第十三章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明(含熱考模型)1.認(rèn)識(shí)三角形三角形的定義：由_________上的三條線段_________所組成的圖形叫做三角形.概念示例圖示頂點(diǎn)三角形兩邊的_________叫做三角形的頂點(diǎn).邊組成三角形的三條_________稱為三角形的三條邊.內(nèi)角在三角形中，每?jī)蓷l邊所組成的_________叫做三角形的內(nèi)角.三角形的表示：用符號(hào)“_________”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“_________”，讀作“_________”，字母的順序可以自由安排，即?ABC，?ACB等均為_________三角形.2.三角形的分類1）三角形_________分類：2）三角形_________分類：3.三角形的三邊關(guān)系:任意_________<第三邊<任意_________.（理論依據(jù)：_________）4.三角形的高、中線、角平分線三角形的高三角形的中線三角形的角平分線定義從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作_________，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊_________的線段．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段．圖示作法過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D．性質(zhì)∵AD是?ABC中BC邊的高∴_________=_________=90°∵AD是?ABC中BC邊的中線∴_________=__________________=_________=S△ABC∵AD是?ABC中∠BAC的角平分線∴_________=_________=12∠5.三角形的內(nèi)角和定理定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于_________．表達(dá)形式：在△ABC中，_________=180°證明方法：圖示方法6.直角三角形的性質(zhì)與判定1）性質(zhì):直角三角形的兩個(gè)_________.2）寫法:直角三角形可以用符號(hào)“_________”表示，直角三角形ABC可以寫成_________.3）判定:①文字表述:有兩個(gè)角_________的三角形是直角三角形.②幾何表述:在△ABC中，如果_________=90°，那么△ABC是直角三角形.7.三角形的外角三角形外角的定義：三角形的_________與_________組成的角，叫做三角形的外角.圖中的∠ACD為△ABC的一個(gè)外角.三角形的外角的性質(zhì)：1）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的_________；2）三角形的一個(gè)外角_________任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．三角形的外角和定理：三角形的外角和為_________．8.常見模型及結(jié)論A字模型8字模型飛鏢模型老鷹抓小雞模型點(diǎn)O為∠A內(nèi)部的一點(diǎn)三角形翻折模型（內(nèi)折）三角形翻折模型（外折）類型兩內(nèi)角平分線模型兩外角平分線模型一內(nèi)一外角平分線條件BD、DC分別平分∠ABC、∠ACBBD、DC分別平分∠EBC、∠BCFBE、EC分別平分∠ABC、∠ACD圖示結(jié)論大招內(nèi)加外減，一內(nèi)一外不加不減.9.命題定義：_________的語句，叫做命題.組成：命題是由_________和_________兩部分組成，題設(shè)是_________，結(jié)論是_________．表達(dá)形式：可以寫成“_________”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論．10.真命題、假命題內(nèi)容舉例注意真命題如果題設(shè)_________，那么結(jié)論_________的命題，叫做真命題說明一個(gè)命題是真命題，需從已知出發(fā),經(jīng)過一步步推理，最后得出正確結(jié)論假命題命題中題設(shè)_________時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立的命題，叫做假命題判定一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子(反例)，使它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論即可【注意】只要是對(duì)一件事情作出判斷的句子就是命題，與判斷的結(jié)果正確與否無關(guān)，命題一定是陳述句，但是陳述句不一定是命題，而祈使句和疑問句一定不是命題.如語句“對(duì)頂角相等”是一個(gè)命題，這里的事物是“對(duì)頂角”,對(duì)它的判斷是“相等”.又如語句“a的絕對(duì)值與b的絕對(duì)值”不是命題，這里沒有對(duì)事物進(jìn)行任何判斷.11.逆命題逆命題：把原命題的_________作為命題的題設(shè)，把原命題的_________作為命題的結(jié)論，所組成的命題叫做原命題的逆命題.互逆命題：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的_________是第二個(gè)命題的_________，而第一個(gè)命題的_________是第二個(gè)命題的_________，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．