2025年專升本理工科專業(yè)線性代數(shù)強化訓練（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項選擇題：本大題共5小題，每小題2分，共10分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)矩陣A=[a??]，B=[b??]，則矩陣AB=[c??]中，c??等于（）。（A）a??b??+a??b??+a??b??（B）a??b??+a??b??+a??b??（C）a??b??+a??b??+a??b??（D）a??b??+a??b??+a??b??2.已知向量α=(1,k,2)?與β=(0,-1,1)?線性無關(guān)，則實數(shù)k的取值是（）。（A）-1/2（B）1/2（C）-2（D）23.設(shè)A是n階矩陣，若存在非零向量x使得Ax=0，則（）。（A）A是零矩陣（B）A是可逆矩陣（C）|A|=0（D）|A|≠04.已知齊次線性方程組Ax=0有非零解，則其系數(shù)矩陣A的秩r(A)滿足（）。（A）r(A)=0（B）r(A)=n（n為方程組未知數(shù)個數(shù)）（C）r(A)<n（D）r(A)>n5.設(shè)矩陣A與B相似，則必有（）。（A）|A|=|B|（B）A與B都可逆（C）A與B的特征值相同（D）A與B的秩相同二、填空題：本大題共5小題，每小題2分，共10分。6.行列式|A|中，元素a??的代數(shù)余子式A??與元素a??的代數(shù)余子式A??的比值為________。7.設(shè)A是3階矩陣，且|A|=2，則|3A|=________。8.向量組α?=(1,0,0)?，α?=(0,1,0)?，α?=(1,1,1)?的秩為________。9.設(shè)非齊次線性方程組Ax=b有無窮多解，則矩陣A的秩r(A)與增廣矩陣(A,b)的秩r(A,b)滿足關(guān)系________。10.二次型f(x?,x?)=x?2+2x?x?+3x?2的矩陣表示式為________。三、計算題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。11.計算行列式|A|的值，其中A=|123;012;111|。12.設(shè)矩陣A=|1-12;02-1;311|，求矩陣A的逆矩陣A?1。13.求向量組α?=(1,1,2)?，α?=(1,3,0)?，α?=(2,2,5)?的秩，并判斷其線性相關(guān)性。14.求線性方程組x?+2x?-x?=1，2x?+5x?-3x?=2，3x?-x?-2x?=0的解。四、證明題：本大題共2小題，每小題10分，共20分。15.設(shè)向量組α?，α?，α?線性無關(guān)，證明向量組α?+α?，α?+α?，α?+α?也線性無關(guān)。16.設(shè)矩陣A可逆，證明其伴隨矩陣A*也可逆，并求A*的逆矩陣。---試卷答案一、單項選擇題：1.(A)2.(D)3.(C)4.(C)5.(A)二、填空題：6.-17.548.39.r(A)=r(A,b)<n（n為方程組未知數(shù)個數(shù)）10.[11;13]三、計算題：11.解：|A|=1×(1×1-2×1)-2×(0×1-2×1)+3×(0×1-1×1)=1×(-1)-2×(-2)+3×(-1)=-1+4-3=0。12.解：|A|=1×(2×1-(-1)×1)-(-1)×(0×1-(-1)×3)+2×(0×1-2×3)=1×(2+1)+1×(0+3)+2×(0-6)=3+3-12=-6。由于|A|≠0，A可逆。A?1=(1/|A|)*Adj(A)。Adj(A)=|A|*[A<0xE2><0x82><0x99>],其中A<0xE2><0x82><0x99>是A的余子式矩陣轉(zhuǎn)置。A<0xE2><0x82><0x99>=|1-1;2-1|,|01;31|,|-12;11|=|-12;-11|,|2-1;11|,|-11;31|=[-12;-11],[2-1;11],[-11;31]=[-1-1;21],[21;-11],[-11;31]Adj(A)=|-1-12;21-1;-113|A?1=(-1/6)*|-1-12;21-1;-113|=[1/61/6-1/3;-1/3-1/61/3;1/6-1/6-1/2]13.解：對向量組構(gòu)成的矩陣A進行行變換：[112;130;225]→[112;02-2;001]行列式不為零，或行變換后非零行數(shù)為3，故向量組秩為3。當秩為3時，向量組線性無關(guān)。14.解：增廣矩陣(A,b)=[12-11;25-32;3-1-20]→[12-11;01-10;0-71-3]→[12-11;01-10;00-6-3]→[12-11;01-10;0011/2]→[1203/2;0101/2;0011/2]→[1001;0101/2;0011/2]對應(yīng)方程組為x?=1,x?=1/2,x?=1/2。解為x?=1,x?=1/2,x?=1/2。四、證明題：15.證明：設(shè)存在常數(shù)k?,k?,k?使得(k?,k?,k?)*[α?+α?;α?+α?;α?+α?]=0，即k?(α?+α?)+k?(α?+α?)+k?(α?+α?)=0。展開k?α?+k?α?+k?α?+k?α?+k?α?+k?α?=0。合并同類項(k?+k?)α?+(k?+k?)α?+(k?+k?)α?=0。由于α?,α?,α?線性無關(guān)，系數(shù)必全為零：{k?+k?=0{k?+k?=0{k?+k?=0解此齊次方程組，得k?=k?=k?=0。故α?+α?,α?+α?,α?+α?線性無關(guān)。16.證明：方法一：由于A可逆，|A|≠0。A*=|A|*A?1。因為|A|≠0且A?1可逆，所以A*也可逆，且(A*)?1=(1/|A|)*A=A?1*(1/|A|)=(1/|A|)*A?1=A?1