2025學(xué)年人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)大單元教學(xué)分層優(yōu)化練6.1.2點(diǎn)、線、面、體（基礎(chǔ)練+提升練+拓展練+達(dá)標(biāo)檢測）知識(shí)點(diǎn)1、點(diǎn)、線、面、體四者關(guān)系長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體,幾何體也簡稱體；包圍著體的是面,面有平的面和曲的面兩種；面和面相交的地方形成線，線也分為直線和曲線兩種；線和線相交的地方形成點(diǎn).從上面的描述中我們可以看出點(diǎn)、線、面、體之間的關(guān)系.此外，從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看：點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體.題型1點(diǎn)、線、面、體關(guān)系的判斷例1．下列現(xiàn)象中，能說明“線動(dòng)成面”的是（

）A．一個(gè)圓面沿著它的一條直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到球B．滑動(dòng)筆尖得到一條直線C．用掃帚掃地時(shí)，掃帚的刷毛掃過的區(qū)域D．天空劃過一道流星【變式11】．下列說法不正確的是（

）A．籃球的表面、水桶的側(cè)面都是曲面B．在中國地圖上，濟(jì)南可被看作一個(gè)點(diǎn)C．晴朗的夜空中一顆流星劃過，給我們留下一條美麗的亮線，這說明點(diǎn)動(dòng)成線D．正方體有八個(gè)頂點(diǎn)，經(jīng)過每個(gè)頂點(diǎn)有兩條面與面的交線【變式12】．將圓規(guī)的針尖固定在紙上，轉(zhuǎn)動(dòng)圓規(guī)時(shí)使鉛筆尖在紙上留下軌跡，這個(gè)過程用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋為．題型2判斷生活現(xiàn)象的數(shù)學(xué)原理例2．如圖，打開折扇時(shí)，隨著扇骨的移動(dòng)形成一個(gè)扇面，這種現(xiàn)象可以用數(shù)學(xué)原理解釋為．【變式21】．把筆尖放在紙上劃一下，就會(huì)出現(xiàn)一條線，用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋為點(diǎn)動(dòng)成線．打開折扇時(shí)，隨著扇骨的移動(dòng)形成一個(gè)扇面，這種現(xiàn)象可以用數(shù)學(xué)原理解釋為．【變式22】．生活中有如下現(xiàn)象：①用鋼筆寫字；②銀行大堂的旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周；③黑板擦在黑板上擦出一片干凈區(qū)域；④拋出一塊石子，石子在空中飛行的路線；⑤硬幣立在桌面上旋轉(zhuǎn)一周；⑥車輪上的鋼條繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)．其中能說明“點(diǎn)動(dòng)成線”的有；能說明“線動(dòng)成面”的有；能說明“面動(dòng)成體”的有．（均填序號(hào)）【變式23】．用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋下列現(xiàn)象：（1）武術(shù)操的歌曲中有一句“槍打一條線，棍掃一大片”，解釋為；（2）旋轉(zhuǎn)一扇門，門在空中運(yùn)動(dòng)的痕跡，解釋為．知識(shí)點(diǎn)2、平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的立體圖形1.根據(jù)“面動(dòng)成體”的原理，結(jié)合圖形特征進(jìn)行旋轉(zhuǎn)得到相應(yīng)的立體圖形2.簡單的幾何體的頂點(diǎn)、棱、面頂點(diǎn)、棱,、面的個(gè)數(shù)的關(guān)系如下頂點(diǎn)數(shù)加面的個(gè)數(shù)等于棱的數(shù)量加二題型3判斷平面圖形旋轉(zhuǎn)后形成的立體圖形的形狀例3．有一位同學(xué)手拿一枚硬幣，將其立在桌面上用力一轉(zhuǎn)，它看起來象一個(gè)球體，由此說明．【變式31】．把一枚硬幣豎立在桌面上并用力一轉(zhuǎn)，它形成的是一個(gè)球體，這種生活現(xiàn)象可以反映的數(shù)學(xué)原理是．【變式32】．圓柱可看作是由一個(gè)繞它的旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體；圓錐可看作是由一個(gè)繞它的旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體；球可看作是由一個(gè)繞它的旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體．【變式33】．長方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是.題型4判斷平面截幾何體后的截面形狀例4．分別指出圖中幾何體截面形狀的標(biāo)號(hào)．(1)(2)【變式41】．圖中各幾何體的截面分別是什么形狀？【變式42】．如圖1，一個(gè)五棱柱，它的底面邊長都是，側(cè)棱長都是．(1)這個(gè)五棱柱共多少個(gè)面？哪些面的形狀、面積完全相同？(2)如圖2，圖3，用一個(gè)平面去截該五棱柱，分別寫出圖2，圖3中截面的形狀．用任意一個(gè)平面去截五棱柱，寫出一個(gè)你認(rèn)為截面不可能出現(xiàn)的平面圖形．【變式43】．如圖，長方形的長為8，寬為4，將這個(gè)長方形分別繞它的長和寬旋轉(zhuǎn)一周，可以得到兩個(gè)圓柱．(1)這一現(xiàn)象用數(shù)學(xué)知識(shí)可以解釋為；(2)若用一個(gè)平面沿水平方向去截圓柱，所得的截面形狀是；(3)請通過計(jì)算說明，這兩個(gè)圓柱的體積有什么關(guān)系？題型5點(diǎn)、線、面數(shù)量的計(jì)算例5．課本重現(xiàn)：如圖，已知長方形的長為、寬為，將這個(gè)長方形分別繞它的長和寬所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到兩個(gè)圓柱甲、乙(1)甲乙圓柱體形成的過程可以解釋為________A．點(diǎn)動(dòng)成線

