xiàng)可能符合條件；而D選項(xiàng)中的圖象知函數(shù)f（x）的零點(diǎn)在（0，1）內(nèi)，但此種情況不可能存在，所以D選項(xiàng)不符合條件；觀察C選項(xiàng)中的圖象，由定義域猜想c＝1，由圖象過(guò)原點(diǎn)得b＝0，猜想a＝1，可能符合條件；三、填空題9．若冪函數(shù)fx過(guò)2,2點(diǎn)，則此函數(shù)的解析式為【答案】fx=【解析】設(shè)冪函數(shù)fx=xα，則f210．若冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)______．【答案】【解析】由冪函數(shù)可得，解得或，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則a為偶數(shù)，所以．四、解答題11．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)(1)求冪函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)或【解析】(1)依題意有：，解得或；又函數(shù)為偶函數(shù)，則，所以.(2)；由題知：或，所以或.12．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)．（1）求的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）的解析式為；（2）實(shí)數(shù)的值為2.【解析】（1）由冪函數(shù)可知，解得或當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為偶函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；故求的解析式為（2）由（1）得：函數(shù)的對(duì)稱軸為：，開口朝上，由題意得在區(qū)間上，解得所以實(shí)數(shù)的值為2.練提升13．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P8,4，則該冪函數(shù)的大致圖象是（

A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】設(shè)冪函數(shù)為fx=xα，則8α=4，所以fx=x因?yàn)閒-14．函數(shù)fx=x13A．

B．

C．D．

【答案】B【解析】由f1=0，排除A，D，當(dāng)x>1時(shí)，x二、多選