如果把其中的一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題就叫做它的逆命題．序號(hào)易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)題注意事項(xiàng)1利用三角形的三邊關(guān)系時(shí)，忽略三角形構(gòu)成的條件1-3已知三角形兩邊的長(zhǎng)度分別為a，b，求第三邊長(zhǎng)度的范圍：|a-b|＜c＜a＋b2利用分類討論思想求等腰三角形邊/角4-61）已知等腰三角形兩邊長(zhǎng)，但沒有明確腰，底分別是多少，需要進(jìn)行討論，所求得的結(jié)果還要滿足三角形的三邊關(guān)系.2）已知等腰三角形周長(zhǎng)和一條邊的長(zhǎng)，需分情況討論已知的邊長(zhǎng)是腰還是底，所求得的結(jié)果還要滿足三角形的三邊關(guān)系.3）已知等腰三角形一個(gè)角求另外兩個(gè)角，需要進(jìn)行討論.3直角三角形問題中忽略直角的條件7-9直角三角形的兩個(gè)銳角互余.4與三角形的有關(guān)角度計(jì)算中，沒有充分利用內(nèi)角和和外角的性質(zhì)而出錯(cuò)10-121）三角形的內(nèi)角和為180°；2）直角三角形中兩銳角和為90°；3）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.1．有4根長(zhǎng)度分別為，，，的木棒，從中任意取3根，則這根木棒恰好能首尾相接構(gòu)成三角形的周長(zhǎng)是．2．已知三角形的三邊分別為，則a的整數(shù)值可能是．（填一種即可）3．已知的三邊長(zhǎng)分別為，，，化簡(jiǎn)．4．已知一個(gè)等腰三角形的一邊長(zhǎng)為4．（1）若另一邊長(zhǎng)為5，則該等腰三角形的周長(zhǎng)是；（2）若另一邊長(zhǎng)為2，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為；（3）若周長(zhǎng)為9，則該等腰三角形的另兩邊長(zhǎng)分別是．5．已知是等腰三角形．（1）如果它的兩條邊的長(zhǎng)分別為和，那么它的周長(zhǎng)是；（2）如果它的周長(zhǎng)為，一條邊的長(zhǎng)為，那么它的腰長(zhǎng)是．6．等腰三角形中，，則的度數(shù)為．7．已知是直角三角形，那么這個(gè)直角三角形三個(gè)內(nèi)角的比可以是（

）A． B． C． D．8．如圖是兩個(gè)直角三角形，則的度數(shù)是．9．已知點(diǎn)E為中邊上一點(diǎn)，連接，，，當(dāng)為直角三角形時(shí)，則的度數(shù)是．10．如圖，在中，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是和上一點(diǎn)，，，．若，則11．如圖，和相交于點(diǎn)，，，，分別平分和，若，則．12．一個(gè)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則該等腰三角形的頂角度數(shù)為．重難點(diǎn)01三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用1．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）若a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)．2．（24-25八年級(jí)上·安徽淮南·期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中與構(gòu)成的三邊，且為整數(shù)．3．（23-24八年級(jí)上·安徽蕪湖·期中）已知是的三邊長(zhǎng)．(1)若滿足，試判斷的形狀：(2)化簡(jiǎn)：．4．（24-25八年級(jí)上·安徽蚌埠·階段練習(xí)）已知，，分別為的三邊，且滿足，，求的取值范圍．5．（23-24八年級(jí)上·安徽合肥·單元測(cè)試）在中，．(1)求長(zhǎng)度的取值范圍；(2)若的周長(zhǎng)為偶數(shù)，求的周長(zhǎng)，并判斷此時(shí)的形狀．重難點(diǎn)02利用三角形三邊關(guān)系比較線段大小6．（21-22八年級(jí)上·安徽六安·期中）在中，，是的角平分線，請(qǐng)比較與的大小，并說明理由．7．（20-21八年級(jí)上·安徽馬鞍山·期中）如圖，中，、分別在、上，，是中點(diǎn)，試比較與的大?。?．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·課堂例題）如圖所示，是的內(nèi)角平分線，是上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，試比較與的大小，并說明理由．

9．（2023八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)、在直線的同側(cè)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，交于點(diǎn)．

