黑龍江省尚志市三年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)歸一問題（先求單一量）一、知識(shí)點(diǎn)解析（一）歸一問題的概念歸一問題是小學(xué)數(shù)學(xué)中常見的一類解決實(shí)際問題的題型，其核心特征是需要通過已知條件先求出“單一量”，再以單一量為標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算所求的總量或其他數(shù)量。這里的“單一量”可以是單位時(shí)間的工作量、單位面積的產(chǎn)量、單個(gè)物品的價(jià)格、單位時(shí)間內(nèi)的路程等。例如：“3個(gè)筆記本15元，買5個(gè)這樣的筆記本需要多少錢？”在這個(gè)問題中，“每個(gè)筆記本的價(jià)格”就是需要先求出的單一量。（二）先求單一量的解題邏輯三年級(jí)下學(xué)期接觸的歸一問題主要以“正歸一”為主，即先求出單一量，再用單一量乘以份數(shù)得到總量。其基本數(shù)量關(guān)系可表示為：?jiǎn)我涣?總量÷份數(shù)所求總量=單一量×新的份數(shù)這種解題思路體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“化歸思想”，即將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為求“一份數(shù)”的簡(jiǎn)單問題，再逐步解決。例如：“2小時(shí)行駛120千米，照這樣的速度，5小時(shí)行駛多少千米？”需要先求出“每小時(shí)行駛多少千米”（單一量），再計(jì)算5小時(shí)的路程。（三）與生活實(shí)際的聯(lián)系歸一問題廣泛存在于日常生活場(chǎng)景中，如購物計(jì)算單價(jià)、農(nóng)田計(jì)算畝產(chǎn)量、工程計(jì)算工作效率等。在尚志市的實(shí)際生活中，學(xué)生可能會(huì)遇到類似“一袋大米重25千克，4袋這樣的大米重多少千克？”“李叔叔3天收割15畝水稻，照這樣計(jì)算，7天可以收割多少畝？”等問題，這些都需要運(yùn)用先求單一量的方法解決。二、解題步驟（一）審題：找出已知條件和問題圈畫關(guān)鍵信息：通讀題目，用橫線標(biāo)出“總量”和“份數(shù)”，用問號(hào)標(biāo)出所求問題。例如：“媽媽買4千克蘋果花了20元，買7千克蘋果需要多少錢？”中，“4千克”“20元”是已知條件，“7千克需要多少錢”是問題。區(qū)分“總量”與“份數(shù)”：總量通常是帶有單位的具體數(shù)量（如總價(jià)、總路程、總產(chǎn)量），份數(shù)是對(duì)應(yīng)的數(shù)量單位（如數(shù)量、時(shí)間、面積）。注意避免混淆“誰是誰的份數(shù)”，例如“5件衣服用布10米”中，10米是總量，5件是份數(shù)，單一量是“每件衣服用布多少米”。（二）分析：確定“單一量”是什么根據(jù)問題情境判斷單一量的含義：當(dāng)已知條件是“份數(shù)和對(duì)應(yīng)的總量”時(shí)，單一量=總量÷份數(shù)。例如：“3個(gè)文具盒27元”中，單一量是“每個(gè)文具盒的價(jià)格”，即27元÷3個(gè)=9元/個(gè)。特殊情況：若題目中出現(xiàn)“照這樣計(jì)算”“同樣的速度”“相同的效率”等表述，說明隱含“單一量不變”的條件，需優(yōu)先求單一量。（三）計(jì)算：分步列式求解第一步：求單一量根據(jù)“總量÷份數(shù)=單一量”列式計(jì)算。例如：“6天節(jié)約用水30噸，平均每天節(jié)約用水多少噸？”單一量=30噸÷6天=5噸/天。注意：計(jì)算時(shí)要帶上單位，確保單位統(tǒng)一，如“噸/天”“元/個(gè)”等。第二步：求所求總量或數(shù)量根據(jù)“單一量×新的份數(shù)=所求總量”列式。例如：接上題“照這樣計(jì)算，10天可以節(jié)約用水多少噸？”所求總量=5噸/天×10天=50噸。（四）檢驗(yàn)：驗(yàn)證答案的合理性倒推檢驗(yàn)：用計(jì)算結(jié)果反推已知條件，看是否符合題意。