2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)每日一練（Day9）一、單項(xiàng)選擇題（每題5分，共60分）函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$在區(qū)間$[0,2]$上的最大值為（）A.0B.2C.$\frac{2\sqrt{3}}{9}$D.$\frac{4}{27}$曲線$y=e^x-2x$在點(diǎn)$(0,1)$處的切線方程為（）A.$y=-x+1$B.$y=x+1$C.$y=-2x+1$D.$y=2x+1$已知函數(shù)$f(x)=\lnx-ax$在區(qū)間$(1,e)$上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$(-\infty,1]$B.$(-\infty,\frac{1}{e}]$C.$[1,+\infty)$D.$[\frac{1}{e},+\infty)$若函數(shù)$f(x)=x^3+bx^2+cx+d$的圖像過(guò)點(diǎn)$(0,2)$，且在$x=-1$處的切線方程為$y=3x+1$，則$b+c+d$的值為（）A.4B.5C.6D.7如圖所示，在正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，棱長(zhǎng)為2，$E$為$BC$的中點(diǎn)，則三棱錐$A_1-B_1ED$的體積為（）A.$\frac{2}{3}$B.$\frac{4}{3}$C.2D.$\frac{8}{3}$已知直線$l$與平面$\alpha$所成角為$30^\circ$，直線$m\subset\alpha$，則直線$l$與$m$所成角的取值范圍是（）A.$[0^\circ,60^\circ]$B.$[30^\circ,90^\circ]$C.$[60^\circ,90^\circ]$D.$[30^\circ,60^\circ]$在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)$A(1,0,2)$，$B(2,1,-1)$，則向量$\overrightarrow{AB}$與平面$yOz$所成角的正弦值為（）A.$\frac{\sqrt{6}}{6}$B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$\frac{\sqrt{6}}{3}$一個(gè)正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為4，底面邊長(zhǎng)為2，則其外接球的表面積為（）A.$\frac{28\pi}{3}$B.$\frac{40\pi}{3}$C.$16\pi$D.$20\pi$在區(qū)間$[0,2]$上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)$x,y$，則事件"$x+y\leq1$"發(fā)生的概率為（）A.$\frac{1}{8}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{3}{4}$某射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊命中10環(huán)的概率為0.8，現(xiàn)連續(xù)射擊5次，則恰有3次命中10環(huán)的概率為（）A.$C_5^3\times0.8^3\times0.2^2$B.$C_5^3\times0.8^2\times0.2^3$C.$0.8^3\times0.2^2$D.$0.8^2\times0.2^3$已知隨機(jī)變量$X$服從正態(tài)分布$N(3,\sigma^2)$，且$P(X\leq5)=0.8$，則$P(1<X<3)$等于（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：數(shù)學(xué)優(yōu)秀數(shù)學(xué)不優(yōu)秀總計(jì)男生203050女生104050總計(jì)3070100根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算的$\chi^2$值約為（）A.1.79B.2.06C.2.71D.3.84二、填空題（每題5分，共20分）函數(shù)$f(x)=x^2e^x$的極小值為______。曲線$y=x^3-3x$與直線$y=6x$所圍成圖形的面積為______。在三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=AC=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$PA=3$，則該三棱錐外接球的半徑為______。甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為$a$，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，記為$b$，其中$a,b\in{1,2,3,4,5}$，若$|a-b|\leq1$，則稱甲、乙"心有靈犀"?，F(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則他們"心有靈犀"的概率為______。三、解答題（共70分）（12分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3ax^2+3x+1$。（1）當(dāng)$a=1$時(shí)，求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(2,3)$上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。（12分）已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{1}{2}x^2-ax(a\in\mathbb{R})$。（1）若函數(shù)$f(x)$在$x=1$處取得極值，求$a$的值；（2）在（1）的條件下，求函數(shù)$f(x)$在$[1,e]$上的最大值和最小值。（14分）如圖，在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$是矩形，$PA\perp$平面$ABCD$，$PA=AD=2$，$AB=4$，$E$是$PD$的中點(diǎn)。（1）求證：$AE\parallel$平面$PBC$；（2）求直線$AE$與平面$PCD$所成角的正弦值；（3）求二面角$A-PC-D$的余弦值。（12分）如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AC=BC=AA_1=2$，$\angleACB=90^\circ$，$D$是$A_1B_1$的中點(diǎn)。（1）求證：$C_1D\perp$平面$A_1B_1BA$；（2）求點(diǎn)$B$到平面$AC_1D$的距離。（10分）某商場(chǎng)為促銷舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的盒子中裝有大小相同的紅球5個(gè)，白球10個(gè)，黃球15個(gè)。顧客每次從盒中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，連續(xù)摸三次。若三次摸出的球顏色都相同，則獲得一等獎(jiǎng)；若三次摸出的球顏色都不同，則獲得二等獎(jiǎng)；其他情況不獲獎(jiǎng)。（1）求顧客獲得一等獎(jiǎng)的概率；（2）求顧客獲獎(jiǎng)的概率。（10分）某校高二年級(jí)共有1000名學(xué)生，其中男生600人，女生400人。