(1)與相等嗎？為什么？(2)在上再取一點(diǎn)，并連接與，比較與的大小，并說明理由．10．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，點(diǎn)是的外角的平分線上的一點(diǎn)，你能比較與的大小嗎？說說你的理由．重難點(diǎn)03畫三角形的高、中線、角平分線11．（24-25八年級(jí)上·安徽安慶·期中）在下面的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．(1)畫出邊上的高和中線；(2)畫出邊上的高，并直接寫出的長(zhǎng)（提示：的長(zhǎng)等于5）．12．（24-25八年級(jí)上·安徽淮北·階段練習(xí)）在如圖所示的方格紙中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．(1)畫出邊上的中線，并標(biāo)出的位置；(2)畫出邊上的高線，并標(biāo)出的位置；(3)的面積是．13．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，已知．(1)畫中線．(2)畫的高及的高．(3)比較大?。篲__________．(填“”“”或“”)重難點(diǎn)04利用等面積法求邊長(zhǎng)14．（24-25八年級(jí)上·安徽淮北·期中）已知，是邊上的中線，且，若的邊上的高為2，的邊上的高為4，求的長(zhǎng)．15．（24-25八年級(jí)上·安徽滁州·期中）如圖，和是的兩條高線且相交于點(diǎn)O．(1)已知，求的度數(shù)；(2)若，，求的值．16．（23-24七年級(jí)下·陜西漢中·期末）如圖，為的角平分線，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若，，，求的長(zhǎng)．

17．（23-24八年級(jí)上·浙江紹興·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中常常利用面積相等來證明其他的線段相等，這種方法被稱為“面積法”．已知等邊，點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到邊、邊的距離分別為、，的邊上的高為．回答以下問題：

(1)如圖（1），若點(diǎn)在三角形的邊上，、、存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明過程．(2)如圖（2），當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)，已知，求的值．(3)如圖（3），當(dāng)點(diǎn)在外，請(qǐng)直接寫出與、、的數(shù)量關(guān)系，不用證明．重難點(diǎn)05利用三角形的中線求長(zhǎng)度/面積18．（24-25八年級(jí)上·安徽六安·期中）在中，，．(1)若是偶數(shù)，求的長(zhǎng)；(2)已知是的中線，若的周長(zhǎng)為13，求的周長(zhǎng)．19．（24-25八年級(jí)上·安徽安慶·期中）如圖，是的中線，是的中線．(1)求證：；(2)若，求的面積．20．（24-25八年級(jí)上·安徽淮北·期末）如圖，直線：交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，直線：交x軸，y軸于C，D兩點(diǎn)，直線，相交于點(diǎn)E．(1)點(diǎn)E的坐標(biāo)為________；(2)直線，與x軸圍成的三角形面積為________；(3)過點(diǎn)E的直線把面積兩等分，求這條直線的表達(dá)式．21．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期中）如圖，在中，是角平分線，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)，重合），連接交于點(diǎn)．(1)若是中線，，，求與的周長(zhǎng)差；(2)若是高，，求的度數(shù)．重難點(diǎn)06求網(wǎng)格中的三角形面積22．（24-25八年級(jí)上·安徽宿州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，是的邊上的一點(diǎn)，經(jīng)過平移后得到，，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，．點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．(1)寫出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在圖中畫出；(3)的面積為_____．23．（24-25八年級(jí)上·安徽滁州·期中）如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．(1)的面積為______；(2)過點(diǎn)A作的高線，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為______；(3)將先向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，畫出．24．（24-25八年級(jí)上·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．(1)畫出關(guān)于軸對(duì)稱的，C的面積是_________；(2)在（）的條件下，已知點(diǎn)，直線軸，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_________．25．（2024八年級(jí)上·安徽·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．(1)求出的面積；(2)畫出關(guān)于軸的對(duì)稱圖形；(3)在軸上找一點(diǎn)，使點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之和最小（保留作圖痕跡）．重難點(diǎn)07三角形高、中線、角平分線綜合26．（23-24八年級(jí)上·山西長(zhǎng)治·期中）如圖，，分別是的中線和高，是的角平分線

