2025年下學期高二數(shù)學開放題思維拓展試題（二）一、函數(shù)與導數(shù)開放題背景描述某科技公司研發(fā)的智能溫控系統(tǒng)中，室溫調節(jié)函數(shù)模型為(f(x)=ae^{kx}+bx+c)，其中(x)為調節(jié)時間（單位：分鐘），(f(x))為室溫（單位：℃）。系統(tǒng)啟動時（(x=0)）室溫為20℃，啟動后10分鐘達到25℃，且在調節(jié)過程中存在唯一極值點。問題設計若(a=1)，試確定參數(shù)(k,b,c)的取值范圍，使函數(shù)(f(x))滿足上述背景條件；若極值點出現(xiàn)在第5分鐘，且此時室溫為22℃，求函數(shù)(f(x))的解析式，并分析該函數(shù)在([0,20])上的單調性；結合實際應用，說明參數(shù)(a,k,b)對室溫調節(jié)效果的影響（至少列舉3個角度）。解題思路提示第1問需結合初始條件（(f(0)=20)、(f(10)=25)）和極值點存在性（(f'(x)=0)有唯一解）構建不等式組；第2問可通過極值點處導數(shù)為0（(f'(5)=0)）、函數(shù)值(f(5)=22)建立方程組求解；第3問可從調節(jié)速度（導數(shù)絕對值）、穩(wěn)定性（二階導數(shù)符號）、能耗成本（參數(shù)絕對值與調節(jié)時間的關系）等角度分析。二、立體幾何開放題背景描述在智慧城市建設中，某小區(qū)規(guī)劃了一個底面為正六邊形的直棱柱體公共活動中心，底面邊長為4米，側棱長為6米。現(xiàn)需在棱柱內部設計一個“觀景平臺”，平臺由兩個全等的四棱錐組成，且四棱錐的底面與棱柱底面重合，頂點分別在棱柱上、下底面中心的連線上。問題設計若兩個四棱錐的頂點間距為3米，求每個四棱錐的體積；試設計四棱錐的頂點位置，使平臺的表面積（不含底面）最大，并說明理由；若在棱柱側面開一個矩形出入口，矩形的一邊在棱柱的側棱上，另一邊在底面六邊形的邊上，求出入口面積的最大值。解題思路提示第1問需建立空間直角坐標系，計算正六邊形中心到頂點的距離（即四棱錐底面外接圓半徑）；第2問可設頂點到底面距離為(h)，用(h)表示四棱錐的斜高，進而建立表面積關于(h)的函數(shù)；第3問需分類討論矩形一邊在六邊形的邊或對角線上，利用三角函數(shù)求最值。三、概率與統(tǒng)計開放題背景描述某電商平臺為提升用戶滿意度，隨機抽取1000名用戶進行調查，得到用戶對“物流速度”和“售后服務”的評分數(shù)據（滿分10分），統(tǒng)計結果如下表（單位：人）：售后服務評分物流速度評分6分以下6-8分8分以上合計6分以下5080201506-8分1004001506508分以上3070100200問題設計若從評分數(shù)據中隨機選取1人，求其“物流速度評分不低于8分”的概率；以“售后服務評分是否高于8分”為標準，將用戶分為兩類，試判斷“物流速度評分是否高于8分”與“售后服務評分是否高于8分”是否獨立（寫出卡方檢驗的關鍵步驟，(\alpha=0.05)，臨界值(3.841)）；假設物流速度評分(X)服從正態(tài)分布(N(\mu,\sigma^2))，且(P(X\leq6)=0.2)，(P(X\geq8)=0.3)，求(\mu)和(\sigma)的近似值，并預測該平臺10萬用戶中物流速度評分在7-9分的人數(shù)。解題思路提示第1問需計算“物流速度8分以上”的總人數(shù)（20+150+100=270）；第2問需構建2×2列聯(lián)表，計算卡方值(\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})；第3問利用正態(tài)分布對稱性（(P(X\leq6)=P(X\geq2\mu-6))）和查表法求(\mu,\sigma)。四、數(shù)列與不等式開放題背景描述某環(huán)保企業(yè)研發(fā)的污水處理設備，每月處理污水量（單位：噸）構成數(shù)列({a_n})，設備啟用第1個月處理量為1000噸，且滿足(a_{n+1}=pa_n+q)（(p,q)為常數(shù)）。已知前3個月的處理量總和為3600噸。問題設計若數(shù)列({a_n})為遞增數(shù)列，求(p,q)的取值范圍；若(p=1.2)，試判斷該數(shù)列是否存在極限，若存在求出極限值，若不存在說明理由；若企業(yè)目標為“第12個月處理量超過5000噸”，且(q=200)，求(p)的最小整數(shù)值。