2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)社會實踐背景試題（二）一、社區(qū)人口結(jié)構(gòu)與統(tǒng)計分析背景材料：某社區(qū)2025年常住人口數(shù)據(jù)如下表（單位：人），其中包含年齡分層、學(xué)歷結(jié)構(gòu)及家庭月收入分布信息。年齡組0-14歲15-29歲30-44歲45-59歲60歲以上人口數(shù)12001800250020001500學(xué)歷高中及以下大專本科碩士及以上比例35%25%30%10%家庭月收入（元）<50005000-1000010001-20000>20000戶數(shù)8001200900600問題1：（1）計算該社區(qū)常住人口的平均年齡（各年齡組取中間值，60歲以上按65歲計算）；（2）若從社區(qū)居民中隨機(jī)抽取1人，求其學(xué)歷為本科或碩士及以上的概率；（3）已知家庭月收入>20000元的家庭中，碩士及以上學(xué)歷占30%，其他收入組中該學(xué)歷占5%，現(xiàn)從社區(qū)中隨機(jī)抽取1戶家庭，發(fā)現(xiàn)其成員有碩士及以上學(xué)歷，求該家庭月收入>20000元的概率。解答思路：（1）平均年齡需以各年齡組人口數(shù)為權(quán)重計算加權(quán)平均數(shù)：中間值依次為7、22、37、52、65歲，總?cè)藬?shù)=1200+1800+2500+2000+1500=9000人，平均年齡=(1200×7+1800×22+2500×37+2000×52+1500×65)/9000，代入計算得：(8400+39600+92500+104000+97500)/9000=342000/9000=38歲。（2）本科及以上學(xué)歷比例=30%+10%=40%，故概率為0.4。（3）應(yīng)用貝葉斯公式：設(shè)A為“收入>20000元”，B為“碩士及以上學(xué)歷”，P(A)=600/(800+1200+900+600)=600/3500=6/35，P(B|A)=30%=0.3，P(B|?A)=5%=0.05，P(A|B)=[P(B|A)P(A)]/[P(B|A)P(A)+P(B|?A)P(?A)]=(0.3×6/35)/(0.3×6/35+0.05×29/35)=(1.8)/(1.8+1.45)=1.8/3.25≈0.554。二、校園垃圾分類與優(yōu)化模型背景材料：某校為推進(jìn)“無廢校園”建設(shè)，需在教學(xué)樓區(qū)域設(shè)置分類垃圾桶?，F(xiàn)有A、B兩種方案：方案A：每層樓設(shè)置4個專用垃圾桶（可回收物、廚余垃圾、有害垃圾、其他垃圾），每個垃圾桶日均清運(yùn)成本5元，占用空間2m3；方案B：每3層樓集中設(shè)置1個智能分類垃圾站，包含上述4類垃圾處理功能，日均清運(yùn)成本40元，占用空間8m3。該校某教學(xué)樓共6層，每層樓日均垃圾產(chǎn)生量如下表（單位：kg），且需滿足：①有害垃圾必須單獨(dú)存放，不可與其他方案混用；②各樓層垃圾須在本樓層或相鄰樓層處理，不得跨3層以上運(yùn)輸。樓層123456可回收余垃圾201825152216有害垃圾213212其他垃圾10812796問題2：（1）若僅考慮清運(yùn)成本，分別計算方案A和方案B的日均總成本，并比較哪種方案更優(yōu)；（2）若教學(xué)樓每層樓可用空間為5m3，且要求有害垃圾桶（或智能站中的有害垃圾模塊）須每層至少覆蓋1個，能否同時采用兩種方案混合設(shè)置？若能，設(shè)計一種成本最低的混合方案（需說明各樓層采用的設(shè)施類型）。解答思路：（1）方案A：6層×4個×5元=120元/天；方案B：6層÷3層/站=2個站，2×40=80元/天，故方案B成本更低。