20252026學年高二上學期期中考點大串講二數(shù)學【解析】第二章直線和圓的方程夯基*必備基礎知識梳理一、直線的傾斜角與斜率、直線的方程直線的傾斜角當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線向上的方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.直線的傾斜角α的取值范圍{α|0°≤α＜180°}規(guī)定：與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°．斜率的概念及斜率公式傾斜角α(α≠90°)的正切值．記法：k＝tanα．(α≠90°)經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式：k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)．(x1≠x2)斜率與傾斜角的對應關系圖示傾斜角(范圍)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范圍)k＝0k>0不存在k<0兩條不重合直線平行的判定當α1＝α2≠90°，則l1∥l2?k1＝k2當α1＝α2＝90°，則l1∥l2?兩直線斜率都不存在或：兩條直線的方向向量平行兩條直線垂直的判定當l1⊥l2(兩直線斜率都存在)?k1·k2＝－1當l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l2或：兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0結(jié)論平行于x軸的直線方程為:y=t平行于y軸的直線方程為:x=m直線的方向向量方程形式直線方程局限性選擇條件點斜式不能表示與x軸垂直的直線①已知斜率；②已知一點斜截式y(tǒng)=kx+b不能表示與x軸垂直的直線①已知在y軸上的截距；②已知斜率兩點式不能表示與x軸、y軸垂直的直線①已知兩個定點；②已知兩個截距截距式不能表示與x軸垂直、與y軸垂直、過原點的直線①已知兩個截距；②已知直線與兩條坐標軸圍成的三角形的面積一般式Ax+By+C=0(A,B不全為0)表示所有的直線求直線方程的最后結(jié)果均可以化為一般式方程結(jié)論若直線在兩坐標軸上的截距的（絕對值）相等，則(2)當截距為0時，設直線l的方程為y=kx,提升*常考題型歸納題型一：直線的傾斜角與斜率A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得直線的斜率，進而求得直線的傾斜角.故選：BA.2 B.1 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩點斜率公式及斜率與傾斜角的關系求解即可.故選：B.【答案】D【解析】故選：D.【答案】B【分析】根據(jù)兩點斜率公式，即可結(jié)合圖形，結(jié)合斜率與傾斜角的關系求解.故選：B【答案】C故選：C.【答案】B【分析】先根據(jù)直線的方向向量和法向量之間的關系寫出直線的方向向量；再根據(jù)直線傾斜角、斜率和方向向量之間的關系分類討論，結(jié)合基本不等式即可求解.故選：B.題型二：直線的方程（1）求直線和直線的方程；（2）已知直線經(jīng)過直線與直線交點，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的3倍，求直線的方程．【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點求直線的斜率，以及根據(jù)兩直線垂直求直線的斜率，再根據(jù)點斜式求直線的方程；（2）首先求直線的交點，再分直線過原點和不過原點兩種情況求直線方程.【答案】A【分析】先根據(jù)方向向量求出斜率，再由點斜式求出直線方程.故選：A【例23】（多選）下列說法一定正確的是（

）【答案】CD故選：CD.題型三:直線方程的綜合應用【答案】AB【分析】求出直線過定點坐標即可判斷A，將點坐標代入直線方程求解即可判斷B，根據(jù)直線垂直的關系列式求解即可判斷C，根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性求解傾斜角范圍判斷D.故選：AB【例32】已知直線l過點M(2,1)，且分別與x軸的正半軸，y軸的正半軸交于A，B兩點，當|MA|·|MB|取最小時，求直線l的方程．【答案】直線l的方程為x＋y－3＝0．【分析】根據(jù)已知條件寫出直線方程的點斜式，再利用基本不等式求最值的方法求出直線方程?！驹斀狻吭O直線l的方程為y－1＝k(x－2)，則可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k－1,k)，0))，B(0,1－2k)．∵與x軸，y軸正半軸分別交于A，B兩點，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2k－1,k)>0，,1－2k>0))?k<0．∴|MA|·|MB|＝eq\r(\f(1,k2)＋1)·eq\r(4＋4k2)＝2eq\f(1＋k2,|k|)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－k＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))))≥4．當且僅當－k＝－eq\f(1,k)，即k＝－1時取等號．此時直線l的方程為x＋y－3＝0．【分析】根據(jù)已知條件寫出直線方程的截距式，再利用基本不等式求出直線方程。夯基*必備基礎知識梳理二兩直線的位置關系兩條直線位置關系的判斷平行l(wèi)1∥l2重合垂直l1⊥l2斜截式l1：y＝k1x＋b1l2：y＝k2x＋b2k1＝k2且b1≠b2k1＝k2且b1=b2k1·k2＝－1一般式l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1=0或A1C2－A2C1=0A1A2＋B1B2＝0兩直線的位置關系方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點的個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1與l2的位置關系相交重合平行兩點間的距離點到直線的距離兩條平行直線的距離常見的點關于直線的對稱點常見的對稱結(jié)論有設直線l為Ax+By+C=0①l關于x軸對稱的直線是Ax+B（?y）+C=0；②l關于y軸對稱的直線是A（?x）+By+C=0；③l關于直線y=x對稱的直線是Bx+Ay+C=0；④l關于直線y=?x對稱的直線是A（?y）+B（?x）+C=0．