2025年下學期高二數(shù)學隨機變量及其分布試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）下列表格中，可能是離散型隨機變量X的分布列的是（）A.|X|1|2|3||----|----|----|----||P|0.3|0.4|0.4|B.|X|-1|0|1||----|----|----|----||P|-0.1|0.5|0.6|C.|X|0|1|2||----|----|----|----||P|0.3|0.4|0.3|D.|X|1|2|3||----|----|----|----||P|0.2|0.5|0.4|設隨機變量X的分布列為P(X=k)=m·(1/3)^k（k=1,2,3），則m的值為（）A.1/3B.9/13C.27/13D.1已知隨機變量X服從兩點分布，且P(X=1)=0.6，則P(X=0)和E(X)分別為（）A.0.4，0.6B.0.6，0.4C.0.4，0.4D.0.6，0.6將一枚質地均勻的硬幣重復拋擲10次，記正面朝上的次數(shù)為X，則P(X=5)的值為（）A.C(10,5)·(1/2)^5B.C(10,5)·(1/2)^10C.(1/2)^5D.(1/2)^10已知隨機變量X~B(n,p)，且E(X)=7，D(X)=6，則p的值為（）A.1/7B.1/6C.1/5D.1/4設隨機變量X的分布列為|X|1|2|3|4||----|----|----|----|----||P|0.2|0.3|0.4|0.1|則D(X)的值為（）A.0.64B.0.76C.0.84D.0.92已知隨機變量X的分布列為P(X=k)=1/5（k=1,2,3,4,5），則E(2X+3)的值為（）A.7B.8C.9D.10設隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，且P(X<1)=0.5，P(X>2)=0.3，則P(X<0)的值為（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5某批產品的合格率為0.9，現(xiàn)從中隨機抽取10件，則其中不合格品數(shù)X的方差為（）A.0.9B.0.09C.0.81D.8.1已知隨機變量X的分布列為|X|-1|0|1|2||----|----|----|----|----||P|0.1|0.2|0.3|0.4|則P(X≤1)的值為（）A.0.3B.0.5C.0.6D.0.7設隨機變量X~N(2,4)，則P(0<X<4)的值為（）（參考數(shù)據(jù)：Φ(1)=0.8413）A.0.6826B.0.8413C.0.9544D.0.9974從含有3件次品的10件產品中，任取2件，則其中次品數(shù)X的數(shù)學期望為（）A.0.3B.0.6C.0.9D.1.2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）設離散型隨機變量X的分布列為|X|0|1|2|3|4||----|----|----|----|----|----||P|0.2|0.1|0.1|0.3|m|則m=，E(X)=。已知隨機變量X~B(5,0.2)，則D(X)=，E(2X+1)=。設隨機變量X服從正態(tài)分布N(1,σ2)，若P(X>3)=0.2，則P(-1<X<1)=______。某射手射擊一次命中目標的概率為0.8，現(xiàn)連續(xù)射擊3次，記命中目標的次數(shù)為X，則P(X≥2)=______。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）設隨機變量X的分布列為P(X=k)=c·(1/2)^k（k=1,2,3），求：（1）常數(shù)c的值；（2）P(X≤2)；（3）E(X)。（12分）已知隨機變量X的分布列為|X|-2|-1|0|1|2||----|----|----|----|----|----||P|0.1|0.2|0.3|0.3|0.1|求：（1）E(X)；（2）D(X)；（3）Y=2X+1的分布列及E(Y)。（12分）某學校組織知識競賽，共有10道題，每道題答對得2分，答錯或不答得0分。已知學生甲答對每道題的概率為0.8，且各題答對與否相互獨立。