第9講概率初步知識點1隨機事件與概率隨機事件的概念在一定條件下，必然會發(fā)生的事件叫必然事件。在一定條件下，一定不可能發(fā)生的事件叫不可能事件。在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機事件概率的概念及意義一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率。①事件A的概率是一個大于等于0，且小于等于1的數(shù)，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(隨機事件)＜1.②概率是事件在大量重復(fù)實驗中頻率逐漸穩(wěn)定到的值，即可以用大量重復(fù)實驗中事件發(fā)生的頻率去估計得到事件發(fā)生的概率，但二者不能簡單地等同，兩者存在一定的偏差是正常的，也是經(jīng)常的.【典例】1.下列問題哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是隨機事件？（1）太陽從西邊落山；（2）a2+b2=﹣1（其中a、b都是實數(shù)）；（3）水往低處流；（4）三個人性別各不相同；（5）一元二次方程x2+2x+3=0無實數(shù)解；（6）經(jīng)過有信號燈的十字路口，遇見紅燈．2.在一個不透明的口袋中裝有大小、外形一模一樣的5個紅球、3個籃球和2個白球，它們已經(jīng)在口袋中被攪勻了，請判斷以下是不確定、不可能事件、還是必然事件．（1）從口袋中一次任意取出一個球，是白球；（2）從口袋中一次任取5個球，全是籃球；（3）從口袋中一次任取5個球，只有籃球和白球，沒有紅球；（4）從口袋中一次任意取出6個球，恰好紅、藍、白三種顏色的球都齊了．3.擲一個骰子，觀察向上一面的點數(shù)，求下列事件的概率：（1）點數(shù)為偶數(shù)；（2）點數(shù)大于2且小于5．4.已知一個口袋中裝有7個只有顏色不同的球，其中3個白球，4個黑球．（1）求從中隨機抽取出一個黑球的概率是多少？（2）若往口袋中再放入x個白球和y個黑球，從口袋中隨機取出一個白球的概率是，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．【方法總結(jié)】要知道事件發(fā)生的可能性大小首先要確定事件是什么類型.一般地，必然發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最大，不可能發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最小，隨機事件發(fā)生的可能性有大有小，不同的隨機事件發(fā)生的可能性的大小可能不同.①事件A的概率是一個大于等于0，且小于等于1的數(shù)，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(隨機事件)＜1.②概率是事件在大量重復(fù)實驗中頻率逐漸穩(wěn)定到的值，即可以用大量重復(fù)實驗中事件發(fā)生的頻率去估計得到事件發(fā)生的概率，但二者不能簡單地等同，兩者存在一定的偏差是正常的，也是經(jīng)常的.【隨堂練習(xí)】1．如圖，超市舉行有獎促銷活動：凡一次性購物滿300元者即可獲得一次搖獎機會，搖獎機是一個圓形轉(zhuǎn)盤，被分成16等分，指針分別指向紅、黃、藍色區(qū)域，分獲一、二、三獲獎，獎金依次為60、50、40元．（1）分別計算獲一、二、三等獎的概率．（2）老李一次性購物滿了300元，搖獎一次，獲獎的概率是多少？請你預(yù)測一下老李搖獎結(jié)果會有哪幾種情況？2．布袋中放有x只白球、y只黃球、2只紅球，它們除顏色外其他都相同，如果從布袋中隨機摸出一個球，恰好是紅球的概率是．（1）試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當x=6時，求隨機地取出一只黃球的概率P．3．一只不透明的袋子中裝有a個白球，b個黃球和10個紅球，這些球除顏色外都相同，將球搖勻，從中任意摸出一個球，摸到紅球的概率是40%；（1）當a=8時，求摸到白球的概率；（2）若摸到黃球的概率是摸到白球的兩倍，求a，b的值．知識點2用列舉法求概率用列表法和樹狀圖法，求事件的概率1.列表法：當試驗中存在兩個元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時，為了不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果，我們采用列表法來求出某事件的概率．2.樹狀圖法：當一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖法來求出某事件的概率．樹形圖列舉法一般是選擇一個元素再和其他元素分別組合，依次列出，像樹的樹丫形式，最末端的樹丫個數(shù)就是總的可能的結(jié)果．【典例】1.一個不透明的口袋中有三個小球，上面分別標有字母A，B，C，除所標字母不同外，其它完全相同，從中隨機摸出一個小球，記下字母后放回并攪勻，再隨機摸出一個小球，用畫樹狀圖（或列表）的方法，求該同學(xué)兩次摸出的小球所標字母相同的概率．2.如圖，在一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤中，指針位置固定，三個扇形的面積都相等，且分別標有數(shù)字1，2，3．（1）小明轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針所指扇形中的數(shù)字是奇數(shù)的概率為；（2）小明先轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄下指針所指扇形中的數(shù)字；接著再轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，再次記錄下指針所指扇形中的數(shù)字，求這兩個數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率（用畫樹狀圖或列表等方法求解）．