2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模能力測試題一、單項選擇題（每題3分，共10題）在數(shù)學(xué)建模過程中，將"校園共享單車調(diào)度問題"轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵步驟是（）A.收集單車使用數(shù)據(jù)B.提出合理的模型假設(shè)C.建立微分方程模型D.編寫Python求解程序某超市每天銷售的礦泉水?dāng)?shù)量與氣溫相關(guān)，已知過去7天的氣溫（℃）和銷量（瓶）數(shù)據(jù)如下：28→120，30→150，29→135，32→180，31→160，27→110，33→190。若用線性回歸模型預(yù)測氣溫35℃時的銷量，應(yīng)選擇的模型類型是（）A.一元線性回歸B.多元線性回歸C.非線性回歸D.邏輯回歸數(shù)學(xué)建模中處理異常值的常用方法不包括（）A.用中位數(shù)替代B.3σ準(zhǔn)則識別并剔除C.直接刪除所有異常數(shù)據(jù)D.基于箱線圖的截斷處理某快遞公司需從3個倉庫向5個網(wǎng)點配送包裹，每個倉庫的庫存量和網(wǎng)點需求量已知，運輸成本與距離成正比。此類問題的數(shù)學(xué)模型屬于（）A.整數(shù)規(guī)劃B.動態(tài)規(guī)劃C.運輸問題D.圖論最短路徑問題在層次分析法（AHP）中，若構(gòu)建判斷矩陣時某元素與自身的重要性比較值應(yīng)為（）A.0B.1C.5D.9以下關(guān)于數(shù)學(xué)模型檢驗的說法正確的是（）A.模型結(jié)果與實際數(shù)據(jù)完全一致說明模型最優(yōu)B.靈敏度分析用于檢驗變量微小變化對結(jié)果的影響C.只要通過軟件求解出結(jié)果，模型無需驗證D.殘差分析僅適用于線性回歸模型某城市PM2.5濃度隨時間變化呈現(xiàn)明顯的周期性和趨勢性，適合的預(yù)測模型是（）A.灰色預(yù)測GM(1,1)B.時間序列ARIMA模型C.支持向量機（SVM）D.決策樹模型數(shù)學(xué)建模中"模型假設(shè)"的主要作用是（）A.簡化實際問題，明確研究邊界B.提高模型的計算復(fù)雜度C.省略數(shù)據(jù)收集步驟D.確保模型結(jié)果唯一以下屬于智能優(yōu)化算法的是（）A.單純形法B.遺傳算法C.最小二乘法D.高斯消元法某學(xué)校要在校園內(nèi)種植100棵樹，考慮樹種（3種）、成活率（80%-95%）、養(yǎng)護成本（50-200元/棵）等因素，目標(biāo)是總成本最低。此類問題的核心要素不包括（）A.決策變量B.目標(biāo)函數(shù)C.隨機變量D.約束條件二、填空題（每題4分，共5題）某奶茶店銷售A、B兩種飲品，A每杯利潤5元，B每杯利潤8元，制作一杯A需3分鐘，制作一杯B需5分鐘，每天制作時間不超過300分鐘，且A的銷量至少是B的2倍。設(shè)每天制作A、B分別為x、y杯，則該線性規(guī)劃模型的約束條件是________（用不等式組表示）。數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理中，若某變量的原始數(shù)據(jù)為x，均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ，則其標(biāo)準(zhǔn)化公式為z=________。用蒙特卡洛方法估計圓周率π時，向邊長為2的正方形內(nèi)隨機投點10000次，其中落在該正方形內(nèi)切圓內(nèi)的點有7850次，則π的估計值為________。某傳染病在封閉校園內(nèi)傳播，初始感染人數(shù)5人，每天每個感染者傳染2人，且治愈者不再傳染。若用SI模型（忽略治愈）描述，第t天的感染人數(shù)N(t)滿足的微分方程是________。層次分析法中，判斷矩陣一致性指標(biāo)CI的計算公式為CI=________，其中λ_max為最大特征根，n為矩陣階數(shù)。