浙江省杭州五校2025年數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列滿足，若.則的值是（）A. B.C. D.3．在四棱錐中，四邊形為菱形，平面，是中點(diǎn)，下列敘述正確的是（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面4．方程表示的曲線為（）A.拋物線與一條直線 B.上半拋物線（除去頂點(diǎn)）與一條直線C.拋物線與一條射線 D.上半拋物線（除去頂點(diǎn)）與一條射線5．已知數(shù)列中，，()，則（）A. B.C. D.26．函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值等于（）A.2 B.3C.5 D.67．已知命題若直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線與拋物線相切，命題若，則方程表示橢圓.下列命題是真命題的是A. B.C. D.8．已知雙曲線上的點(diǎn)到的距離為15，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（）A.7 B.23C.5或25 D.7或239．設(shè)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若（為常數(shù)），則（）A. B.C. D.10．“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.12．已知雙曲線的離心率為2，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為______.14．已知函數(shù)定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t______15．若，且，則_____________16．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，S9=81，，求：（1）Sn；（2）若S3、、Sk成等比數(shù)列，求k18．（12分）如圖，四棱錐中，，，，平面.（1）在線段上是否存在一點(diǎn)使得平面？若存在，求出的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由；（2）求四棱錐的體積.19．（12分）點(diǎn)A、B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于軸上方，.（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值.20．（12分）求證：（1）是上的偶函數(shù)；（2）是上的奇函數(shù).21．（12分）為了解某城中村居民收入情況，小明利用周末時(shí)間對(duì)該地在崗居民月收入進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并將調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)直方圖估算：（1）在該地隨機(jī)調(diào)查一位在崗居民，該居民收入在區(qū)間內(nèi)的概率；（2）該地區(qū)在崗居民月收入的平均數(shù)和中位數(shù)；22．（10分）浙江省新高考采用“3+3”模式，其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科為必考科目，另外考生根據(jù)自己實(shí)際需要在政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)7門科目中自選3門參加考試．下面是某校高一200名學(xué)生在一次檢測(cè)中的物理、化學(xué)、生物三科總分成績(jī)，以組距20分成7組：[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]，畫出頻率分布直方圖如下圖所示（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）由頻率分布直方圖，求物理、化學(xué)、生物三科總分成績(jī)的第60百分位數(shù)；（3）若小明決定從“物理、化學(xué)、生物、政治、技術(shù)”五門學(xué)科中選擇三門作為自己的選考科目，求小明選中“技術(shù)”的概率

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】直接利用正態(tài)分布的應(yīng)用和密度曲線的對(duì)稱性的應(yīng)用求出結(jié)果【詳解】根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以密度曲線關(guān)于直線對(duì)稱，由于，所以，所以，則，所以故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正態(tài)分布的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題2、D【解析】由，轉(zhuǎn)化為，再由求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，故選：D3、D【解析】利用反證法可判斷A選項(xiàng)；利用面面垂直的性質(zhì)可判斷BC選項(xiàng)；利用面面垂直的判定可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，平面，平面，平面，若平面，因?yàn)椋瑒t平面平面，事實(shí)上，平面與平面相交，假設(shè)不成立，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，平面，平面，則，，，平面，而過作平面的垂線，有且只有一條，故與平面不垂直，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫矫?，則，，，則平面，若平面平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，平面，而過點(diǎn)作平面的垂線，有且只有一條，即、重合，所以，平面平面，所以，，但四邊形為菱形，、不一定垂直，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，平面，平面，，，平面，因?yàn)槠矫?，因此，平面平面平面，D對(duì).故選：D.4、B【解析】化簡(jiǎn)得出或，由此可得出方程表示的曲線.【詳解】由可得或，所以，方程表示的曲線為上半拋物線（除去頂點(diǎn)）與一條直線，故選：B.5、A【解析】由已知條件求出，可得數(shù)是以3為周期的周期數(shù)列，從而可得，進(jìn)而可求得答案【詳解】因?yàn)椋?)，所以，所以數(shù)列的周期為3，，故選：A6、B【解析】由f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，得到在[1，+∞）上，恒成立，從而解得a≤3，故a的最大值為3【詳解】解：∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)∴在[1，+∞）上恒成立即a≤3x2，∵x∈[1，+∞）時(shí)，3x2≥3恒成立，∴a≤3，∴a的最大值是3故選：B7、B【解析】若直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，滿足條件，此時(shí)直線與拋物線相交，可判斷命題為假；當(dāng)時(shí)，，命題為真，根據(jù)復(fù)合命題的真假關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】若直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，直線與拋物不相切，可得命題是假命題，當(dāng)時(shí)，，方程表示橢圓命題是真命題，則是真命題.