2006年全國(guó)初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課比賽教案

何時(shí)獲得最大利潤(rùn)

教材：北京師范大學(xué)出版社九年級(jí)下冊(cè)第二章《二次函數(shù)》的第六節(jié)

課時(shí)：1課時(shí)

授課教師：成都七中育才學(xué)校程智娟

一、教材分析（教材地位及作用）

教材中的函數(shù)是從去索具體實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律中抽象出來(lái)的，用于刻畫(huà)

變量之間關(guān)系的常用數(shù)學(xué)模型.函數(shù)的學(xué)習(xí)可以使學(xué)生感受事物是互相聯(lián)系和有規(guī)律地變化著

的，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法.在本章前，教材通過(guò)探索變量之間關(guān)系，探究一次函數(shù)和反比

例函數(shù)，已經(jīng)逐漸讓學(xué)生建立了函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，初步積累了研究函數(shù)性質(zhì)的方法及用函數(shù)觀

點(diǎn)處理實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).

在本章的學(xué)習(xí)中，教材已研究了二次函數(shù)及其圖象和性質(zhì)，讓學(xué)生初步了解了求特殊二次

函數(shù)最大（?。┲档囊恍┓椒?本節(jié)課在穩(wěn)固二次函數(shù)性質(zhì)及識(shí)圖能力的同時(shí)，進(jìn)一步讓學(xué)生

掌握利用二次函數(shù)知識(shí)求一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題最大（小）值的方法，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決

實(shí)際問(wèn)題的能力.本節(jié)知識(shí)具有承上啟下的作用，既是前面所學(xué)知識(shí)的具體應(yīng)用，又為學(xué)生在

高中階段進(jìn)一步學(xué)習(xí)二次函數(shù)，以及用二次函數(shù)研究二次多項(xiàng)式、二次方程、二次不等式等知

識(shí)奠定基礎(chǔ).

二、教學(xué)目標(biāo)：

?知識(shí)與技能：

（1）.能為一些較簡(jiǎn)單的生活實(shí)際問(wèn)題建立二次函數(shù)模型，并在此基礎(chǔ)上，根據(jù)二次函數(shù)關(guān)

系式和圖象特點(diǎn)，確定二次函數(shù)的最大（小）值，從而解決實(shí)際問(wèn)題.

（2）.由具體到抽象，進(jìn)一步理解二次函數(shù)+c圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)與函數(shù)最大（?。?/p>

值的關(guān)系，并明確當(dāng)。＜0時(shí)函數(shù)取得最大值，當(dāng)。＞0時(shí)函數(shù)取得最小值.

?數(shù)學(xué)思考：

（1）.體會(huì)二次函數(shù)是一類(lèi)最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.

（2）.經(jīng)歷探究二次函數(shù)最大（小）值問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)函數(shù)的思想方法和數(shù)形結(jié)合的思想

方法.

?解決問(wèn)題：

能將生活中的某些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型，并能熟練運(yùn)用二次函數(shù)知識(shí)解決這

些實(shí)際生活中的最大（?。┲祮?wèn)題.

?情感與態(tài)度：

（1）.通過(guò)對(duì)實(shí)際生活中最大（小）值問(wèn)題的探究，認(rèn)識(shí)到二次函數(shù)是解決實(shí)際問(wèn)題的重要

工具.

（2）.積極參加數(shù)學(xué)活動(dòng)，開(kāi)展解決問(wèn)題的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.從而:曾強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

信心，體驗(yàn)成功的樂(lè)趣.

三、教學(xué)重難點(diǎn)

?教學(xué)重點(diǎn)：

（1）.探索銷(xiāo)售中最大利潤(rùn)問(wèn)題，從數(shù)學(xué)角度理解’?何時(shí)獲得最大利潤(rùn)〃的意義.

（2）.引導(dǎo)學(xué)生將簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并運(yùn)用二次函數(shù)知識(shí)求出實(shí)際問(wèn)題的最

大（小）值，從而得到解決某些實(shí)際生活中最大（小）值問(wèn)題的思想方法.