（1）求學生甲得分X的分布列；（2）求學生甲得分的數(shù)學期望E(X)和方差D(X)。（12分）某工廠生產的產品中，一等品占80%，二等品占15%，次品占5%?，F(xiàn)從中隨機抽取10件產品，記其中一等品的件數(shù)為X，二等品的件數(shù)為Y。（1）求X的分布列；（2）求P(X=8,Y=1)；（3）求E(X)和E(Y)。（12分）某射手進行射擊訓練，每次射擊命中目標的概率為0.7，且各次射擊相互獨立。（1）若連續(xù)射擊5次，求命中目標次數(shù)X的分布列；（2）若連續(xù)射擊，直到命中目標為止，求射擊次數(shù)Y的分布列及E(Y)。（12分）某商場舉行抽獎活動，規(guī)則如下：顧客每消費100元可獲得一張抽獎券，每張抽獎券有5次抽獎機會，每次抽獎結果相互獨立。每次抽獎時，從裝有2個紅球和3個白球的不透明袋中隨機摸出一個球，若摸到紅球則中獎，獎金為10元；若摸到白球則不中獎。（1）求一張抽獎券中獎次數(shù)X的分布列；（2）求一張抽獎券獲得獎金Y的數(shù)學期望；（3）若某顧客消費了500元，求其獲得獎金總額Z的方差。參考答案及評分標準一、選擇題C2.C3.A4.B5.A6.C7.A8.A9.A10.C11.A12.B二、填空題0.3，2.214.0.8，315.0.316.0.896三、解答題解：（1）由分布列的性質得：c·(1/2+1/4+1/8)=1解得c=8/7（3分）（2）P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=8/7·(1/2+1/4)=6/7（6分）（3）E(X)=1·8/7·1/2+2·8/7·1/4+3·8/7·1/8=11/7（10分）解：（1）E(X)=(-2)·0.1+(-1)·0.2+0·0.3+1·0.3+2·0.1=0.1（4分）（2）D(X)=(-2-0.1)2·0.1+(-1-0.1)2·0.2+(0-0.1)2·0.3+(1-0.1)2·0.3+(2-0.1)2·0.1=1.69（8分）（3）Y的分布列為|Y|-3|-1|1|3|5||----|----|----|----|----|----||P|0.1|0.2|0.3|0.3|0.1|E(Y)=2E(X)+1=1.2（12分）解：（1）X服從二項分布B(10,0.8)，分布列為P(X=k)=C(10,k)·0.8^k·0.2^(10-k)，k=0,1,...,10（6分）（2）E(X)=10×0.8×2=16，D(X)=10×0.8×0.2×4=6.4（12分）解：（1）X服從二項分布B(10,0.8)，分布列為P(X=k)=C(10,k)·0.8^k·0.2^(10-k)，k=0,1,...,10（4分）（2）P(X=8,Y=1)=C(10,8)·0.8^8·C(2,1)·0.15^1·0.05^1=0.2013（8分）（3）E(X)=10×0.8=8，E(Y)=10×0.15=1.5（12分）解：（1）X服從二項分布B(5,0.7)，分布列為P(X=k)=C(5,k)·0.7^k·0.3^(5-k)，k=0,1,...,5（6分）（2）Y服從幾何分布，分布列為P(Y=k)=0.3^(k-1)·0.7，k=1,2,...E(Y)=1/0.7=10/7（12分）解：（1）X服從二項分布B(5,0.4)，分布列為P(X=k)=C(5,k)·0.4^k·0.6^(5-k)，k=0,1,...,5（4分）（2）Y=10X，E(Y)=10E(X)=10×5×0.4=20（8分）（3）Z=5Y，D(Z)=25D(Y)=25×100D(X)=2500×5×0.4×0.6=3000（12分）本套試題全面考查了隨機變量及其分布的相關知識，包括離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望、方差，以及二項分布、幾何分布等常見分布類型。試題注重基礎，強調應用，通過豐富的實際問題情境，考查學生對知識的理解和運用能力。試題難度適中，覆蓋了高二數(shù)學隨機變量及其分布的主要知識點，既注重對基本概念和方法的考查，又適當設置了綜合性題目，能夠較好地反映學生的學習水平。在解題過程中，學生需要熟練掌握離散型隨機變量分布列的性質，能夠正確計算數(shù)學期望和方差；理解二項分布、幾何分布等常見分布的特點和應用場