第04講離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征目錄01TOC\o"13"\h\u考情解碼?命題預(yù)警 202體系構(gòu)建·思維可視 303核心突破·靶向攻堅(jiān) 4知能解碼 4知識點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量的分布列 4知識點(diǎn)2離散型隨機(jī)變量的均值與方差 5題型破譯 6題型1離散型隨機(jī)變量的判斷 6題型2求離散型隨機(jī)變量的分布列 7題型3兩點(diǎn)分布 8題型4利用定義求離散型隨機(jī)變量的均值 9題型5離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì) 10題型6求離散型隨機(jī)變量的方差 11題型7均值與方差的綜合應(yīng)用 1204真題溯源·考向感知 1405課本典例·高考素材 15考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年（1）離散型隨機(jī)變量的分布列（2）離散型隨機(jī)變量的均值與方差（3）兩點(diǎn)分布單選題多選題填空題解答題2025年天津卷，第13題,5分考情分析：本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，特別是填空題中，更是經(jīng)常出現(xiàn)．隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和人工智能的發(fā)展，概率統(tǒng)計(jì)逐步成為應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)內(nèi)容之一．這部分內(nèi)容作為高考數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容之一，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為5分。復(fù)習(xí)目標(biāo)：1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念．2.理解并會求離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征知識點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量的分布列1．隨機(jī)變量隨機(jī)變量是將試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的某一個(gè)隨機(jī)事件．定義：一般地，對于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量，我們稱為離散型隨機(jī)變量，通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量，用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值.3.隨機(jī)變量和函數(shù)的關(guān)系隨機(jī)變量的定義與函數(shù)的定義類似，這里的樣本點(diǎn)ω相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量，而樣本空間Ω相當(dāng)于函數(shù)的定義域，不同之處在于Ω不一定是數(shù)集．4．離散型隨機(jī)變量的分布列離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于________________________________(1)離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱為分布列．(2)可以用表格來表示X的分布列，如下表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn還可以用圖形表示，如下圖直觀地表示了擲骰子試驗(yàn)中擲出的點(diǎn)數(shù)X的分布列，稱為X的概率分布圖．5．離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)(1)pi≥0，i＝1，2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.6．兩點(diǎn)分布對于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，用A表示“成功”，eq\o(A,\s\up6(－))表示“失敗”，定義X＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，A發(fā)生，,0，\o(A,\s\up6(－))發(fā)生.))如果P(A)＝p，則P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－p，那么X的分布列如表所示X01P1－pp我們稱X服從_______________或_______________．自主檢測某公園有甲、乙兩個(gè)相鄰景點(diǎn)，原擬定甲景點(diǎn)內(nèi)有2個(gè)A班同學(xué)和2個(gè)B班同學(xué)；乙景點(diǎn)內(nèi)有2個(gè)A班同學(xué)和3個(gè)B班同學(xué)，后由于某種原因，甲、乙兩個(gè)景點(diǎn)各有一個(gè)同學(xué)交換景點(diǎn)觀光，則甲景點(diǎn)恰有2個(gè)A班同學(xué)的概率為；甲景點(diǎn)A班同學(xué)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為．知識點(diǎn)2離散型隨機(jī)變量的均值與方差1．離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望正確地求出離散型隨機(jī)變量的分布列是求解期望的關(guān)鍵一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝______________________________為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱為期望．