點P關于點M對稱點P′的求法(點M為點P和點P′的中點）點P關于直線l對稱P′點P關于直線l的對稱點為，則直線l為線段的中垂線②線段的中點在直線l上；與已知直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設為：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)；垂直的直線方程可設為：Bx－Ay＋λ＝0.過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.提升*?？碱}型歸納題型一：兩條直線的位置關系A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先求出直線垂直的充要條件，然后根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可得解.故選：A.【解析】（2）法一：先考慮直線斜率不存在時，再考慮直線斜率存在時，設出直線方程，利用點到直線距離列出方程，求出方程；【詳解】（2）（法一）當直線斜率不存在時，方程為，【分析】（1）利用兩直線垂直的充要條件列方程即得；（2）利用兩直線平行的充要條件列方程求出的值，再運用兩平行線之間距離公式求解.m的值為6；題型二:直線過定點問題（1）求證：直線恒過定點；（2）設（1）中的定點為，與，的交點分別為，，若恰為的中點，求．【答案】（1）證明見解析.【解析】【分析】（1）先分離參數(shù)，再令參數(shù)的系數(shù)等于，求得、的值，可得直線恒過定點；所以直線恒過定點.所以的值為.【例22】已知直線l的方程是3a?1x?a+1y?1=0，則對任意的實數(shù)a，直線lA．一 B．二 C．三 D．四【答案】：C【分析】求出直線l過的定點，即可得答案.【詳解】解：因為線l的方程是3a?1x?即為(3x?y)a?(x+y+1)=0，令3x?y=0x+y+1=0，解得x=?14y=?3所以直線l一定經(jīng)過第三象限.故選：C.題型三:兩直線的交點及距離問題【例31】點(0，－1)到直線y＝k(x＋1)距離的最大值為()A．1 B．eq\r(2)C.eq\r(3) D．2【答案】：B【分析】求出直線l過的定點，結(jié)合兩點間的距離求解.【詳解】記點A(0，－1)，直線y＝k(x＋1)恒過點B(－1,0)，當AB垂直于直線y＝k(x＋1)時，點A(0，－1)到直線y＝k(x＋1)的距離最大，且最大值為|AB|＝eq\r(2)，故選B．【例32】若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為________．【答案】：eq\f(29,10)【分析】先判斷兩條直線的位置關系，再利用兩條平行直線上點的最小距離就是兩條平行直線間的距離?！驹斀狻恳驗閑q\f(3,6)＝eq\f(4,8)≠eq\f(－12,5)，所以兩直線平行，將直線3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即eq\f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq\f(29,10)，所以|PQ|的最小值為eq\f(29,10)．【例33】若直線5x＋4y－2m－1＝0與直線2x＋3y－m＝0的交點在第三象限，則實數(shù)m的取值范圍是．【答案】：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))【分析】求出兩條直線的交點坐標，再利用交點在第三象限求出m的取值范圍.【詳解】：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋4y－2m－1＝0，,2x＋3y－m＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2m＋3,7)，,y＝\f(m－2,7)，))所以兩直線的交點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2m＋3,7)，\f(m－2,7)))．又此交點在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2m＋3,7)＜0，,\f(m－2,7)＜0，))解得m＜－eq\f(3,2)，所以實數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))．【答案】：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))題型四:對稱問題【例31】過點P(0，1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為____________；【答案】x＋4y－4＝0【詳解】：設l1與l的交點為A(a,8－2a)，則由題意知，點A關于點P的對稱點B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點A(4,0)在直線l上，因為P(0,1)也在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0．故答案x＋4y－4＝0【例32】已知入射光線經(jīng)過點M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點N(2，6)，則反射光線所在直線的方程為．【答案】6x－y－6＝0.【詳解】：設點M(－3,4)關于直線l：x－y＋3＝0的對稱點為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點M′，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a－－3)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得a＝1，b＝0．又反射光線經(jīng)過點N(2,6)，所以反射光線所在直線的方程為6x－y－6＝0．故答案：6x－y－6＝0【詳解】：點既在邊的高線上,又在的平分線上,【例34】唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為A?3,0，若將軍從山腳下的點B?1,1處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=1，則“將軍飲馬”的最短總路程為（A．