例如：若求得7千克蘋果35元，可計(jì)算35元÷7千克=5元/千克，再用5元/千克×4千克=20元，與題目中“4千克20元”一致，說明答案正確。單位檢驗(yàn)：檢查算式中單位是否合理，如“元÷個(gè)=元/個(gè)”（單價(jià)），“千米÷小時(shí)=千米/小時(shí)”（速度），避免出現(xiàn)“元×個(gè)=元”等錯(cuò)誤單位。三、典型例題（一）基礎(chǔ)題型：購物中的歸一問題例題1：尚志市某超市搞促銷活動(dòng)，5盒酸奶售價(jià)15元。照這樣計(jì)算，買8盒酸奶需要多少錢？解析：求單一量（每盒酸奶的價(jià)格）：15元÷5盒=3元/盒。求8盒的總價(jià)：3元/盒×8盒=24元。答：買8盒酸奶需要24元。（二）進(jìn)階題型：行程中的歸一問題例題2：一輛汽車從尚志市開往哈爾濱市，2小時(shí)行駛了140千米。照這樣的速度，再行駛3小時(shí)到達(dá)哈爾濱，尚志市到哈爾濱市的總路程是多少千米？解析：求單一量（每小時(shí)行駛的路程）：140千米÷2小時(shí)=70千米/小時(shí)。計(jì)算總時(shí)間：2小時(shí)+3小時(shí)=5小時(shí)。求總路程：70千米/小時(shí)×5小時(shí)=350千米。答：尚志市到哈爾濱市的總路程是350千米。（三）變式題型：工程中的歸一問題例題3：3名工人4天可以安裝60臺(tái)空調(diào)。照這樣計(jì)算，5名工人6天可以安裝多少臺(tái)空調(diào)？解析：先求“1名工人1天安裝的臺(tái)數(shù)”（單一量）：方法一：60臺(tái)÷3名=20臺(tái)/名（1名工人4天安裝20臺(tái)）；20臺(tái)÷4天=5臺(tái)/（名·天）（1名工人1天安裝5臺(tái)）。方法二：60臺(tái)÷（3名×4天）=5臺(tái)/（名·天）。求5名工人6天的安裝量：5臺(tái)/（名·天）×5名×6天=150臺(tái)。答：5名工人6天可以安裝150臺(tái)空調(diào)。（四）結(jié)合尚志市地域特色的例題例題4：尚志市亞布力滑雪場(chǎng)的雪地摩托，3分鐘行駛了1800米。照這樣的速度，從山腳到山頂需要8分鐘，山腳到山頂?shù)穆烦淌嵌嗌倜?？解析：求單一量（每分鐘行駛的路程）?800米÷3分鐘=600米/分鐘。求8分鐘的路程：600米/分鐘×8分鐘=4800米。答：山腳到山頂?shù)穆烦淌?800米。四、易錯(cuò)點(diǎn)分析（一）混淆“總量”與“份數(shù)”錯(cuò)誤案例：“2件衣服用布6米，5件衣服用布多少米？”錯(cuò)解：6米÷5件=1.2米/件（錯(cuò)誤原因：將“5件”當(dāng)作已知份數(shù)）。正確解法：先求單一量6米÷2件=3米/件，再算3米/件×5件=15米。避錯(cuò)方法：牢記“單一量=已知總量÷對(duì)應(yīng)的已知份數(shù)”，題目中“2件”和“6米”是對(duì)應(yīng)關(guān)系，應(yīng)先用這兩個(gè)條件求單一量。（二）單位不統(tǒng)一或漏寫單位錯(cuò)誤案例：“一輛卡車3次運(yùn)貨15噸，運(yùn)8次可以運(yùn)多少噸？”錯(cuò)解：15÷3×8=40（漏寫單位“噸”）。正確解法：15噸÷3次=5噸/次，5噸/次×8次=40噸。避錯(cuò)方法：每一步計(jì)算都帶上單位，確保“總量單位”“份數(shù)單位”“單一量單位”對(duì)應(yīng)一致。（三）忽略“隱藏的單一量不變”條件錯(cuò)誤案例：“食堂5天用煤200千克，照這樣計(jì)算，現(xiàn)有煤800千克，可以用多少天？”錯(cuò)解：200÷5×800=32000（錯(cuò)誤原因：誤將“800千克”當(dāng)作份數(shù)）。正確解法：?jiǎn)我涣繛?00千克÷5天=40千克/天，所求天數(shù)=800千克÷40千克/天=20天。避錯(cuò)方法：遇到“照這樣計(jì)算”時(shí)，先確認(rèn)單一量，再根據(jù)問題判斷是用“乘法”還是“除法”：求總量用乘法，求份數(shù)用除法。