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】根據(jù)雙曲線的定義知，，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線的定義知，，而，所以或故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的定義及其應(yīng)用，其中解答中熟記雙曲線的定義，列出方程是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】.故選：C.10、A【解析】因?yàn)橹本€和直線垂直，所以或，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷得解.【詳解】因?yàn)椤爸本€和直線垂直，所以或.當(dāng)時(shí)，直線和直線垂直；當(dāng)直線和直線垂直時(shí)，不一定成立.所以是直線和直線垂直的充分不必要條件，故選：A11、B【解析】利用基底向量表示出向量，，即可根據(jù)向量夾角公式求出【詳解】如圖所示：不妨設(shè)棱長(zhǎng)為1，，，所以＝＝，，，即，故異面直線與所成角的余弦值為故選：B注意事項(xiàng)：1.將答案寫在答題卡上2.本卷共10小題，共80分.12、A【解析】根據(jù)離心率及a，b，c的關(guān)系，可求得，代入即可得答案.【詳解】因?yàn)殡x心率，所以，所以，，則，所以C的漸近線方程為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】求得雙曲線的一條漸近線方程，求得圓心和半徑，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式，可得a，b的關(guān)系，即可得到的值【詳解】一漸近線x＋ay＝0，被圓(x－2)2＋y2＝4所截弦長(zhǎng)為2，所以圓心到直線距為，即，a＝1.所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2.故答案為：14、3【解析】根據(jù)定義域和值域，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求得的值，進(jìn)而得解.【詳解】因?yàn)?，由余弦函?shù)的圖像與性質(zhì)可得，則，由值域?yàn)榭傻茫?，故答案為?.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦函數(shù)圖像與性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】由，可得，，，從而利用換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，，，又，所以，所以，所以，故答案為?16、.【解析】由求導(dǎo)公式求出導(dǎo)數(shù)，再把代入求出切線的斜率，代入點(diǎn)式方程化為一般式即可.【詳解】由題意得，∴在點(diǎn)處的切線的斜率是，則在點(diǎn)處的切線方程是，即.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.注意區(qū)分“在某點(diǎn)處的切線”與“過某點(diǎn)的切線”，前者“某點(diǎn)”是切點(diǎn)，后者“某點(diǎn)”不一定是切點(diǎn).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）Sn=n2（2）11【解析】(1)由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與下標(biāo)和性質(zhì)先求，然后結(jié)合可解；(2)由(1)中結(jié)論和已知列方程可解.【小問1詳解】由，解得，又∵，∴，，∴【小問2詳解】∵S3，S17–S16，Sk成等比數(shù)列，∴S3Sk=(S17–S16)2=，即9k2=332，解得：k=1118、（1）存在，為的中點(diǎn)，證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，證明，由線面平行的判定定理即可求證；（2）先證明平面面，過點(diǎn)作于點(diǎn)，即可證明面，在中，利用面積公式求出即為四棱錐的高，再由棱錐的體積公式即可求解.【詳解】（1）線段上存在點(diǎn)使得平面，為的中點(diǎn).證明如下：如圖取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以且因?yàn)榍?，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，可得，因?yàn)槊?，面，所以平面；?）過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，面，所以平面面，因?yàn)椋?，平面面，所以面，因?yàn)?，，所以，，所以，即，所以，即為四棱錐的高，所以.19、（1）(,).（2）【解析】（1）根據(jù)條件列關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)得方程組，解得結(jié)果，（2）先根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式結(jié)合條件解得點(diǎn)M坐標(biāo)，再建立的函數(shù)解析式，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最小值.【詳解】解:（1）由已知可得點(diǎn)A(－6,0),F(4,0)設(shè)點(diǎn)P(,),則={+6,},={－4,},由已知可得則2+9－18=0,解得=或=－6.由于>0,只能=,于是=.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,).（2）直線AP的方程是－+6=0.設(shè)點(diǎn)M(,0),則M到直線AP的距離是.于是=,又－6≤≤6,解得=2.橢圓上的點(diǎn)(,)到點(diǎn)M的距離為,則,由于－6≤≤6,∴當(dāng)=時(shí),取得最小值.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系，考查基本分析求解能力，屬中檔題.20、（1）證明見詳解（2）證明見詳解【解析】利用函數(shù)奇偶性的定義證明即可【小問1詳解】由題意函數(shù)定義域?yàn)榍夜适巧系呐己瘮?shù)【小問2詳解】由題意函數(shù)定義域?yàn)榍夜适巧掀婧瘮?shù)21、（1）（2）平均數(shù)為；中位數(shù)為.【解析】（1）直接根據(jù)概率和為1計(jì)算得到答案.（2）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義直接計(jì)算得到答案.【小問1詳解】該居民收入在區(qū)間內(nèi)的概率為：【小問2詳解】居民月收入的平均數(shù)為：.第一組概率為，第二組概率為，第三組概率為，設(shè)居民月收入的中位數(shù)為，則，解得.22、（1）=0.005（2）232（3）【解析】（1）由頻率和為1列方程求解即可，（2）由于前3組的頻率和小于0.6，前4組的頻率和大于0.6，所以三科總分成績(jī)的第60百分位數(shù)在第4組內(nèi)，設(shè)第60百分位數(shù)為，則0.45+0.0125×(?220)=0.6，從而可求得結(jié)果，（3）利用列舉法求解即可【小問1詳解】由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+0.0075++0.0025)×20=1，解得=0.005【小問2詳解】