（2）空間限制：每層可用空間5m3，方案A單個樓層占用2m3，方案B單個站點占用8m3（需分?jǐn)傊?層）?；旌戏桨冈O(shè)計：優(yōu)先在高層設(shè)置智能站以覆蓋多層，如在3層和6層設(shè)智能站（覆蓋1-3層、4-6層），但有害垃圾需每層覆蓋，故1-6層需各設(shè)有害垃圾桶（方案A中的有害垃圾部分），成本=2個智能站×40+6個有害垃圾桶×5=80+30=110元，空間占用：智能站所在樓層8m3（超5m3，不可行）。修正方案：僅在6層設(shè)1個智能站（覆蓋4-6層），1-3層用方案A，成本=1×40+3×4×5=40+60=100元，空間：1-3層各2m3（≤5），6層8m3（超5），仍不可行。最終結(jié)論：無法混合設(shè)置，因智能站單站空間8m3超過樓層限制5m3，只能選方案A或B，方案B雖成本低但6層樓需2個站（3層和6層），3層空間8m3超限，故只能選方案A。三、共享單車調(diào)度與線性規(guī)劃背景材料：某共享單車公司在2025年9月的工作日早高峰（7:00-9:00）面臨供需失衡問題。該區(qū)域有5個地鐵站（編號1-5），每個站點的車輛盈余/缺口數(shù)據(jù)如下表（正數(shù)為盈余，負(fù)數(shù)為缺口，單位：輛），調(diào)度車輛需通過貨車運(yùn)輸，每輛貨車可裝載20輛單車，每公里運(yùn)輸成本10元，各站點間距離（單位：公里）如下表。站點12345盈余/缺口+15+25-10-20-10距離矩陣1234510358102304673540234862015107310問題3：（1）若調(diào)度中心需從盈余站點（1、2）向缺口站點（3、4、5）運(yùn)輸車輛，且每輛貨車從出發(fā)到返回至少完成2個站點的運(yùn)輸，求滿足所有缺口的最小運(yùn)輸成本。（2）若早高峰后（9:00-10:00）出現(xiàn)新需求：站點3需額外增加10輛，站點5需減少5輛，且此時只能使用電動三輪車（載重5輛，每公里成本3元），求從站點2向站點3、從站點4向站點5的最優(yōu)運(yùn)輸方案（僅考慮兩點間直線路徑）。解答思路：（1）盈余總量=15+25=40輛，缺口總量=10+20+10=40輛，設(shè)從i到j(luò)的運(yùn)輸量為x_ij，目標(biāo)函數(shù)min成本=Σx_ij×距離×10/20（因每20輛需1車，每車成本=距離×10）。約束條件：x_13+x_14+x_15=15，x_23+x_24+x_25=25，x_13+x_23=10，x_14+x_24=20，x_15+x_25=10，解得x_23=10，x_24=20，x_25=-5（矛盾，需調(diào)整），正確解：x_15=10，x_23=10，x_24=20，x_14=0，運(yùn)輸成本=（10×10+10×4+20×6）×10/20=（100+40+120）×0.5=260×0.5=130元。（2）站點2到3距離4公里，需運(yùn)輸10輛，三輪車需2趟（5輛/趟），成本=2×2×4×3=48元（往返）；站點4到5距離1公里，需運(yùn)輸-5輛（即從5向4運(yùn)回5輛），成本=1×2×1×3=6元，總運(yùn)費(fèi)48+6=54元。四、新能源汽車?yán)m(xù)航與函數(shù)建模背景材料：2025年某款新能源汽車的冬季續(xù)航里程受溫度影響顯著，其官方數(shù)據(jù)顯示：當(dāng)氣溫t∈[-20℃,30℃]時，續(xù)航里程S(t)（單位：km）與溫度的關(guān)系滿足S(t)=200+5t-0.1t2，實際續(xù)航還需考慮空調(diào)能耗：制熱時每小時耗電1.5kWh，制冷時每小時耗電0.8kWh，該車型電池容量60kWh，平均時速60km/h。問題4：（1）求函數(shù)S(t)的最大值及對應(yīng)的溫度t?