2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)空間向量再探測試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在三棱柱ABC-A?B?C?中，設(shè)$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol$，$\overrightarrow{AA?}=\boldsymbol{c}$，N為BC?的中點，則$\overrightarrow{A?N}=$（）A.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol+\boldsymbol{c}$B.$-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol+\boldsymbol{c}$C.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol-\boldsymbol{c}$D.$-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol-\boldsymbol{c}$已知兩平面的法向量分別為$\boldsymbol{n?}=(0,-1,0)$，$\boldsymbol{n?}=(0,1,1)$，則兩平面的夾角為（）A.45°B.135°C.45°或135°D.90°在平行六面體ABCD-A?B?C?D?中，M，N分別是線段A?B，B?D?上的點，且$A?M=\frac{1}{3}A?B$，$B?N=\frac{1}{3}B?D?$，若$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{m}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{n}$，$\overrightarrow{AA?}=\boldsymbol{p}$，則$\overrightarrow{MN}=$（）A.$\frac{1}{3}\boldsymbol{m}+\frac{1}{3}\boldsymbol{n}-\boldsymbol{p}$B.$-\frac{1}{3}\boldsymbol{m}+\frac{1}{3}\boldsymbol{n}+\boldsymbol{p}$C.$\frac{1}{3}\boldsymbol{m}-\frac{1}{3}\boldsymbol{n}+\boldsymbol{p}$D.$-\frac{1}{3}\boldsymbol{m}-\frac{1}{3}\boldsymbol{n}+\boldsymbol{p}$在三棱錐O-ABC中，D為棱BC上一點，且滿足DC=3BD，E為線段AD的中點，設(shè)$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol$，$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$，則$\overrightarrow{OE}=$（）A.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{3}{8}\boldsymbol+\frac{1}{8}\boldsymbol{c}$B.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{8}\boldsymbol+\frac{3}{8}\boldsymbol{c}$C.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{3}{8}\boldsymbol+\frac{1}{8}\boldsymbol{c}$D.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{8}\boldsymbol+\frac{3}{8}\boldsymbol{c}$已知空間向量$\boldsymbol{a}=(1,2,-1)$，$\boldsymbol=(x,1,2)$，$\boldsymbol{c}=(2,y,-2)$，若$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol$且$\boldsymbol\parallel\boldsymbol{c}$，則$x+y$的值為（）A.-5B.-3C.3D.5在直三棱柱ABC-A?B?C?中，∠ABC=60°，AB=2，BC=CC?=1，D為AC的中點，則$\overrightarrow{AB?}\cdot\overrightarrow{CD}=$（）A.$-\frac{3}{2}$B.$\frac{3}{2}$C.$-\frac{5}{2}$D.$\frac{5}{2}$《九章算術(shù)》中將四個面都為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”。如圖，在鱉臑P-ABC中，PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，PA=PB=BC=1，D為PC的中點，BE=2EA，則$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DE}=$（）A.$-\frac{1}{6}$B.$\frac{1}{6}$C.$-\frac{1}{3}$D.$\frac{1}{3}$在棱長為2的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，直線EF與BC所成角的余弦值為（）A.$\frac{\sqrt{2}}{4}$B.$\frac{\sqrt{3}}{4}$C.$\frac{\sqrt{6}}{4}$D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）下圖是一個機器人手臂的示意圖，該手臂分為三段，分別可用向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol$，$\boldsymbol{c}$代表，用向量$\boldsymbolrjrr1nb$代表整條手臂，則$\boldsymbol31j1h51=$__________。在三棱柱ABC-A?B?C?中，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol$，$\overrightarrow{AA?}=\boldsymbol{c}$，M為B?C?的中點，則$\overrightarrow{AM}=$__________（用$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol$，$\boldsymbol{c}$表示）。已知空間三點A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則點A到平面ABC的距離為__________。在正方體ABCD-A?B?C?D?中，棱長為1，P是正方形A?B?C?D?內(nèi)部（含邊界）的一個動點，若$\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{BD?}$，則三棱錐P-ABD外接球的表面積為__________。三、解答題（本大題共6小題，共90分）（14分）如圖，在三棱柱ABC-A?B?C?中，AB⊥側(cè)面BB?C?C，E為棱CC?上異于C，C?的一點，EA⊥EB?。已知AB=$\sqrt{2}$，BB?=2，BC=1，∠BCC?=$\frac{\pi}{3}$。（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并求各點的坐標(biāo)；（2）求CE的長度。（14分）在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點。（1）化簡：$\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$；（2）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；（3）設(shè)EG、FH交于點O，求證：$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\boldsymbol{0}$。