專題13.1與三角形有關(guān)線段的綜合思維方法思維方法正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠(yuǎn)、從左到右、從可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學(xué)難題進(jìn)程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)進(jìn)行探索的思維方式，比如正向思維無法解決問題時可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時可采用間接證明。知識點(diǎn)總結(jié)知識點(diǎn)總結(jié)一、三角形的三邊關(guān)系三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形．二、三角形的角平分線、中線和高1.從三角形的一個頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．2.三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點(diǎn)，則這個內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線．

3.三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．

4.三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．

5.銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點(diǎn)．典例分析典例分析【典例1】【問題情境】如圖1，AD是△ABC的中線，△ABC與小旭同學(xué)在圖1中作BC邊上的高AE，根據(jù)中線的定義可知BD=CD．又因為高AE相同，所以S△

【深入探究】（1）如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，點(diǎn)P在AD①若AD是△ABC的中線，求證：S②若BD=3DC，則S【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長四邊形ABCD的各邊，使得點(diǎn)A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點(diǎn)，依次連結(jié)E、F、G、H得四邊形EFGH．①求證：S△②若S四邊形ABCD=3，則【思路點(diǎn)撥】（1）①根據(jù)中線的性質(zhì)可得S△ADB=S△ADC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，推得PD是②設(shè)△ABC邊BC上的高為h，根據(jù)三角形的面積公式可得S△ADB=12×BD×h，S（2）①連接AG，AC，CE，根據(jù)中線的判定和性質(zhì)可得S△GAH=S△GAD=12S△GHD，S△②由①可得S△HDG+S△FBE=2【解題過程】（1）①證明：∵AD是△ABC∴S△ADB=S△∴PD是△PBC∴S△∴S△即S△②S△解：設(shè)△ABC邊BC上的高為h則S△ADB=∵BD=3∴S△同理S△則S△即S△∴S△（2）①證明：連接AG，AC，CE，如圖：

∵點(diǎn)A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點(diǎn)，∴AG，BC，CE，DA分別為△GHD，△CAE，△EFB∴S△GAH=S△GAD=∴S△ADC∵S四邊形即S△②15，解：由①可得S△HDG+S四邊形即S四邊形∵S四邊形∴S四邊形學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，三角形ABC被分成三角形BEF和四邊形AEFC兩部分，BE=3，BF=4，F(xiàn)C=5，AE=6，那么三角形BEF面積和四邊形AEFC面積的比是（）A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：62．（2023下·重慶沙坪壩·七年級重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，延長CA至點(diǎn)F，使得AF=CA，延長AB至點(diǎn)D，使得BD=2AB，延長BC至點(diǎn)E，使得CE=3CB，連接EF、FD、DE

A．1 B．2 C．3 D．43．（2023下·江蘇蘇州·七年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，D是邊BC上的中點(diǎn)，AF=2FB，CE=3AE，連接CF交DE

A．12 B．25 C．134．（2023下·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB和BC上，AD=2BD，BE=EC，AE和CD相交于點(diǎn)M，△ADM比△CEM的面積大A．9 B．10 C．11 D．125．（2023下·貴州畢節(jié)·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF

A．60 B．56 C．70 D．486．（2023下·七年級課時練習(xí)）不等邊△ABC的兩條高的長度分別為4和12，若第三條高也為整數(shù)，那么它的長度最大值是7．（2023下·陜西西安·七年級西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若△ABC中AB＝AC，且面積為定值，點(diǎn)P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF．當(dāng)PF＝3，C到AB的距離CH＝7時，P到AB的距離為．8．（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┤鐖D，BD,CE都是△ABC的高，過點(diǎn)A作AF∥BC交CE的延長線于點(diǎn)F，BD=6，AB:AC

9．（2023上·廣東廣州·七年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在三角形ABC中，D是BC邊上靠近C的三等分點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，已知三角形ABC的面積為3，那么圖中兩個陰影三角形面積之和是．10．（2023下·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)C為直線AB外一動點(diǎn)，AB=6，連接CA、CB，點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，連接AE、CD交于點(diǎn)F，當(dāng)四邊形BEFD

11．（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，已知BD為△ABC的中線，過點(diǎn)A作AE⊥BD分別交BD、BC于點(diǎn)F、E，連接CF，若DF=2，AF=612．（2023下·重慶沙坪壩·七年級重慶一中?？计谀┤鐖D，在△ABC中，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，CD:AD=1:2，連接BD，點(diǎn)E是線段BD上一點(diǎn)，BE:ED=1:3，連接AE，點(diǎn)F是線段AE的中點(diǎn)，連接CF交線段BD于點(diǎn)G，若△

13．（2023下·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，D是邊AB的中點(diǎn)，E、F分別是邊AC上的三等分點(diǎn)，連接BE、BF分別交CD于G、H點(diǎn)，若△ABC的面積為90，則四邊形

14．（2023下·江蘇連云港·七年級?？茧A段練習(xí)）設(shè)△ABC的面積為a，如圖①將邊BC、AC分別2等份，BE1、AD1相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為S1；如圖②將邊BC、AC分別3等份，BE1、AD1

15．（2023上·安徽六安·八年級六安市第九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中AB>BC，AC=2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成60和

16．（2023上·陜西西安·七年級西安市鐵一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，且BE=13AB，CF=

（1）連接BD，BH，若三角形ABD的面積為9平方厘米，則三角形ABH的面積是三角形______，三角形AEH的面積是______．（2）如果陰影部分面積為45平方厘米，則四邊形ABCD的面積是多少?17．（2023上·廣東廣州·八年級廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在△ABC中，AB=2，BC=4，CD（1）如圖①，已知AE⊥BC于E（2）如圖②，P是線段AC上任意一點(diǎn)（P不與A、C重合），過P作PE⊥BC于E，PF⊥AB（3）在圖②中，若P是AC延長線上任意一點(diǎn)，其他條件不變，請畫出圖形并直接寫出PE、PF、CD之間的關(guān)系．18．（2024上·北京西城·七年級北京四中?？茧A段練習(xí)）設(shè)△ABC的面積為a（1）如圖1，延長△ABC的各邊得到△A1B1C1，且A1B=AB，B1（2）如圖2，延長△ABC的各邊得到△A1B1C1，且A1B=2AB，B1（3）如圖3，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AP、BP、CP并延長分別交邊BC、AC、AB于點(diǎn)D、E、F，則把△ABC分成六個小三角形，其中四個小三角形面積已在圖上標(biāo)明，則計算得到△ABC的面積19．（2023下·江蘇鹽城·七年級?？茧A段練習(xí)）【數(shù)學(xué)經(jīng)驗】三角形的中線，角平分線，高是三角形的重要線段，同時，我們知道，三角形的3條高所在直線交于同一點(diǎn)．（1）①如圖1，△ABC中，∠A=90°，則△②如圖2，△ABC中，∠BAC>90°，已知兩條高BE、AD【綜合應(yīng)用】（2）如圖3，在△ABC中，∠ABC>∠C，AD平分∠BAC，過點(diǎn)B①若∠ABC=80°，∠C=30°②請寫出∠EBD與∠ABC，∠C【拓展延伸】（3）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，如果兩個三角形的高相同，則它們的面積比等于對應(yīng)底邊的比．如圖4，△ABC中，M是BC上一點(diǎn)，則有△ABM的面積△ACM的面積=BMCM．如圖5，△ABC中，M是BC上一點(diǎn)，且BM=13BC，20．（2023下·江蘇淮安·七年級?？茧A段練習(xí)）已知△ABC的面積是60

（1）如圖1，若AD是△ABC的BC邊上的中線，則△ABD的