?教學(xué)難點(diǎn)：

從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二次函數(shù)模型，以利用二次函數(shù)知識(shí)解決某些實(shí)際生活中的最大（?。?/p>

值問(wèn)題.

四、教學(xué)方式：

引導(dǎo)一一探究一一發(fā)現(xiàn)

五、學(xué)情分析：

九年級(jí)學(xué)生已初步掌握函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，積累了研究函數(shù)性質(zhì)的方法及用函數(shù)觀點(diǎn)處理實(shí)

際問(wèn)題的初步經(jīng)驗(yàn).由于年齡特征，他們借助直觀圖象更容易理解抽象的函數(shù)問(wèn)題.我班學(xué)生

思維較為活潑，在“引導(dǎo)一一探究一一發(fā)現(xiàn)〃式的課堂教學(xué)中能積極參與討論問(wèn)題，大膽發(fā)表自

己的見(jiàn)解和看法；但同樣也存在審題不仔細(xì)、考慮問(wèn)題不全面等缺乏.

六、課前準(zhǔn)備：

教具：教材.,課件，電腦

學(xué)具：教材，練習(xí)本，鉆筆，三角板

七、教學(xué)過(guò)程:

教學(xué)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)活動(dòng)說(shuō)明

環(huán)節(jié)

從生活中“T恤衫銷(xiāo)售〃情景引入

“何時(shí)獲得最大利潤(rùn)〃問(wèn)題.用多媒體對(duì)教材

某商店經(jīng)營(yíng)T恤衫，成批購(gòu)進(jìn)時(shí)進(jìn)行再創(chuàng)造，再現(xiàn)

創(chuàng)

單價(jià)是20元?根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷(xiāo)售生活中“T恤衫銷(xiāo)

設(shè)

量與銷(xiāo)售單價(jià)滿(mǎn)足如下關(guān)系：在一段售〃情景，并對(duì)教

生學(xué)生觀看情景動(dòng)

時(shí)間內(nèi)，單價(jià)是35元時(shí)，銷(xiāo)售量是材上的數(shù)據(jù)進(jìn)行了

活畫(huà).

600件，而單價(jià)每降低1元，就可以修改，更貼近實(shí)際

情

多銷(xiāo)售200件.若設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)為X20生活，幫助學(xué)生理

境

WxW35的整數(shù))元，該商店所獲利解題意，激發(fā)學(xué)生

潤(rùn)為y元.請(qǐng)你幫助分析，銷(xiāo)售單價(jià)的學(xué)習(xí)熱情.

是多少元時(shí)，可以獲利最多？

1.教師提問(wèn)：學(xué)生獨(dú)立思考答為了讓學(xué)生明確

此題主要研究哪兩個(gè)變量之研究的是哪兩個(gè)變

(1).復(fù)第(1)問(wèn)：

探

間的關(guān)系，哪個(gè)是自變量，哪個(gè)是因銷(xiāo)售單價(jià)為自變量之間的關(guān)系，補(bǔ)

變量.量，所獲利潤(rùn)為因充第(。問(wèn).

索

變量.此問(wèn)建立在學(xué)生

已有知識(shí)基礎(chǔ)上，

思

學(xué)生答復(fù)較為容

易，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立

思考完成.

(2).銷(xiāo)售量可以表示為_(kāi)_______；

同桌兩人在獨(dú)立第(2)問(wèn)，為了更

銷(xiāo)售額(銷(xiāo)售總收入)可以表示

思考完成后，通過(guò)容易找到兩個(gè)變量

為_(kāi)________;

相互交流結(jié)果答復(fù)間的函數(shù)關(guān)系式，

第(2)問(wèn)，將不同結(jié)先列代數(shù)式，要求

果寫(xiě)在黑板上.學(xué)生獨(dú)立思考完

4ac-/

探4a

_4x(-200)x(-152000)-11600」

4x(-200)

二1620。

索當(dāng)產(chǎn)29時(shí)，y的值最大，最大值為學(xué)生也有可能會(huì)

16200.利用配方法洛此二

(2).y=200/+11600^152000次函數(shù)化為頂點(diǎn)

=200(x29)416200.

