用光的全反射原理解“胡不歸”模型問題一、折射定律和光線的“時間最短原則”幾何證明物理課程中對光的反射定律和折射定律是這樣描述的：光從一種介質(zhì)（例如空氣）射向第二種介質(zhì)（例如水）平滑界面時，一部分光被界面反射，另一部分光透過界面在另一種介質(zhì)中折射.反射光線服從反射定律，而折光服從折射定律：折射光線與入射光線、法線處在同一平面內(nèi)，折射光線與入射光線分別位于法線的兩側(cè)；入射角∠i的正弦與折射角∠j的正弦比是一個常量，即sinisinj=n光的折射定律是荷蘭物理學(xué)家斯涅爾發(fā)現(xiàn)的，隨后法國數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬指出：如果光線改走線段AB，反而比走彎路A?O?設(shè)A和B分別是介質(zhì)M1和M2內(nèi)的兩點(diǎn)，光線有A?O?B達(dá)B.設(shè)光在介質(zhì)M1和M2中的速度分別為V1，V2，并設(shè)V1>V2.光線走完如圖2，過H作HF⊥OB，HE∥OA，過A作AE⊥HE，過O作OG⊥光的折射定律是荷蘭物理學(xué)家斯涅爾發(fā)現(xiàn)的，隨后法國數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬指出：如果光線由折射定律知sinisinj∴GHOH=∴==∵AH>EH∴T∴T∴T2二、光的全反射現(xiàn)象光的全反射現(xiàn)象作為光的折射定律的特殊情況，滿足“時間最短原則”。當(dāng)光從高折射率介質(zhì)射向低折射率介質(zhì)（示意圖以從水射向空氣為例）時，此時隨著入射角∠j的增大，折射角∠i也增大，當(dāng)∠j增大到某個值（臨界角，設(shè)為∠θ），折射角∠i變?yōu)?0°時，就稱為光的全反射現(xiàn)象。此時sinθ=n低n三、用光的全反射現(xiàn)象公式解決“PB+如圖4，A為直線L上一定點(diǎn)，B為直線L外一點(diǎn)，P為直線L上的一個動點(diǎn)，PB+數(shù)學(xué)上常規(guī)的解法是：當(dāng)0<k<1時，以A為頂點(diǎn)在∠BAP外作∠θ，滿足sinθ=k，這樣k·PA=PM，PB+k·下面我們換個角度看，如圖6，過B作BE⊥直線L，垂足為E，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠PBE=∠PAM=∠θ因而我們可以看作光線從點(diǎn)B入射到界面上點(diǎn)P，再沿PA折射90°的全反射情景。先作高BE，作∠EBP=∠θ滿足sinθ=k，再過點(diǎn)A作AM⊥直線BP，垂足為四、用光的全反射公式來解“胡不歸”問題“胡不歸”講述是這樣一個故事：如圖7，小伙從A點(diǎn)出發(fā)，B是目的地，直線AC是一條驛道，驛道靠目的地一側(cè)是砂石地（圖中已知信息是小伙在驛道行走速度V1，在砂石路行走速度為V2，滿足V1>V2；點(diǎn)B到驛道AC的距離也是已知的）。小伙可選擇路線AB，也可以先走一段驛道，再折向B，走路線“胡不歸”問題實(shí)質(zhì)是當(dāng)AD等于多少時，t=ADV1+BDV2的值最小。把t=解決.這個問題由很多種解法，但用光線的全反射公式來解決問題十分簡單.驛道AD與砂石路DB的速度之比，可看成光線在兩種不同介質(zhì)中的速度之比，即折射率之比.這樣原問題可轉(zhuǎn)化為光從光疏介質(zhì)到光密介質(zhì)的折射問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為光從光密介質(zhì)到光疏介質(zhì)的全反射問題，其中sinθ=具體的過程是：如圖8，過B作高線BE（圖中已知長度的線段有BE，AE），作∠EBD=∠θ，sinθ=v例1如圖9，由A地運(yùn)貨到B地，先走一段水路AD，再走公路DB，已知每噸貨物每千米水路運(yùn)費(fèi)與公路的運(yùn)費(fèi)之比為3:5，且B地與水路垂直距離BC=20

km，水路長解答過程：把公路BD與水路上的每噸貨物每千米運(yùn)費(fèi)之比，看成光線在兩種不同介質(zhì)中的速度之比即折射率.本題就逆向轉(zhuǎn)化為光從光密介質(zhì)到光疏介質(zhì)的全反射問題.根據(jù)光學(xué)原理遵循折射定律的光的路程最短，由光的全反射現(xiàn)象公式得sinθ=35（∠θ為入射角，∠B=∠θ例2如圖10(1)，在直角坐標(biāo)系中，A(0,22)，C(0,1)，如圖10（2），以C為頂點(diǎn)，CO為邊作∠θ，交OA于D滿足sinθ=13