為了解學(xué)生的身高情況，現(xiàn)按性別分層抽樣抽取100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)量，得到如下數(shù)據(jù)：身高（cm）[150,160)[160,170)[170,180)[180,190]男生（人）530205女生（人）152041（1）估計(jì)該校高二年級(jí)學(xué)生身高在[170,180)的人數(shù)；（2）估計(jì)該校高二年級(jí)學(xué)生的平均身高（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）。參考答案與解析一、單項(xiàng)選擇題A解析：$f'(x)=3x^2-6x+2$，令$f'(x)=0$得$x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。計(jì)算$f(0)=0$，$f(2)=0$，$f(1-\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{2\sqrt{3}}{9}$，$f(1+\frac{\sqrt{3}}{3})=-\frac{2\sqrt{3}}{9}$，最大值為0。A解析：$y'=e^x-2$，在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)值為$1-2=-1$，切線方程為$y-1=-1(x-0)$，即$y=-x+1$。B解析：$f'(x)=\frac{1}{x}-a\geq0$在$(1,e)$上恒成立，即$a\leq\frac{1}{x}$，而$\frac{1}{x}\in(\frac{1}{e},1)$，故$a\leq\frac{1}{e}$。C解析：由$f(0)=2$得$d=2$；$f'(-1)=3(-1)^2+2b(-1)+c=3$，且$f(-1)=(-1)^3+b(-1)^2+c(-1)+2=-3+1=-2$，解得$b=0$，$c=0$，故$b+c+d=6$。B解析：以$D$為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，$A_1(2,0,2)$，$B_1(2,2,2)$，$E(1,2,0)$，$D(0,0,0)$。$\overrightarrow{DA_1}=(2,0,2)$，$\overrightarrow{DB_1}=(2,2,2)$，$\overrightarrow{DE}=(1,2,0)$，體積$V=\frac{1}{6}|\overrightarrow{DA_1}\cdot(\overrightarrow{DB_1}\times\overrightarrow{DE})|=\frac{4}{3}$。B解析：直線與平面所成角是直線與平面內(nèi)所有直線所成角中的最小角，故最小值為$30^\circ$，最大值為$90^\circ$。A解析：$\overrightarrow{AB}=(1,1,-3)$，平面$yOz$的法向量為$\overrightarrow{n}=(1,0,0)$，$\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n}\rangle|=\frac{1}{\sqrt{1+1+9}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$。B解析：底面外接圓半徑$r=\frac{2}{\sqrt{3}}$，球心到底面距離$d=2$，外接球半徑$R=\sqrt{r^2+d^2}=\sqrt{\frac{4}{3}+4}=\sqrt{\frac{16}{3}}$，表面積$S=4\piR^2=\frac{40\pi}{3}$。B解析：幾何概型，區(qū)域面積比為$\frac{1}{2}\times1\times1\div(2\times2)=\frac{1}{4}$。A解析：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，概率為$C_5^3\times0.8^3\times(1-0.8)^2$。B解析：正態(tài)分布對(duì)稱性，$P(X>5)=0.2$，$P(X<1)=0.2$，$P(1<X<3)=\frac{1-2\times0.2}{2}=0.3$。C解析：$\chi^2=\frac{100\times(20\times40-30\times10)^2}{50\times50\times30\times70}\approx2.71$。二、填空題0解析：$f'(x)=x(x+2)e^x$，當(dāng)$x=0$時(shí)取得極小值$f(0)=0$。27解析：聯(lián)立方程得交點(diǎn)$(-3,-18)$，$(0,0)$，$(3,18)$，面積$S=2\int_0^3[6x-(x^3-3x)]dx=2\int_0^3(9x-x^3)dx=27$。$\frac{\sqrt{14}}{2}$解析：補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，長(zhǎng)、寬、高分別為2,2,3，外接球半徑$R=\frac{\sqrt{2^2+2^2+3^2}}{2}=\frac{\sqrt{14}}{2}$。$\frac{13}{25}$解析：總情況$5\times5=25$，滿足條件的有：$a=1$時(shí)$b=1,2$；$a=5$時(shí)$b=4,5$；其余$a$對(duì)應(yīng)3個(gè)$b$，共$2+3\times3+2=13$種，概率為$\frac{13}{25}$。三、解答題（1）$a=1$時(shí)，$f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\geq0$，故$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增；（2）$f'(x)=3x^2-6ax+3\geq0$在$(2,3)$恒成立，即$a\leq\frac{x^2+1}{2x}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}$，令$g(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}$，在$(2,3)$遞增，$g(x)>\frac{5}{4}$，故$a\leq\frac{5}{4}$。（1）$f'(x)=\frac{1}{x}+x-a$，$f'(1)=1+1-a=0$，得$a=2$；（2）$f'(x)=\frac{(x-1)^2}{x}\geq0$，$f(x)$在$[1,e]$遞增，最大值$f(e)=1+\frac{e^2}{2}-2e$，最小值$f(1)=-\frac{3}{2}$。（1）取$PC$中點(diǎn)$F$，四邊形$AEFB$為平行四邊形，$AE\parallelBF$，又$BF\subset$平面$PBC$，故$AE\parallel$平面$PBC$；（2）以$A$為原點(diǎn)建系，$A(0,0,0)$，$E(0,1,1)$，平面$PCD$法向量$\overrightarrow{n}=(0,1,1)$，$\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{AE},\overrightarrow{n}\rangle|=\frac{2}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=1$；（3）平面$APC$法向量$\overrightarrow{m}=(0,1,0)$，平面$PCD$法向量$\overrightarrow{n}=(0,1,1)$，$\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。（1）$C_1D\perpA_1B_1$，$C_1D\perpAA_1$，故$C_1D\perp$平面$A_1B_1BA$；（2）等體積法，$V_{B-AC_1D}=V_{C_1-ABD}$，解得距離$d=\