思式，求y的最大值；

當(dāng)尸29時(shí)，y的值最大，最大值為

16200.

學(xué)生還可能提出由于研究片落

考畫(huà)出圖象求y的最產(chǎn)一夕的最大(小)

(3).如果學(xué)生提出利用圖象求此

大值的方法.值時(shí)，教材是利用

二次函數(shù)最大值，教師利用多媒體課

圖象讓學(xué)生分析理

件作出此二次函數(shù)圖象：

解的，因此學(xué)生很

可能會(huì)提到利用圖

象來(lái)求y的最大值

的方法.

學(xué)生思考并作出通過(guò)此問(wèn)題的設(shè)

答復(fù)：受自變量取置，讓學(xué)生體會(huì)實(shí)

值范圍的限制，該際問(wèn)題中自變量通

教師提問(wèn)：在此函數(shù)圖象上怎樣表

題的圖象應(yīng)為二次常有取值范圍的限

達(dá)銷(xiāo)售單價(jià)x為20WXW35的整數(shù)？

函數(shù)圖象的一局制，因此函數(shù)圖象

部.往往是相應(yīng)二次函

數(shù)圖象的一局部.

探

教師對(duì)學(xué)生的答復(fù)作出補(bǔ)充或糾如果學(xué)生泥到：由于結(jié)合此題的

索正.結(jié)合此題的實(shí)際背實(shí)際背景，自變量

景，銷(xiāo)售單價(jià)為整x的取值范圍為20

教師講解:我們只是利用此二次函數(shù)，對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)值WW35的整數(shù)，

思數(shù)圖象幫助分析，圖象上的點(diǎn)并不全也為整數(shù)，此題的圖象應(yīng)由此二次函

滿(mǎn)足題意.圖象應(yīng)由二次函數(shù)數(shù)圖象上一些不連

圖象上一些不連續(xù)續(xù)的點(diǎn)構(gòu)成，對(duì)于

考的點(diǎn)構(gòu)成.此問(wèn)題，如果學(xué)生

提出給予簡(jiǎn)單講

解，若未提出，則

不提此問(wèn)題.

通過(guò)探索求此二

次函數(shù)最大值方法

的過(guò)程，進(jìn)一步讓

學(xué)生明確此二次函

教師對(duì)這三種求此二次函數(shù)最大數(shù)的最大值就是頂

值的方法都給予肯定（根據(jù)學(xué)生答復(fù)點(diǎn)的縱坐標(biāo)值.

情況調(diào)整探索三種方法的順序）.

學(xué)生驗(yàn)證：讓學(xué)生明確在運(yùn)

根據(jù)實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)

的意義，檢驗(yàn)自變際問(wèn)題時(shí)，要注意

問(wèn)量的這一取值是與實(shí)際背景相結(jié)

否在取值范圍內(nèi).合.

題解決問(wèn)題：通過(guò)“提出問(wèn)題

當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)X是____________元當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)是——解決問(wèn)題〃的

解時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)外最大利潤(rùn)29元時(shí)，可以獲得過(guò)程，前后照應(yīng)，

y是____________元.最大利潤(rùn)是16200穩(wěn)固己學(xué)知識(shí)，并

決元.讓學(xué)生體會(huì)二次函

數(shù)是解決實(shí)際問(wèn)題

的一類(lèi)重要數(shù)學(xué)模

型.

同學(xué)們利用己學(xué)過(guò)的知識(shí)解決了

“何時(shí)獲得最大利潤(rùn)〃問(wèn)題.教師進(jìn)

一步提出：怎樣來(lái)求一般二次函數(shù)的

最值呢？

由于前面研究的

是a<0的二次函

數(shù)，因此先觀察此

學(xué)生觀察二次函類(lèi)函數(shù)圖象.