解題思路提示第1問需結合(a_1=1000)、(a_1+a_2+a_3=3600)及(a_{n+1}>a_n)構建不等式組；第2問需分(|p|<1)（極限存在）和(|p|\geq1)（極限不存在）討論；第3問可先求遞推數(shù)列的通項公式（(a_n=p^{n-1}(a_1+\frac{q}{p-1})-\frac{q}{p-1})），再解不等式(a_{12}>5000)。五、解析幾何開放題背景描述某城市公園的人工湖為橢圓形，以湖中心為原點建立平面直角坐標系，橢圓方程為(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）。現(xiàn)計劃在湖面上修建一座“曲橋”，橋身為橢圓的一條動弦(AB)，且橋的中點(M)在直線(y=x)上運動。問題設計若橢圓的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，焦距為4，求橢圓方程；若弦(AB)所在直線的斜率為1，求弦長(|AB|)的最大值；若橋身(AB)與橢圓的短軸垂直，試設計中點(M)的位置，使橋的兩端點(A,B)到橢圓右焦點的距離之和最小，并求出最小值。解題思路提示第1問利用離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})和焦距(2c=4)求(a,b)；第2問可設中點(M(t,t))，利用點差法求弦長(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2})；第3問需結合橢圓定義（(|AF|+|BF|=2a+|MF|-|MF|)，其中(F)為右焦點）轉化為距離最小值問題。六、數(shù)學建模開放題背景描述某農場計劃在一塊矩形土地（長100米，寬80米）上種植A、B兩種作物，A作物每畝產量500公斤，成本2000元，B作物每畝產量300公斤，成本1500元。農場預算總成本不超過5萬元，且A作物種植面積不低于B作物的1.5倍。問題設計建立總利潤(W)（單位：元）關于A、B作物種植面積（單位：畝）的函數(shù)模型（1畝≈666.67平方米）；若市場價格A作物為8元/公斤，B作物為12元/公斤，求總利潤的最大值及對應的種植方案；若考慮作物生長周期（A作物3個月，B作物2個月），且農場全年可種植3季，試重新設計種植方案，使全年總利潤最大（假設土地可重復利用，成本與產量不變）。解題思路提示第1問需注意單位換算（平方米→畝），利潤=收入-成本=（產量×價格-成本）×面積；第2問為線性規(guī)劃問題，可設A作物種植(x)畝，B作物種植(y)畝，列出約束條件(2000x+1500y\leq50000)、(x\geq1.5y)、(x,y\geq0)；第3問需考慮周期組合（如A作物1季+B作物1季、B作物3季等），計算不同組合的全年利潤。七、三角函數(shù)與解三角形開放題背景描述某無人機在距離地面200米的高度沿水平方向飛行，在A處觀測地面目標P的俯角為30°，繼續(xù)飛行10秒后到達B處，觀測目標P的俯角為45°。假設無人機飛行速度恒定，且飛行路線與目標P在同一鉛垂平面內。問題設計求無人機的飛行速度（精確到0.1米/秒）；若無人機在B處改變航向，以原速度沿俯角60°方向下降，求到達地面時與目標P的距離；若目標P為一圓形區(qū)域（半徑5米），無人機需在距離地面100米高度拍攝該區(qū)域，求拍攝視角（相機鏡頭夾角）的最小值（精確到0.01°）。解題思路提示第1問可通過解直角三角形（設水平距離為(x)，利用(\tan30°=\frac{200}{x})、(\tan45°=\frac{200}{x-vt})求解）；第2問需計算無人機下降的水平距離和垂直距離，利用余弦定理求與P的距離；第3問拍攝視角最小值對應相機鏡頭恰好覆蓋圓形區(qū)域，此時視角(\theta)滿足(\tan\frac{\theta}{2}=\frac{5}{100})。八、排列組合與二項式定理開放題背景描述某密碼鎖的解鎖序列由6位字符組成，字符可從數(shù)字（0-9）、大寫字母（A-Z）、小寫字母（a-z）中選取，且需滿足：①至少包含兩種字符類型；②任意連續(xù)3位字符不相同。問題設計求符合條件的解鎖序列的總數(shù)；若序列中數(shù)字、大寫字母、小寫字母的個數(shù)分別為2,2,2，求滿足條件的序列數(shù)；在第2問的條件下，求序列中恰好出現(xiàn)2個“對稱字符”（如A與a、B與b等）的概率。解題思路提示第1問需用排除法：總序列數(shù)-單一字符類型序列數(shù)-連續(xù)3位相同的序列數(shù)（注意容斥原理