3.三個小球上分別標有2，0，1三個數(shù)，這三個球除了標的數(shù)不同外，其余均相同、將小球放入一個不透明的布袋中攪勻.（1）從布袋中任意摸出一個小球，將小球上所標之數(shù)記下，然后將小球放回袋中，攪勻后再任意摸出一個小球，再記下小球上所標之數(shù)，求兩次記下之數(shù)的和大于0的概率.(請用“畫樹狀圖”或“列表”的方法給出分析過程，并求出結(jié)果)（2）從布袋中任意摸出一個小球，將小球上所標之數(shù)記下，然后將小球放回袋中，攪勻后再任意摸出一個小球，將小球上所標之數(shù)再記下，…，這樣一共摸了13次，若記下的13個數(shù)之和等于4，平方和等于14，求：這13次摸球中，摸到球上所標之數(shù)是0的次數(shù).【方法總結(jié)】求概率應(yīng)掌握以下方法：3.判斷游戲的公平性：判斷游戲的公平性是通過概率來判斷的，在條件相等的前提下，如果對于參加游戲的每一個人獲勝的概率相等，則游戲公平，否則不公平.4.在重復(fù)實驗計算概率的題中，第一次取出后放回，然后第二次再取出計算概率，做這類考題時要注意兩次取得的結(jié)果總數(shù)是一致的，如果不放回，那么第二次取出的結(jié)果的總數(shù)比第一次少一種情況【隨堂練習(xí)】1．為了提高學(xué)生書水平．我市舉辦了首屆“漢字聽寫大賽”，經(jīng)選拔后有50名學(xué)生參加決賽，這50名學(xué)生同時聽寫50個漢字，若每正確聽寫出一個漢字得1分．根據(jù)測試成績繪制出部分頻數(shù)分布表和部分頻數(shù)分布直方圖如圖：組別成績x分頻數(shù)（人數(shù)）第1組25≤x＜304第2組30≤x＜358第3組35≤x＜4016第4組40≤x＜45a第5組45≤x＜5010請結(jié)合圖表完成下列各題：（1）求表中a的值，并把頻數(shù)分布方圖補充完整；（2）第5組10名同學(xué)中，有4名男同學(xué)，現(xiàn)將這10名同學(xué)平均分成兩組進行對抗練習(xí)，且4名男同學(xué)每組分兩人，求小宇與小強兩名男同學(xué)能分在同一組的概率．2．將正面分別寫著數(shù)字1，2，3的三張卡片（注：這三張卡片的形狀、大小、質(zhì)地、顏色等其他方面完全相同，若背面向上放在桌面上，這三張卡片看上去無任何差別）洗勻后，背面向上放在桌面上，從中先隨機抽取一張卡片，記該卡片上的數(shù)字為x，再把剩下的兩張卡片洗勻后，背面向上放在桌面上，再從這兩張卡片中隨機抽取一張卡片，記該卡片上的數(shù)字為y．（1）用列表法或樹狀圖法（樹狀圖也稱樹形圖）中的一種方法，寫出（x，y）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．（2）求取出的兩張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率P．3．合肥合家福超市為了吸引顧客，設(shè)計了一種促銷活動：在三等分的轉(zhuǎn)盤上依次標有“合”，“家”，“?！弊謽?，購物每滿200元可以轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤1次，轉(zhuǎn)盤停下后，指針所指區(qū)域是“?！睍r，便可得到30元購物券（指針落在分界線上不計次數(shù)，可重新轉(zhuǎn)動一次），一個顧客剛好消費400元，并參加促銷活動，轉(zhuǎn)了2次轉(zhuǎn)盤．（1）求出該顧客可能獲得購物券的最高金額和最低金額；（2）請用畫樹狀圖法或列表法求出該顧客獲購物券金額不低于30元的概率．知識點3用頻率估計概率用頻率估計概率實際上，從長期實踐中，人們觀察到，對一般的隨機事件，在做大量重復(fù)試驗時，隨著試驗次數(shù)的增加，一個時間出現(xiàn)的頻率，總在一個固定的數(shù)附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性．因此，我們可以通過大量的重復(fù)試驗，用一個隨機事件發(fā)生的頻率去估計它的概率【典例】1.在一個不透明的口袋里裝有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共4個，某學(xué)習(xí)小組做摸球?qū)嶒?，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：（1）請估計：當n很大時，摸到白球的頻率將會接近；（精確到0.1）（2）試估算口袋中白球有多少個？（3）若從中先摸出一球，放回后再摸出一球，請用列表或樹狀圖的方法（只選其中一種），求兩次摸到的球顏色相同的概率．.2.某商場設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，并規(guī)定：顧客購物10元以上就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，當轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)的獎品．下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：（1）計算并完成表格：（2）請估計，當n很大時，頻率將會接近（精確到0.1）（3）假如你去轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，你獲得鉛筆的概率約是，理由是：.3.在一個不透明的盒子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種球共40個，小穎做摸球?qū)嶒?