歸數(shù)圖象，驗(yàn)證歸納

納得出：當(dāng)a<0時(shí)，

求二次函數(shù)最大值是

"[頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)值；

次當(dāng)aX）時(shí)，二次函

函數(shù)的最小值也是頂有了a<0的二次

數(shù)點(diǎn)的縱坐標(biāo)值.函數(shù)最大值的驗(yàn)證

最過(guò)程后，學(xué)生很容

值易歸納出aX）的二

的次函數(shù)最小值也是

頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)值.

般

方

法

最后歸納出求二

通過(guò)對(duì)一般二次

次函數(shù)最大（小）

在此過(guò)程中鼓勵(lì)學(xué)生相互補(bǔ)充.函數(shù)最大（?。┲?/p>

值的方法：

問(wèn)題的探究歸納，

（1）.配方化為頂點(diǎn)

讓學(xué)生再次明確二

式求最大（?。┲?；

次函數(shù)的最大（?。?/p>

（2）.直接帶入頂點(diǎn)

坐標(biāo)公式求最大值就是頂點(diǎn)的縱坐

(小)值；標(biāo)值，使學(xué)生明確

(3).利用圖象找頂求二次函數(shù)最大

點(diǎn)求最大(小)值.(小)值的三種方

法.

1.在本章第一節(jié)“種多少棵橙子樹(shù)〃學(xué)生答復(fù)：

的問(wèn)題中，我們得到表示增種橙子樹(shù)1.y=5(尸IO)、第1題運(yùn)用求二

的數(shù)量X(棵)與橙子總產(chǎn)量y(個(gè))60500，當(dāng)戶(hù)10時(shí),次函數(shù)最大值的方

的二次函數(shù)表達(dá)式為7=60500.法解決橙子最大產(chǎn)

知>'=-5.r2+100^+60000,也曾用列表的此外，學(xué)生還可量問(wèn)題，驗(yàn)證本章

第一節(jié)所提出的問(wèn)

方法得到一個(gè)猜測(cè)：當(dāng)p10時(shí);橙以利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公

題中猜測(cè)的正確

子的總產(chǎn)量最多.現(xiàn)在請(qǐng)你驗(yàn)證一下式、圖象求該二次

識(shí)性.

你的猜測(cè)是否正確.你是怎樣做的？函數(shù)最大值.

與同伴交流.

2.如圖，假設(shè)籬笆(虛線(xiàn)局部)的

運(yùn)

長(zhǎng)度是15米，/夕邊為x米，所圍

成矩形的面積為y平方米.

用

(1).寫(xiě)出y與x的關(guān)系式；

(2).利用函數(shù)圖象描述籬笆所圍成2.(1).尸y+15x

(0<AK15)

的矩形面積與月方的長(zhǎng)之間的關(guān)系；

(2).引導(dǎo)學(xué)生分

第2題第(2)問(wèn),

析圖象得到當(dāng)

教師利用多媒體課

x<l.5時(shí)，所圍成

件繪制該二次函數(shù)

矩形的面積隨著

圖象，學(xué)生利用圖

的增大而增大；

象直觀分析，體會(huì)

當(dāng)心>7.5時(shí)，所圍

數(shù)形結(jié)合的思想方

成矩形的面積隨著

48的增大而減小.法，再次感受二次

函數(shù)的最大值是圖

知（3）.當(dāng)力夕為多少米時(shí)，可以使籬笆象頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)

所圍成的矩形面積在50平方米以值.

上？結(jié)合圖象進(jìn)行分析.（3）.當(dāng)5cm<AB<

第⑶問(wèn)通過(guò)設(shè)

識(shí)教師利用多媒體展示該二次函數(shù)10cm時(shí),可以使籬

置由函數(shù)值求自變

大致圖象.笆所圍成的矩形面

量取值的問(wèn)題培養(yǎng)

積在50平方米以

學(xué)生的逆向思維.