三、建模應(yīng)用題（共60分）問題背景隨著"雙碳"政策推進(jìn)，某中學(xué)計劃對校園路燈系統(tǒng)進(jìn)行節(jié)能改造，現(xiàn)有兩種方案備選：方案A：全部更換為LED路燈，單價800元/盞，壽命5年，日均耗電量0.5度，維護費50元/盞·年；方案B：保留現(xiàn)有鈉燈（已使用2年，剩余壽命3年），單價500元/盞，日均耗電量1.2度，維護費80元/盞·年。該校共有路燈100盞，電價0.6元/度，假設(shè)兩種燈具的安裝成本相同，不考慮通貨膨脹和殘值。要求建立總成本對比模型，計算兩種方案在剩余3年使用期內(nèi)的總費用（包括燈具采購費、電費、維護費）；若LED燈的日均耗電量存在±10%的波動，進(jìn)行靈敏度分析，判斷最優(yōu)方案是否變化；若考慮鈉燈更換時產(chǎn)生的舊燈回收收益（50元/盞），重新計算方案對比結(jié)果；為學(xué)校提出節(jié)能改造的合理化建議，需包含模型假設(shè)和結(jié)果分析。解答步驟提示（1）明確決策變量：設(shè)使用年限為t年，分別計算兩種方案的成本構(gòu)成；（2）構(gòu)建成本函數(shù)：總成本=初始投資+年均費用×年限；（3）參數(shù)說明：LED燈需全換（100盞），鈉燈無需更換（剩余壽命3年）；（4）靈敏度分析時，調(diào)整LED日均耗電量為0.45~0.55度，重新計算總成本。四、綜合開放題（共30分）問題某社區(qū)計劃在小區(qū)內(nèi)設(shè)置智能快遞柜，需考慮以下因素：居民樓位置（坐標(biāo)已知）、日均快遞量、柜機容量、建設(shè)成本。請你完成以下任務(wù)：提出3個關(guān)鍵模型假設(shè)；選擇合適的數(shù)學(xué)方法確定快遞柜的最優(yōu)數(shù)量和位置；設(shè)計一份數(shù)據(jù)收集方案（至少包含5項核心數(shù)據(jù)）；用流程圖表示建模全過程。評分標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)合理性（10分）建模方法適用性（10分）數(shù)據(jù)方案可行性（5分）流程完整性（5分）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（簡要提示）一、單項選擇題1.B2.A3.C4.C5.B6.B7.B8.A9.B10.C二、填空題(\begin{cases}3x+5y\leq300\x\geq2y\x,y\geq0且為整數(shù)\end{cases})(\frac{x-\mu}{\sigma})3.14（計算過程：(\pi\approx4\times\frac{7850}{10000}=3.14)）(\frac{dN}{dt}=2N)（初始條件N(0)=5）(\frac{\lambda_{\text{max}}-n}{n-1})三、建模應(yīng)用題（要點）總成本計算方案A：初始投資=100×800=80000元，年均電費=100×0.5×365×0.6=10950元，年均維護費=100×50=5000元，3年總費用=80000+(10950+5000)×3=127850元；方案B：無初始投資，年均電費=100×1.2×365×0.6=26280元，年均維護費=100×80=8000元，3年總費用=(26280+8000)×3=102840元。靈敏度分析：LED耗電量0.45度時，3年總費用=80000+(9855+5000)×3=124565元＞方案B，最優(yōu)方案不變；回收收益調(diào)整：方案A總費用=127850-100×50=122850元，仍高于方案B；建議：優(yōu)先選擇方案B，3年后再更換LED燈；若考慮長期使用（＞4年），方案A更優(yōu)。四、綜合開放題（要點）假設(shè)示例：居民取件距離≤500米；快遞柜容量滿足日均量1.5倍；建設(shè)成本與柜機數(shù)量成正比；方法：重心法（單設(shè)施選址）或P-中心問題模型（多設(shè)施選址）；數(shù)據(jù)收集：居民樓坐標(biāo)、各樓日均快遞量、柜機單價及容量、小區(qū)道路分布圖、居民取件時間分布；流程圖：問題分析→數(shù)據(jù)收集→