（四）計(jì)算錯(cuò)誤常見錯(cuò)誤類型：除法計(jì)算錯(cuò)誤：如“36÷4=8”（正確應(yīng)為9）；乘法口訣混淆：如“6×7=45”（正確應(yīng)為42）；兩步計(jì)算漏步驟：如直接列綜合算式“15÷3×7”時(shí)，先算15÷3=5，再算5×7=35，避免跳步導(dǎo)致錯(cuò)誤。避錯(cuò)方法：分步計(jì)算，每一步寫出結(jié)果和單位；完成后用乘法口訣或逆運(yùn)算驗(yàn)算。（五）未理解“多步歸一”的含義錯(cuò)誤案例：“4臺(tái)機(jī)床5小時(shí)加工零件200個(gè)，照這樣計(jì)算，7臺(tái)機(jī)床3小時(shí)加工多少個(gè)零件？”錯(cuò)解：200÷4×7=350（錯(cuò)誤原因：未考慮時(shí)間因素）。正確解法：先求1臺(tái)機(jī)床1小時(shí)加工零件數(shù)：200÷4÷5=10（個(gè)），再算7臺(tái)3小時(shí)：10×7×3=210（個(gè)）。避錯(cuò)方法：對(duì)于涉及兩個(gè)份數(shù)（如“臺(tái)數(shù)”和“時(shí)間”）的問題，需連續(xù)除以兩個(gè)份數(shù)，得到“1臺(tái)1小時(shí)”的單一量。五、拓展應(yīng)用（一）與乘法、除法意義的結(jié)合歸一問題是乘法和除法意義的實(shí)際應(yīng)用：求單一量是“把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，求一份是多少”（除法），求總量是“求幾個(gè)相同加數(shù)的和”（乘法）。例如：“3個(gè)文具盒27元”中，27÷3=9體現(xiàn)除法意義，9×5=45體現(xiàn)乘法意義。通過歸一問題的練習(xí)，可加深對(duì)乘除法關(guān)系的理解。（二）解決“反歸一”問題的基礎(chǔ)雖然三年級(jí)下學(xué)期以“正歸一”為主，但先求單一量的思路也是學(xué)習(xí)“反歸一”（已知單一量和總量，求份數(shù)）的基礎(chǔ)。例如：“每千克蘋果5元，30元可以買多少千克？”需要先明確單一量“5元/千克”，再用30元÷5元/千克=6千克。掌握正歸一后，反歸一問題可通過“總量÷單一量=份數(shù)”自然過渡。（三）生活中的拓展練習(xí)購物場(chǎng)景：尚志市某書店《數(shù)學(xué)練習(xí)冊(cè)》每本8元，買4本送1本。小明帶了40元，最多可以買多少本？解析：先算40元可買40÷8=5本，因“買4本送1本”，5本中包含1個(gè)4本，可再送1本，共5+1=6本。農(nóng)業(yè)場(chǎng)景：尚志市農(nóng)戶種植大豆，每畝產(chǎn)量為200千克，今年種了15畝，預(yù)計(jì)總產(chǎn)量是多少千克？若每千克售價(jià)4元，總收入是多少元？解析：總產(chǎn)量=200千克/畝×15畝=3000千克，總收入=3000千克×4元/千克=12000元。時(shí)間管理場(chǎng)景：小紅5分鐘做了20道口算題，照這樣的速度，做56道題需要幾分鐘？解析：?jiǎn)我涣?20道÷5分鐘=4道/分鐘，時(shí)間=56道÷4道/分鐘=14分鐘。（四）數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)通過歸一問題的學(xué)習(xí)，可培養(yǎng)學(xué)生以下思維能力：抽象概括能力：從具體問題中提煉“單一量”的本質(zhì)；遷移能力：將“速度=路程÷時(shí)間”遷移到“單價(jià)=總價(jià)÷數(shù)量”“工效=工作量÷時(shí)間”等同類問題；解決復(fù)雜問題的能力：面對(duì)多步歸一問題時(shí)，能分解步驟、逐步解決，如“2臺(tái)機(jī)器3小時(shí)生產(chǎn)60個(gè)零件，5臺(tái)機(jī)器8小時(shí)生產(chǎn)多少個(gè)”，需連續(xù)運(yùn)用兩次除法求單一量，再用乘法求總量。（五）與尚志市地域文化結(jié)合的實(shí)踐活動(dòng)例如：組織“尚志市旅游路線規(guī)劃”活動(dòng)，假設(shè)從尚志市區(qū)到帽兒山國(guó)家森林公園的大巴車，2小時(shí)行駛80千米，若上午9時(shí)出發(fā)，速度不變，11時(shí)能否到達(dá)（兩地相距100千米）？解析：先求速度80÷2=40千米