運(yùn)

用

3.某公司試銷(xiāo)一種本錢(qián)單價(jià)為500針對(duì)我班學(xué)生能

元/件的新產(chǎn)品，規(guī)定試銷(xiāo)時(shí)的銷(xiāo)售力較強(qiáng)，思維比較

單價(jià)不低于本錢(qián)單價(jià)，又不高于800活潑的特點(diǎn)，補(bǔ)充

元/件，經(jīng)試銷(xiāo)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷(xiāo)售量y了一題綜合利用一

（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元/件）可近次函數(shù)和二次函數(shù)

似于一次函數(shù)：知識(shí)求最大毛利潤(rùn)

片一戶(hù)1000（500WxW830,彳為整的練習(xí)，進(jìn)一步培

數(shù)）.3.(DS=A150養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀

設(shè)公司獲得毛利潤(rùn)（毛利潤(rùn):銷(xiāo)售總Ox能力和知識(shí)綜合運(yùn)

價(jià)一本錢(qián)總價(jià)）為S元.500000用能力.

（1）.使用銷(xiāo)售單價(jià)x表示毛利潤(rùn)S；(500WxW800,xS與x之間無(wú)直

（2）.若你是試銷(xiāo)員，要使公司獲得最為整數(shù)）.接聯(lián)系，必須通過(guò)

大的毛利潤(rùn)，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少⑵.S=(x750)中間變量y進(jìn)行代

元？此時(shí)最大毛利潤(rùn)是多少元，銷(xiāo)售2+換，因此確定S與

量是多少件？62500.X之間的函數(shù)關(guān)系

當(dāng)方750時(shí)，SQ值是解決此題的關(guān)

=62500,此時(shí)

尸250（件）.鍵.

通過(guò)小結(jié)，使學(xué)

生這節(jié)課所學(xué)的知

教師在學(xué)生小結(jié)的基礎(chǔ)上作點(diǎn)評(píng)識(shí)系統(tǒng)化，感性認(rèn)

或補(bǔ)充.識(shí)上升為理性認(rèn)

1.求二次函數(shù)最大（?。┲档姆椒ǎ鹤R(shí).

（1）.利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式,求最大（?。?/p>

知學(xué)生小結(jié)求二次

值；

函數(shù)最大（?。┲?/p>

（2）.利用配方化為頂點(diǎn)式，求最大

識(shí)的方法和利用二次

（小）值；

函數(shù)知識(shí)解;夬生活

（3）.利用圖象，找頂點(diǎn)，求最大（小）

小中最大（?。┲祮?wèn)

值.

題的步驟.

結(jié)

2.利用二次函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題

的步驟：在歸納解題步驟

中適當(dāng)滲透簡(jiǎn)單的

數(shù)學(xué)建模和算法思

想.

在矩形ABCD中，/廬6cm,比M2cm.點(diǎn)

產(chǎn)從1點(diǎn)開(kāi)始沿邊向4點(diǎn)以每秒為滿(mǎn)足不同學(xué)生

1cm的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)"的學(xué)習(xí)要求設(shè)計(jì)此

從點(diǎn)〃開(kāi)始沿陽(yáng)邊向C點(diǎn)、以每秒2cm題,若時(shí)間允許，

的速度運(yùn)動(dòng).如果入科分別同學(xué)生討論并做出課堂上完成.若時(shí)

時(shí)從48出發(fā)，設(shè)S表示△PDM答復(fù)：間不允許，鼓勵(lì)學(xué)

知

的面積，X表示運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.(1).S-/6戶(hù)36生課外探究.

(1).求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(0WxW6).第⑵問(wèn)涉及到

識(shí)

及自變量x的取值范圍.(2).當(dāng)x=3時(shí),S最小值，對(duì)本節(jié)課

(2).求出何時(shí)S的值最小，S最小有最小值27.內(nèi)容進(jìn)行拓展的同

拓

值為多少？時(shí)，為下節(jié)