（15分）如圖，在空間四邊形OABC中，OA=OB=4，OC=3，∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°，D為棱BC上一點，且DC=3BD，E為線段AD的中點。（1）試用向量$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol$，$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$表示向量$\overrightarrow{OE}$；（2）求$\overrightarrow{OE}\cdot\overrightarrow{BC}$的值。（15分）在直三棱柱ABC-A?B?C?中，D為AC的中點，∠ABC=60°，AB=2，BC=CC?=1。（1）求證：AB?⊥BC?；（2）求直線AB?與平面A?BC?所成角的正弦值。（16分）如圖，在平行六面體ABCD-A?B?C?D?中，以頂點A為端點的三條棱的長度都為2，且∠BAD=∠BAA?=∠DAA?=60°。（1）求AC?的長度；（2）求異面直線AC?與BD所成角的余弦值；（3）求平面ABCD與平面A?BD所成銳二面角的余弦值。（16分）如圖，在棱長為a的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，設(shè)$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{m}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{n}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{p}$。（1）求$\overrightarrow{EF}$（用$\boldsymbol{m}$，$\boldsymbol{n}$，$\boldsymbol{p}$表示）；（2）求直線EF和CD夾角的正弦值；（3）若G為CD的中點，H為△BCD的重心，求證：AH⊥平面EFG。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（部分提示）一、選擇題B提示：$\overrightarrow{A?N}=\overrightarrow{A?A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=-\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC?})=-\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}(\boldsymbol-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c})=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol+\boldsymbol{c}$A提示：$\cos\theta=|\frac{\boldsymbol{n?}\cdot\boldsymbol{n?}}{|\boldsymbol{n?}||\boldsymbol{n?}|}|=\frac{1}{\sqrt{2}}$，夾角為45°B提示：$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA?}+\overrightarrow{A?B?}+\overrightarrow{B?N}=-\frac{1}{3}\boldsymbol{m}+\boldsymbol{m}+\frac{1}{3}(\boldsymbol{n}-\boldsymbol{m})=-\frac{1}{3}\boldsymbol{m}+\frac{1}{3}\boldsymbol{n}+\boldsymbol{p}$B提示：$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\boldsymbol-\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}(\boldsymbol{c}-\boldsymbol)=-\boldsymbol{a}+\frac{3}{4}\boldsymbol+\frac{1}{4}\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{8}\boldsymbol+\frac{3}{8}\boldsymbol{c}$A提示：由$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol$得$x+2-2=0\Rightarrowx=0$；由$\boldsymbol\parallel\boldsymbol{c}$得$\frac{0}{2}=\frac{1}{y}=\frac{2}{-2}\Rightarrowy=-1$，$x+y=-1$C提示：建立坐標(biāo)系，$\overrightarrow{AB?}=(2,-\frac{\sqrt{3}}{2},1)$，$\overrightarrow{CD}=(\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},0)$，數(shù)量積為$-\frac{5}{2}$A提示：以P為原點建系，$\overrightarrow{AC}=(1,1,0)$，$\overrightarrow{DE}=(\frac{1}{2},-\frac{1}{6},-\frac{1}{2})$，數(shù)量積為$-\frac{1}{6}$C提示：設(shè)$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}-\boldsymbol)$，$\overrightarrow{BC}=\boldsymbol-\boldsymbol{a}$，夾角余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$二、填空題$\boldsymbol{a}+\boldsymbol+\boldsymbol{c}$$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol+\boldsymbol{c}$$\frac{\sqrt{3}}{3}$提示：平面ABC的法向量$\boldsymbol{n}=(1,1,1)$，距離$d=\frac{|\overrightarrow{OA}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$\frac{3\pi}{2}$提示：P的軌跡為線段B?D?，外接球直徑為AB=√2，表面積$4\pi(\frac{\sqrt{2}}{2})2=2\pi$（注：原答案可能需修正，此處按正方體性質(zhì)推導(dǎo)）三、解答題（部分步驟提示）（1）以B為原點，BC為x軸，BB?為y軸，BA為z軸建系，$B(0,0,0)$，$C(1,0,0)$，$B?(0,2,0)$，$A(0,0,\sqrt{2})$，$C?(1,2,0)$，設(shè)$E(1,t,0)$；（2）由$\overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{EB?}=0$得$t=1$，CE=1。（1）$\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{AH}$；（2）$\overrightarrow{EH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{FG}$；（3）$\overrightarrow{OA}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$。（2）$\overrightarrow{OE}\cdot\overrightarrow{BC}=(\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{8}\boldsymbol+\frac{3}{8}\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{c}-\boldsymbol)=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol+\frac{1}{8}\boldsymbol\cdot\boldsymbol{c}-\frac{1}{8}|\boldsymbol|2+\frac{3}{