B．線動(dòng)成面

C．面動(dòng)成體①通過計(jì)算比較甲、乙圓柱體的側(cè)面積的大小關(guān)系②求甲圓柱體與乙圓柱體的體積比(3)請直接寫出甲、乙圓柱體的側(cè)面積有什么關(guān)系，體積比有什么關(guān)系？（用字母和表示）【變式51】．如圖，觀察圖1和表中對應(yīng)數(shù)值，探究計(jì)數(shù)的方法并作答．(1)數(shù)一數(shù)，每個(gè)圖各有多少個(gè)頂點(diǎn)，多少條邊，這些邊圍出多少區(qū)域，完成下表：圖1234頂點(diǎn)數(shù)478邊數(shù)69區(qū)域數(shù)3根據(jù)表中的數(shù)值，寫出平面圖的邊數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和區(qū)域數(shù)之間的一種關(guān)系：______．(2)如果一個(gè)平面圖有17個(gè)頂點(diǎn)和10個(gè)區(qū)域，那么利用（1）中得出的關(guān)系，則這個(gè)平面圖有______條邊．【變式52】．十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的一個(gè)有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式，請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：(1)根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格；多面體頂點(diǎn)數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）四面體44①________長方體8612正八面體②________812正十二面體2012③________你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是________．(2)一個(gè)多面體的面數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)小8，且有30條棱，則這多面體的頂點(diǎn)數(shù)是________；【變式53】．如圖，直角三角形紙片的兩條直角邊的長分別為a，b，將它分別繞直線（圖1）和直線（圖2）旋轉(zhuǎn)一周．(1)兩次旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體都是_____；題型6平面圖形旋轉(zhuǎn)成幾何體的計(jì)算例6．同一個(gè)圖形繞不同的軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，得到的幾何體一般不同．如圖是一個(gè)直角三角形．(1)當(dāng)該三角形繞著長為的邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)幾何體，請求出這個(gè)幾何體的體積（結(jié)果保留π）；(2)當(dāng)該三角形繞著長為的邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)幾何體，請求出這個(gè)幾何體的體積（結(jié)果保留π）．(2)若用平面沿方向去截所得的幾何體，所得截面形狀是______．(3)求截面的最大面積．(1)甲三角形（如圖2）旋轉(zhuǎn)一周，可以形成一個(gè)怎樣的幾何體？它的體積是多少立方厘米？(2)乙三角形（如圖3）旋轉(zhuǎn)一周，可以形成一個(gè)怎樣的幾何體？它的體積是多少立方厘米？【變式63】．小軍和小紅分別以直角梯形的上底和下底為軸，將梯形旋轉(zhuǎn)一周，得到的兩個(gè)立體圖形．(1)你同意___________的說法；(2)為了研究你的猜想是否正確，你需要求出兩個(gè)立體圖形的體積，請列式計(jì)算甲、乙立體圖形的體積？題型7旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算(1)如果繞著它的直角邊6所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積是多少？(2)如果繞著斜邊10所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積與繞著直角邊8所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積哪個(gè)大？通過計(jì)算說明理由．【變式72】．如圖所示，由直角三角形和正方形拼成的四邊形．(1)將這個(gè)四邊形繞圖中虛線旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個(gè)立體圖形，這能說明的事實(shí)是（選擇正確的一項(xiàng)序號(hào)）①點(diǎn)動(dòng)成線；②線動(dòng)成面；③面動(dòng)成體．題型8規(guī)律探索例8．找規(guī)律填空(1)一個(gè)正方體，用刀沿一個(gè)平面截去一個(gè)角后，所得的幾何體有__________個(gè)頂點(diǎn)．(2)下圖中每個(gè)正方體的棱長都是a厘米．各圖的表面積分別是多少？（按圖形順序依次將答案填在對應(yīng)的括號(hào)內(nèi)）（