均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的_______________．2．兩點(diǎn)分布的期望一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p；3．離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)設(shè)X的分布列為P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n.一般地，下面的結(jié)論成立：E(aX＋b)＝aE(X)＋b．4．離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差正確求解隨機(jī)變量的方差的關(guān)鍵是正確求解分布列及其期望值設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn考慮X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，因?yàn)閄取每個(gè)值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來度量隨機(jī)變量X取值與其均值E(X)的_______________，我們稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，有時(shí)也記為Var(X)，并稱eq\r(D（X）)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X)．5．幾個(gè)常見的結(jié)論(1)D(aX＋b)＝a2D(X)．(2)若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)．自主檢測某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制，當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制，再次燒制過程相互獨(dú)立.根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5、0.6、0.4，經(jīng)過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6、0.5、0.75；則第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為；經(jīng)過前后兩次燒制后，合格工藝品的件數(shù)為X，則隨機(jī)變量X的期望為.題型1離散型隨機(jī)變量的判斷A．甲贏三局B．甲贏兩局C．甲、乙平局兩次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次例125件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是（

）A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B．取到正品的概率C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率判斷離散型隨機(jī)變量的方法(1)明確隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果．(2)將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化．(3)確定試驗(yàn)結(jié)果所對應(yīng)的實(shí)數(shù)是否可以一一列出，如能一一列出，則該隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量，否則不是．A．第5次擊中目標(biāo) B．第5次末擊中目標(biāo)C．前4次未擊中目標(biāo) D．第4次擊中目標(biāo)【變式訓(xùn)練13】從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，.（2）若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率.題型2求離散型隨機(jī)變量的分布列例21在某次世界乒乓球錦標(biāo)賽的團(tuán)體比賽中，中國隊(duì)將對陣韓國隊(duì)．比賽實(shí)行5局3勝制，根據(jù)以往戰(zhàn)績，中國隊(duì)在每一局中獲勝的概率都是．(1)求中國隊(duì)以的比分獲勝的概率；例22巴東一中組織慶五一教職工籃球活動，我們年級有10名教職工參加，其中有6名理科教師、4名文科教師，為活動的需要，要從這10名教師中隨機(jī)抽取3名教職工去買比賽服裝.(1)已知10名教師中有2名班主任，求抽取的3名中至少有1名班主任的概率；(2)設(shè)表示抽取的3名教師中文科教師的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟(1)首先確定隨機(jī)變量X的取值；(2)求出每個(gè)取值對應(yīng)的概率；(3)列表對應(yīng)，即為分布列．【變式訓(xùn)練21】袋子A和B中都裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從A中摸出1個(gè)紅球的概率是，從B中摸出1個(gè)紅球的概率為p.(1)若A，B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為1：2，將A，B中的球裝在一起后，從中摸出1個(gè)紅球的概率是，求p的值；(2)從A中有放回地摸球，每次摸出1個(gè)，有3次摸到紅球即停止.①求恰好摸5次停止的概率；②記5次之內(nèi)（含5次）摸到紅球的次數(shù)為，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【變式訓(xùn)練22·變考法】甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，賽前每人有3面小紅旗.一局比賽后輸者需給贏者一面小紅旗，若是平局不需要給小紅旗，當(dāng)其中一方無小紅旗時(shí)，比賽結(jié)束，有6面小紅旗者最終獲勝，根據(jù)以往的兩人比賽結(jié)果可知，在一局比賽中甲勝的概率為0.5，乙勝的概率為0.4．(1)若第一局比賽后甲的小紅旗個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若比賽一共進(jìn)行五局，求第一局是乙勝的條件下，甲最終獲勝的概率（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）．題型3兩點(diǎn)分布例32隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其分布列如下表所示：01則（