(1)若，求的度數(shù)．(2)若，求中線長(zhǎng)的取值范圍．27．（22-23八年級(jí)上·安徽合肥·期中）如圖，分別是的高線、角平分線和中線．(1)有下列結(jié)論：①；②；③；④與互余．其中正確的是_______（填序號(hào)）．(2)若，求的度數(shù)．28．（21-22八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，AD、AE、AF分別是ABC的高線、角平分線和中線．(1)若，CF=4，求AD的長(zhǎng)．(2)若∠C=70°，∠B=26°，求∠DAE的度數(shù)．29．（24-25八年級(jí)上·山西呂梁·階段練習(xí)）如圖，和分別是的高和角平分線，是邊的中線．(1)若的面積為6，則的面積為_________．(2)若，求的度數(shù)．(3)在（2）的條件下，若，求的度數(shù)．重難點(diǎn)08利用分類討論思想探討等腰三角形的邊/角30．（23-24八年級(jí)上·安徽馬鞍山·期中）已知等腰，解答以下問題：(1)若有一個(gè)內(nèi)角為，求這個(gè)等腰三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)；(2)若其周長(zhǎng)為，一邊長(zhǎng)是另一條邊的倍，求三角形的三條邊長(zhǎng)．31．（21-22八年級(jí)上·安徽合肥·期中）已知等腰，解答以下問題：(1)若有一個(gè)內(nèi)角為，求這個(gè)等腰三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)；(2)若等腰三角形的周長(zhǎng)為27，兩條邊長(zhǎng)分別是a和，求三邊的長(zhǎng)．32．（22-23八年級(jí)上·安徽六安·期末）一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是，其中一邊長(zhǎng)為，求另外兩邊的長(zhǎng)33．（22-23八年級(jí)上·安徽·期末）在等腰中，，，，求m的值．34．（22-23八年級(jí)上·安徽滁州·期中）（1）已知等腰的周長(zhǎng)是，且腰長(zhǎng)比底邊長(zhǎng)的2倍少4，求等腰的三邊的長(zhǎng)；（2）已知，，是的三個(gè)內(nèi)角，且，，求三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).重難點(diǎn)09與角平分線/平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題35．（20-21八年級(jí)上·安徽亳州·期中）如圖，在△ABC中，BE是AC邊上的高，DE∥BC，∠ADE=52°，∠C=68°，求∠ABE的度數(shù)．36．（22-23七年級(jí)下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)在上，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，平分，交的平分線于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，的平分線與相交于點(diǎn)．(1)若，，則______，______；(2)若，當(dāng)?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時(shí)，、的度數(shù)是否發(fā)生變化？并說明理由；(3)若中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的三倍，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的的度數(shù)______．37．（24-25八年級(jí)上·湖北荊州·期中）如圖，在中，，的角平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)若，求的度數(shù)；(2)若是上的一點(diǎn)，且，求證：．38．（24-25八年級(jí)上·天津·期中）如圖，在四邊形中，是的平分線，，垂足為點(diǎn)．(1)求證：平分；(2)若，求的度數(shù)．重難點(diǎn)10與三角形有關(guān)的折疊問題39．（20-21八年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）現(xiàn)有一張紙片，點(diǎn)分別是邊上兩點(diǎn)，若沿直線折疊．(1)如果折成圖①的形狀，使點(diǎn)落在上，則與的數(shù)量關(guān)系是____．(2)如果折成圖②的形狀，猜想與的數(shù)量關(guān)系是______；(3)如果折成圖③的形狀，猜想和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．40．（23-24八年級(jí)上·安徽淮北·期末）如圖，在中，將沿直線折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，連接．(1)若的周長(zhǎng)為26，，求的長(zhǎng)．(2)若，，求的度數(shù)．41．（23-24八年級(jí)上·安徽蚌埠·期中）在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，將沿翻折后得到，邊交于點(diǎn)．若，（）．