；（2）若某車主在2025年12月某天駕駛該車型從A地到B地，全程180km，出發(fā)時氣溫-5℃，行駛中氣溫線性上升，2小時后到達(dá)B地時氣溫升至10℃，期間全程開啟空調(diào)制熱，判斷該車主能否在不充電的情況下到達(dá)目的地；（3）若夏季氣溫t=35℃（超出官方數(shù)據(jù)范圍），工程師通過實驗擬合得此時續(xù)航里程滿足S(t)=k/(t-25)+c，已知t=25℃時S=200km，t=30℃時S=180km，求t=35℃時的實際續(xù)航（結(jié)果保留整數(shù)）。解答思路：（1）S(t)=-0.1t2+5t+200，對稱軸t=-b/(2a)=5/(0.2)=25℃，最大值S(25)=-0.1×625+5×25+200=-62.5+125+200=262.5km。（2）行駛時間2小時，空調(diào)耗電=1.5kWh/h×2h=3kWh，電池總能耗=行駛能耗+空調(diào)能耗，平均氣溫=(-5+10)/2=2.5℃，S(2.5)=200+5×2.5-0.1×6.25=200+12.5-0.625=211.875km，實際續(xù)航=60kWh÷(60km/h×2h÷211.875km+3kWh)/60kWh≈200km>180km，能到達(dá)。（3）代入t=25時S→∞（矛盾，應(yīng)為t=25時S=200，原函數(shù)應(yīng)為S(t)=k/(t-25)+c，t=25時無意義，修正模型為S(t)=k/(t-25)2+c，代入t=30，S=180=k/25+c；t=25時S=200=c，故k=25×(180-200)=-500，t=35時S=-500/(10)2+200=195km。五、電商促銷與概率統(tǒng)計背景材料：某電商平臺在2025年“雙11”期間推出“跨店滿300減50”活動，同時可疊加使用店鋪優(yōu)惠券（滿200減30）。某消費(fèi)者計劃購買A、B、C三類商品，單價分別為a元、b元、c元，數(shù)量分別為x、y、z件，且滿足x+y+z=10（x,y,z≥1，整數(shù)），商品單價隨機(jī)變量分布如下表（單位：元）：商品單價概率分布期望值方差A(yù)P(a=50)=0.6,P(a=80)=0.462336BP(b=40)=0.5,P(b=60)=0.550100CP(c=30)=0.8,P(c=70)=0.240640問題5：（1）求該消費(fèi)者購買10件商品的總費(fèi)用期望值E(T)及方差D(T)（假設(shè)各商品單價相互獨(dú)立）；（2）若消費(fèi)者采用“湊單”策略：當(dāng)總費(fèi)用接近300的整數(shù)倍時，通過增加1件單價最低的C類商品（c=30元）使優(yōu)惠最大化，求購買10件商品后需追加購買C商品的概率（精確到0.01）。解答思路：（1）總費(fèi)用T=50X+40Y+30Z+ΔaX+ΔbY+ΔcZ（Δ為隨機(jī)波動），E(T)=62x+50y+40z=62x+50y+40(10-x-y)=22x+10y+400，x+y≤9，x,y≥1，因x+y+z=10，E(T)=22x+10y+400，當(dāng)x=1,y=1時E(T)=432；x=8,y=1時E(T)=22×8+10+400=586，期望值范圍432-586元，方差D(T)=336x+100y+640z=336x+100y+640(10-x-y)=-304x-540y+6400。（2）最低C商品單價30元，原總費(fèi)用T，追加后T+30，需滿足：原Tmod300∈[250,300)時，滿減50→優(yōu)惠50；追加后(T+30)mod300∈[0,50)，滿減50+50=100，優(yōu)惠多50元，故需T∈[250,300)∪[550,600)，T=62x+50y+40z+隨機(jī)項，x+y+z=10，z=10-x-y，T=22x+10y