，她將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程，下表是實驗中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：（1）請估計：當n很大時，摸到白球的頻率將會接近；（精確到0.1）（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）=；（3）試估算盒子里黑、白兩種顏色的球各有多少只？【方法總結(jié)】1．當試驗的可能結(jié)果不是有限個，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般用統(tǒng)計頻率的方法來估計概率．2．利用頻率估計概率的數(shù)學(xué)依據(jù)是大數(shù)定律：當試驗次數(shù)很大時，隨機事件A出現(xiàn)的頻率，穩(wěn)定地在某個數(shù)值P附近擺動．這個穩(wěn)定值P，叫做隨機事件A的概率，并記為P(A)=P．3．利用頻率估計出的概率是近似值.【隨堂練習(xí)】1．盒中有若干枚黑棋和白棋，這些棋除顏色外無其他差別，現(xiàn)讓學(xué)生進行摸棋試驗：每次摸出一枚棋，記錄顏色后放回搖勻．重復(fù)進行這樣的試驗得到以下數(shù)據(jù)：摸棋的次數(shù)n1002003005008001000摸到黑棋的次數(shù)m245176124201250摸到黑棋的頻率（精確到0.001）0.2400.2550.2530.2480.2510.250（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計從盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是____；（精確到0.01）（2）若盒中黑棋與白棋共有4枚，某同學(xué)一次摸出兩枚棋，請計算這兩枚棋顏色不同的概率，并說明理由2．“東臺西溪半程馬拉松”的賽事共有兩項：A、“半程馬拉松”、B、“歡樂跑”．小明參加了該項賽事的志愿者服務(wù)工作，組委會隨機將志愿者分配到兩個項目組．（1）小明被分配到“半程馬拉松”項目組的概率為____．（2）為估算本次賽事參加“半程馬拉松”的人數(shù)，小明對部分參賽選手作如下調(diào)查：調(diào)查總?cè)藬?shù)2050100200500參加“半程馬拉松”人數(shù)153372139356參加“半程馬拉松”頻率0.7500.6600.7200.6950.712請估算本次賽事參加“半程馬拉松”人數(shù)的概率為____．（精確到0.1）②若本次參賽選手大約有3000人，請你估計參加“半程馬拉松”的人數(shù)是多少？3．4件同型號的產(chǎn)品中，有l(wèi)件不合格品和3件合格品．（1）從這4件產(chǎn)品中隨機抽取1件進行檢測，不放回，再隨機抽取1件進行檢測．請用列表法或畫樹狀圖的方法，求兩次抽到的都是合格品的概率；（解答時可用A表示l件不合格品，用B、C、D分別表示3件合格品）（2）在這4件產(chǎn)品中加入x件合格品后，進行如下試驗：隨機抽取1件進行檢側(cè)，然后放回，多次重復(fù)這個試驗，通過大量重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)，抽到合格品的頻率穩(wěn)定在0.95，則可以推算出x的值大約是多少？綜合運用：概率初步1.有100張卡片（從1號到100號），從中任取1張，計算：（1）取到卡片號是7的倍數(shù)的情況有多少種？（2）取到卡片號是7的倍數(shù)的概率是多少？2.在不透明的口袋里裝有白、黃、藍三種顏色的乒乓球（除顏色外其余都相同），其中白球有2個，黃球有1個，現(xiàn)從中任意摸出一個是白球的概率為．（1）試求袋中籃球的個數(shù)；（2）第一次任意摸出一個球（不放回），請畫出樹狀圖或列表的方法，求兩次摸到都是白球的概率．3.甲、乙兩個不透明的口袋，甲口袋中裝有3個分別標有數(shù)字1，2，3的小球，乙口袋中裝有2個分別標有數(shù)字4，5的小球，它們的形狀、大小完全相同，現(xiàn)隨機從甲口袋中摸出一個小球記下數(shù)字，再從乙口袋中摸出一個小球記下數(shù)字．（1）請用列表或樹狀圖的方法（只選其中一種），表示出兩次所得數(shù)字可能出現(xiàn)的所有結(jié)果；（2）求出兩個數(shù)字之積能被2整除的概率．4.有4個完全一樣的小球，上面分別標著數(shù)字，2，1，﹣3，﹣4．現(xiàn)隨機摸出一個小球后不放回，將該小球上的數(shù)字記為m，再隨機地摸出一個小球，將小球上的數(shù)字記為n．（1）請列表或畫出樹狀圖并寫出（m，n）所有可能的結(jié)果；（2）求所選出的m，n能使一次函數(shù)y=mx+n的圖像經(jīng)過第二、三、四象限的概率．5.小明和小剛用如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤各轉(zhuǎn)一次做“配紫色”游戲，配成紫色（一紅一藍），小明得1分，否則小剛得1分．（1）這個游戲公平嗎？為什么？（2）如果不公平，如何修改規(guī)則才能使該游戲?qū)﹄p方公平？6.隨著通訊技術(shù)的迅猛發(fā)展，人與人之間的溝通方式更多樣、便捷．某校數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了“你最喜歡的溝通方式”調(diào)查問卷（每人必選且只選一種），在全校范圍內(nèi)隨機調(diào)查了部分學(xué)生，將統(tǒng)計結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結(jié)合圖中所給的信息解答下列問題：（1）這次統(tǒng)計共抽查了名學(xué)生；在扇形統(tǒng)計圖中，表示“QQ”的扇形圓心角的度數(shù)為；（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）該校共有1500名學(xué)生，