）A． B． C． D．或兩點(diǎn)分布的4個(gè)特點(diǎn)(1)兩點(diǎn)分布中只有兩個(gè)對應(yīng)結(jié)果，且兩結(jié)果是對立的；(2)兩點(diǎn)分布中的兩結(jié)果一個(gè)對應(yīng)1，另一個(gè)對應(yīng)0；(3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))；(4)在有多個(gè)結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)中，如果我們只關(guān)心一個(gè)隨機(jī)事件是否發(fā)生，就可以利用兩點(diǎn)分布來研究它．【變式訓(xùn)練31】下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量服從超幾何分布的是（

）．A．將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為B．盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，記第一次摸出黑球時(shí)摸取的次數(shù)為C．某射手的射擊命中率為0.8，現(xiàn)對目標(biāo)射擊1次，記命中的次數(shù)為D．從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機(jī)選出5名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為【變式訓(xùn)練32】下列說法正確的有．題型4利用定義求離散型隨機(jī)變量的均值X1234P123A． B． C． D．求隨機(jī)變量的均值關(guān)鍵是寫出分布列，一般分為四步：(1)確定X的可能取值；(2)計(jì)算出P(X＝k)；(3)寫出分布列；(4)利用E(X)的計(jì)算公式計(jì)算E(X)．【變式訓(xùn)練41】在兩個(gè)大小相同，距離不同的區(qū)域內(nèi)進(jìn)行投擲沙包的比賽，每人至多投3次．具體比賽規(guī)則如下：在距離較遠(yuǎn)的區(qū)域內(nèi)投一次特制沙包，投進(jìn)得5分，沒投進(jìn)不得分；在距離較近的區(qū)域內(nèi)投兩次普通沙包，每投進(jìn)一次得3分，沒投進(jìn)不得分，且得分高于5分則獲得相應(yīng)獎勵(lì)，若前兩次均投進(jìn)或均未投進(jìn)，都停止比賽．已知甲同學(xué)在距離較遠(yuǎn)的區(qū)域內(nèi)投中沙包的概率是，在距離較近的區(qū)域內(nèi)投中沙包的概率是，且每次是否投進(jìn)互不影響．(1)若甲同學(xué)先投特制沙包，求他投擲2次就停止該項(xiàng)比賽的概率；(2)為使獲得獎勵(lì)的概率最大，甲同學(xué)應(yīng)先投哪種沙包；(3)為使投中沙包累計(jì)得分的期望最大，甲同學(xué)應(yīng)先投哪種沙包．【變式訓(xùn)練42·變載體】某?？萍脊?jié)進(jìn)行答題競賽，滿分100分，現(xiàn)得到全校學(xué)生成績的頻率分布直方圖如圖所示：(1)求的值；(2)以每一組數(shù)據(jù)的中間值為代表，估計(jì)本次成績的平均值；012301題型5離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)離散型隨機(jī)變量性質(zhì)有關(guān)問題的解題思路【變式訓(xùn)練52】下列說法不正確的是（）A．在做回歸分析時(shí)，可以用決定系數(shù)刻畫模型的回歸效果，若越大，則說明模型擬合的效果越好題型6求離散型隨機(jī)變量的方差求離散型隨機(jī)變量的方差的類型及解決方法(1)已知分布列型(非兩點(diǎn)分布)：直接利用定義求解，先求均值，再求方差．(2)已知分布列是兩點(diǎn)分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解．(3)未知分布列型：求解時(shí)可先借助已知條件及概率知識求得分布列，然后轉(zhuǎn)化成(1)中的情況．【變式訓(xùn)練61】已知隨機(jī)變量的分布列為：123【變式訓(xùn)練62】現(xiàn)有三枚質(zhì)地均勻的骰子，分別為紅色?綠色和藍(lán)色.同時(shí)拋擲這三枚骰子，已知這三枚骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)之和為15，設(shè)紅色骰子擲出的點(diǎn)數(shù)為，綠色骰子擲出的點(diǎn)數(shù)為，下列結(jié)論中正確的是（

）【變式訓(xùn)練63】（2025·天津·二模）下列結(jié)論中，正確的選項(xiàng)個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)題型7均值與方差的綜合應(yīng)用(1)求甲同學(xué)2門課程均未取得優(yōu)秀成績的概率；(2)求甲同學(xué)取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)的分布列及均值.例72（2025·天津和平·調(diào)研）下列說法不正確的是（