5 B．3 C．13 D．5【答案】C【分析】根據(jù)兩點間線段最短，結(jié)合中點坐標公式、互相垂直直線斜率的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】設點B?1,1關于直線x+y=1對稱的點為C則有?1+x2所以“將軍飲馬”的最短總路程為AC=故選：C.夯基*必備基礎知識梳理三圓的方程圓的定義平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心(a，b)，半徑r圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)點與圓的位置關系點M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.eq\o([常用結(jié)論])1．圓的三個性質(zhì)(1)圓心在過切點且垂直于切線的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上；(3)兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線．2．兩個圓系方程具有某些共同性質(zhì)的圓的集合稱為圓系，它們的方程叫圓系方程(1)同心圓系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b為定值，r是參數(shù)；(2)半徑相等的圓系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中r為定值，a，b是參數(shù)．1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF＞0.))[常用結(jié)論]2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．【方法歸納】與圓有關的最值問題把所求問題轉(zhuǎn)化或利用所給式子的幾何意義解題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，其中以下幾類轉(zhuǎn)化較為常見：(1)形如m＝eq\f(y－b,x－a)的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；(2)形如m＝ax＋by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點間距離的平方的最值問題．提升*?？碱}型歸納題型一:求圓的方程【例12】已知圓C的圓心坐標是(0，m)，若直線2x－y＋3＝0與圓C相切于點A(2,7)，則圓C的標準方程為．【答案】：x2＋(y－8)2＝5【詳解】：如圖所示，由圓心C(0，m)與切點A的連線與直線垂直，得eq\f(m－7,0－2)＝－eq\f(1,2)，解得m＝8．所以圓心為(0,8)，半徑為r＝eq\r(2－02＋7－82)＝eq\r(5)．所以圓C的標準方程為x2＋(y－8)2＝5．題型二:與圓有關的軌跡問題【例21】長為10的線段的兩個端點A，B分別在x軸和y軸上滑動，則線段AB的中點M的軌跡方程為()A．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1C．y2＝16x D．x2＋y2＝25【答案】D【詳解】：由題意，設A(x0,0)，B(0，y0)，則xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝100，設M(x，y)，即x＝eq\f(x0,2)，y＝eq\f(y0,2)，有x0＝2x，y0＝2y，所以(2x)2＋(2y)2＝100，得x2＋y2＝25．故選D．【例22】點A(3,0)為圓x2＋y2＝1外一點，P為圓上任意一點，若AP的中點為M，當P在圓上運動時，則點M的軌跡方程為．【答案】：點M的軌跡方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(1,4)．【詳解】：設點M(x，y)，因為M為線段AP的中點，點A(3,0)，所以P(2x－3,2y)，因為P為圓x2＋y2＝1上任意一點，所以(2x－3)2＋(2y)2＝1，化簡得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(1,4)，所以點M的軌跡方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(1,4)．【例23】已知定點B3,0，點A在圓x+12+y2=4上運動，則線段A．x?12+y2C．x+12+y【答案】：A【分析】：根據(jù)中點關系，即可將A2x?3,2y【詳解】：設Mx,y，則A2x?3,2y，由于A2x?3,2y故2x?3+12+2y故選：A.題型三:與圓有關的最值問題A.的最大值為 B.的最小值為1【答案】AD【解析】即的最大值為，即的最小值為0，A對，B錯；如下圖所示：由圖可知，當點為射線與圓交點時，取最大值，故選：AD.【答案】A的幾何意義為圓上的點Px,y與坐標原點O0,0連線的斜率，如圖，過原點作圓的切線，當切線的斜率存在時，夯基*必備基礎知識梳理四直線與圓、圓與圓的位置關系直線與圓的位置關系1.三種位置關系：相交、相切、相離．2.兩種研究方法：①eq\x(\a\al(幾,何,法))eq\o(→,\s\up11(圓心到直線的距離為d),\s\do4(半徑為r))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＜r?相交，弦長l＝2\r(r2－d2),d＝r?相切,d＞r?相離))②eq\x(代數(shù)法)eq\o(→,\s\up11(聯(lián)立方程組消去xy),\s\do4(得一元二次方程，Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?相交,Δ＝0?相切,Δ＜0?相離))圓與圓的位置關系相離外切相交內(nèi)含圖形設圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0)．位置關系幾何法：圓心距d與r1，r2的關系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況相離d>r1＋r2無解外切d＝r1＋r2一組實數(shù)解相交|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實數(shù)解內(nèi)切d＝|r1－r