）平方厘米；

（

）平方厘米；

（

）平方厘米；

（

）平方厘米；(3)觀察下面的幾個(gè)算式：【變式81】．在學(xué)習(xí)完第一章《豐富的圖形世界》后，小紅對棱柱的內(nèi)容進(jìn)行了歸納與思考：(1)【棱柱的性質(zhì)】一個(gè)棱柱的命名是由底面邊數(shù)決定的，而面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)都與它的底面邊數(shù)有關(guān)，一個(gè)六棱柱有________個(gè)面，________個(gè)頂點(diǎn)，________條棱．(2)【棱柱的展開】由于正方體的表面沿某些棱剪開可以展開成一個(gè)平面圖形，發(fā)現(xiàn)每一次都剪開了7條棱，小紅又嘗試將其他棱柱的表面沿某些棱剪開展開成一個(gè)平面圖形，記錄如下：剪開棱的條數(shù)保留棱的條數(shù)三棱柱54四棱柱75五棱柱96………根據(jù)以上規(guī)律，二十棱柱要剪開________條棱．(3)【棱柱的截面】用平面截一個(gè)正方體將其分為兩個(gè)幾何體，當(dāng)截面是三角形時(shí)，所分出的兩個(gè)幾何體的頂點(diǎn)總個(gè)數(shù)可能是________．（填序號(hào)）①8

②9

③10

④11

⑤12

⑥13

⑦14

⑧15

⑨16

⑩17【變式82】．回答下列問題：（1）如圖所示的甲、乙兩個(gè)平面圖形能折什么幾何體？（2）由多個(gè)平面圍成的幾何體叫做多面體．若一個(gè)多面體的面數(shù)為f，頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為v，棱數(shù)為e，分別計(jì)算第（1）題中兩個(gè)多面體的f+v﹣e的值？你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（3）應(yīng)用上述規(guī)律解決問題：一個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)比面數(shù)大8，且有50條棱，求這個(gè)幾何體的面數(shù)．【變式83】．如圖，是按規(guī)律擺放在墻角的一些小正方體，從上往下分別記為第一層，第二層，第三層…第n層…(1)第三層有______個(gè)小正方體．(2)從第四層至第六層（含第四層和第六層）共有______個(gè)小正方體．(3)第n層有______個(gè)小正方體．(4)若每個(gè)小正方體邊長為a分米，共擺放了5層，則要將擺放的小正方體能看到的表面部分涂上防銹漆，則防銹漆的總面積為______分米2．例9．（認(rèn)識(shí)概念）簡單的凸多面體是指由若干個(gè)平面多邊形圍成，這些多邊形稱為面，相鄰面的公共邊稱為多面體的棱，棱與棱的交點(diǎn)稱為頂點(diǎn)．十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)（）、面數(shù)（）、棱數(shù)（）之間存在關(guān)系，后人把三者關(guān)系等式稱為歐拉公式．結(jié)合你的知識(shí)積累，直接回答下列問題：（總結(jié)與應(yīng)用）（1）歐拉公式：__________________．（用字母表示即可）（2）一個(gè)正二十面體有30條棱，直接回答它的頂點(diǎn)數(shù)是______．（深度探究）下圖是一個(gè)凸多面體，此多面體是由若干個(gè)黑色的正五邊形和白色的正六邊形圍成的（它像不像一個(gè)足球，你會(huì)相信這是老師畫出來的嗎？）．直接回答下列問題：設(shè)黑色的正五邊形有x塊．則（3）正六邊形有______塊（用含x的式子直接回答）（4）此凸多面體的棱數(shù)為______條．（用含x的式子直接回答）材料組準(zhǔn)備了圖3的三種類型的卡紙供選擇，規(guī)格如表：卡紙型號(hào)型號(hào)I型號(hào)II型號(hào)Ⅲ卡紙規(guī)格（單位：）任務(wù)一：（1）請幫設(shè)計(jì)組在圖2中把兩張?jiān)O(shè)計(jì)稿補(bǔ)充完整（各一種方案即可）；任務(wù)三：①型號(hào)II的卡片最多可以剪出___________個(gè)圖1的心愿語盒的展開圖；②型號(hào)III的卡片最多可以剪出___________個(gè)圖1的心愿語盒的展開圖，請你在型號(hào)III的卡紙上，畫出此方案（只畫外輪廓即可）．【變式92】5．【問題情境】《制作無蓋的長方體紙盒》是北師大版七上的課題學(xué)習(xí)，某綜合實(shí)踐小組在學(xué)習(xí)了這一課后，開展了“長方體紙盒的制作”實(shí)踐活動(dòng)．【問題解決】(1)如圖所示圖形中，是無蓋正方體的表面展開圖的是______．（填序號(hào)）(3)若一個(gè)無蓋長方體的長、寬、高分別為6，4，3，它缺一個(gè)長為6、寬為4的長方體底面，將它的表面沿某些棱剪開，展開成一個(gè)平面圖形，請計(jì)算長方體表面展開圖的最大外圍周長？(2)如果要求折成的禮品盒的兩個(gè)相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應(yīng)選擇的紙盒展開圖圖樣是________．(3)今有兩種不同型號(hào)的矩形卡紙，其規(guī)格、單價(jià)如表所示：卡紙型號(hào)型號(hào)I型號(hào)II規(guī)格（單位：）單價(jià)（單位：元）35一、單選題（每小題3分，共24分）1．朱自清的《春》一文里，在描寫春雨“像牛毛，像細(xì)絲，密密地斜織著”的語句中，可以看作哪項(xiàng)幾何知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用？（）A．點(diǎn)動(dòng)成線 B．線動(dòng)成面 C．面動(dòng)成體 D．以上答案都不正確2．把一張紙折疊，展開后得到一條折痕，這個(gè)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)知識(shí)可解釋為（