(1)求的度數(shù)；(2)若中有兩個(gè)角相等，求的值．42．（2023八年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）(1)如圖1，設(shè)，則；(2)把三角形紙片頂角A沿折疊，點(diǎn)A落到點(diǎn)處，記為，為.①如圖2，，與的數(shù)量關(guān)系是；②如圖3，請(qǐng)你寫出，與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(3)如圖4，把一個(gè)三角形紙片的三個(gè)頂角分別向內(nèi)折疊之后，3個(gè)頂點(diǎn)不重合，那么圖中.43．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期中）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊和上，連接，將沿著直線折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)重合，連接，，平分，平分．(1)若，求的度數(shù)：(2)若，，求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．重難點(diǎn)11與角平分線/平行線有關(guān)的三角形外角問題44．（24-25八年級(jí)上·河北保定·期中）在中，，平分，點(diǎn)在射線上，連接，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上．(1)如圖，．①若，分別求和的度數(shù)；②若直線與的一條邊垂直，求的度數(shù)；(2)若平分，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．45．（24-25八年級(jí)上·安徽安慶·期中）如圖，點(diǎn)D，F(xiàn)，H，E都在的邊上，，．(1)求證：；(2)若，求證：．46．（24-25八年級(jí)上·安徽六安·階段練習(xí)）如圖，在中，是邊上的高，是的平分線，若，．(1)求和的度數(shù)；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使為直角三角形，若存在，求出的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．47．（22-23七年級(jí)下·浙江金華·期末）如圖，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，連接，作的角平分線分別交線段，于點(diǎn)F，點(diǎn)G，已知，．(1)試說明；(2)若，，求的度數(shù)．重難點(diǎn)12三角形內(nèi)角與外角綜合問題48．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期中）如圖，在中，B是邊上一點(diǎn)，，，，求和的度數(shù)．49．（24-25八年級(jí)上·安徽宣城·期中）如圖，平分．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．50．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，在中，，，點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上，平分交延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求的度數(shù)．51．（22-23八年級(jí)上·安徽滁州·階段練習(xí)）如圖，在中，平分交于點(diǎn)D，平分交于點(diǎn)．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．重難點(diǎn)13與三角形有關(guān)的熱考模型52．（24-25八年級(jí)上·安徽淮北·期中）（1）問題引入：如圖①，在中，O是和的平分線的交點(diǎn)，若，則________；如圖②，，，，則________（用含的式子表示）（2）如圖③，，，，請(qǐng)猜想________（用含的式子表示），并說明理由．（3）類比研究：，分別是的外角，的n等分線，它們交于點(diǎn)O，，，，請(qǐng)猜想________．53．（24-25八年級(jí)上·安徽淮北·期中）計(jì)算：如圖1，已知，，求的度數(shù)．歸納：與分別為的兩個(gè)外角，與之間的數(shù)量關(guān)系為__________________，并給予證明．應(yīng)用：如圖2，在紙片中剪去，得到四邊形．若，則_______________．拓展：如圖3，在四邊形中，，分別平分外角，，設(shè)①試說明與的數(shù)量關(guān)系；②根據(jù)值的情況，請(qǐng)直接判斷的形狀（按角分類）．54．（24-25八年級(jí)上·江西南昌·階段練習(xí)）【模型理解】（1）如圖1，和交于點(diǎn)O，求證：．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，，分別平分，，求證：．55．（24-25八年級(jí)上·山東青島·期末）【建立模型】如圖1，在內(nèi)部有一點(diǎn)，連接、，求證：；【嘗試應(yīng)用】如圖2，利用上面的結(jié)論，直接寫出五角星中，______度；【拓展創(chuàng)新】如圖3，將五角星截去一個(gè)角后多出一個(gè)角，求的度數(shù)．【提升思維】如圖4，將五角星的每個(gè)角都截去，則一共得到10個(gè)角，則這10個(gè)角的和的度數(shù)是______度．

56．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）閱讀材料，回答下列問題：【材料提出】“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對(duì)頂角所在的兩個(gè)三角形構(gòu)成．【探索研究】探索一：如圖1，在八字型中，探索、、、之間的數(shù)量關(guān)系為___________；探索二：如圖2，若，，求的度數(shù)為___________；探索三：如圖3，、分別平分、，反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)