）(1)均值體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小，在兩種產(chǎn)品相比較時(shí)，只比較均值往往是不恰當(dāng)?shù)?，還需比較它們的取值的離散程度，即通過比較方差，才能準(zhǔn)確地得出更恰當(dāng)?shù)呐袛啵?2)離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差之間存在著緊密的聯(lián)系，利用題目中所給出的條件，合理地列出方程或方程組求解，同時(shí)也應(yīng)注意合理選擇公式，簡化問題的解答過程．【變式訓(xùn)練72】某社團(tuán)共有12名成員，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．現(xiàn)從中隨機(jī)抽選2人參加數(shù)學(xué)知識問答．(1)若逐個(gè)抽選，求恰好第一個(gè)抽選的是男生的概率；(2)若恰好抽選了1名男生與1名女生，求這2人都是高二學(xué)生的概率；(3)若逐個(gè)抽選，求在第一次抽選到男生的條件下第二次也抽到男生的概率；【變式訓(xùn)練73】投擲均勻的骰子，每次投得的點(diǎn)數(shù)為1或2時(shí)得1分，投得的點(diǎn)數(shù)為3，4，5，6時(shí)得2分，獨(dú)立重復(fù)投擲一枚骰子若干次，將每次得分加起來的結(jié)果作為最終得分，則下列說法正確的是（

）1．（2007·天津·高考真題）已知甲盒內(nèi)有大小相同的3個(gè)紅球和4個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的5個(gè)紅球和4個(gè)黑球.現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球.(1)求取出的4個(gè)球均為紅球的概率；(2)求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率.2．（2006·天津·高考真題）某射手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，假設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為，且每次射擊的結(jié)果互不影響．(1)求射手在3次射擊中，至少有兩次連續(xù)擊中目標(biāo)的概率（用數(shù)字作答）；(2)求射手第3次擊中目標(biāo)時(shí)，恰好射擊了4次的概率（用數(shù)字作答）；(3)設(shè)隨機(jī)變量表示射手第3次擊中目標(biāo)時(shí)已射擊的次數(shù)，求的分布列．3．（2013·天津·高考真題）一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號分別為1，2，3，4；白色卡片3張，編號分別為2，3，4.從盒子中任取4張卡片（假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同）.（1）求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率.（2）在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.4．（2008·天津·高考真題）甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為.（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.5．（2012·天津·高考真題）現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.（Ⅰ）求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率；（Ⅱ）求這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；（Ⅲ）用X，Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.6．（2018·天津·高考真題）已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.7．（2017·天津·高考真題）從甲地到乙地要經(jīng)過個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，．（）設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和均值．（）若有輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這輛車共遇到個(gè)紅燈的概率．所以，這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為.9．（2005·天津·高考真題）某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項(xiàng)目，如果成功，一年后可獲利12%，一旦失敗，一年后將喪失全部資金的50%，下表是過去200例類似項(xiàng)目開發(fā)的實(shí)施結(jié)果：投資成功投資失敗192次8次則該公司一年后估計(jì)可獲收益的期望是（元）．1．一批產(chǎn)品共100件，其中有5件次品，現(xiàn)在從中任取10件檢查，求取到次品件數(shù)X的分布列（精確到0.001）.(1)求常數(shù)a的值；3．（1）下面是某同學(xué)求得的離散型隨機(jī)變量X的分布列．X?101P試說明該同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是否正確．（2）設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為：?101P①求q的值；5．全班有40名學(xué)生，某次數(shù)學(xué)作業(yè)的成績?nèi)缦拢悍謹(jǐn)?shù)012345人數(shù)01312204現(xiàn)從該班中任選一名學(xué)生，用X表示這名學(xué)生的數(shù)學(xué)作業(yè)成績，求隨機(jī)變量X的分布列．YP7．某商場為促銷組織了一次幸運(yùn)抽獎活動．袋中裝有18個(gè)除顏色外其余均相同的小球，其中8個(gè)是紅球，10個(gè)是白球．抽獎?wù)邚闹幸淮纬槌?個(gè)小球，抽到3個(gè)紅球得一等獎，抽到2個(gè)紅球得二等獎，抽到1個(gè)紅球得三等獎，抽到0個(gè)紅球不得獎．求得一等獎、二等獎和三等獎的概率．8．魚塘中只有