）A．面與面相交成線 B．線動(dòng)成面 C．面動(dòng)成體 D．點(diǎn)動(dòng)成線3．如圖的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的幾何體是（

）A． B． C． D．4．用一個(gè)平面去截正方體，截面最多可以是（

）邊形．A．四 B．五 C．六 D．七5．用平面去截下列幾何體，截面的形狀可能是三角形的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)A． B． C． D．7．下面（）圖形旋轉(zhuǎn)就會(huì)形成圓錐．A． B． C．8．如圖，分別以直角梯形的下底和上底所在的直線為軸，將梯形旋轉(zhuǎn)一周得到A，B兩個(gè)幾何體，則，兩個(gè)幾何體的體積之比是（

）A． B． C． D．二、填空題（每小題4分，共20分）9．向空中扔一塊小石子，小石子經(jīng)過的路線用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋為點(diǎn)動(dòng)成線．下雨時(shí)，司機(jī)會(huì)打開雨刷器，雨刷器在運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)形成一個(gè)扇面，這用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋為．11．如圖，往一個(gè)密封的正方體容器持續(xù)注入一些水，注水的過程中，可將容器任意放置，會(huì)出現(xiàn)很多多邊形，但水平面形狀不可能出現(xiàn)的多邊形是（寫出一個(gè)即可）．12．如圖，正三棱柱的底面周長為，截去一個(gè)底面周長為的正三棱柱，截面的形狀是，截后剩下的幾何體的底面周長為．13．如圖是一根橫截面為正方形的長方體木料，表面積為74平方厘米，鋸去一個(gè)正方體后，剩下的長方體表面積為54平方厘米．鋸下正方體木料的表面積是平方厘米．三、解答題（每小題8分，共56分）14．觀察下圖中的圓柱，回答下列問題：(1)該圓柱由幾個(gè)面組成？這些面是平的還是曲的？(2)該圓柱的側(cè)面與底面相交形成了幾條線？這些線是直的還是曲的？方案一：以較長的一組對邊中點(diǎn)所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，如圖①．方案二：以較短的一組對邊中點(diǎn)所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，如圖②．請通過計(jì)算說明哪種方案得到的幾何體的體積大．（結(jié)果保留）16．課本重