概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第三版）12第二章隨機(jī)變量及其分布2.1隨機(jī)變量2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.3離散型隨機(jī)變量2.4連續(xù)型隨機(jī)變量2.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布3§2.1隨機(jī)變量2.1隨機(jī)變量4一般而言，試驗(yàn)結(jié)果會(huì)因隨機(jī)試驗(yàn)的不同而不同,這給隨機(jī)現(xiàn)象的進(jìn)一步研究帶來(lái)了不便.為了更加深入地研究隨機(jī)現(xiàn)象，本章由隨機(jī)試驗(yàn)的一般特點(diǎn)引出隨機(jī)變量的概念，并討論其統(tǒng)計(jì)規(guī)律的表達(dá)，即隨機(jī)變量的分布.

研究隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，可以建立由樣本空間到實(shí)數(shù)的映射，以映射的不同取值表示隨機(jī)試驗(yàn)的不同結(jié)果．事實(shí)上這樣的映射總是可以建立的，這是因?yàn)楹芏嚯S機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果本身就與數(shù)有關(guān)，即便試驗(yàn)的結(jié)果與數(shù)無(wú)關(guān)，也可以通過(guò)定義的方式建立試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)．5例2.1.1將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋三次，觀察正、反面出現(xiàn)的情況，令X表示試驗(yàn)中正面出現(xiàn)的次數(shù)，則X確定了試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)之間如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

“正正正”對(duì)應(yīng)3；“正正反”“正反正”“反正正”對(duì)應(yīng)2；“正反反”“反正反”“反反正”對(duì)應(yīng)1；“反反反”對(duì)應(yīng)0.此時(shí)，X的所有可能取值為0,1,2,3.如果只關(guān)心試驗(yàn)中是否出現(xiàn)了“三次同面”，可以引入映射Y，規(guī)定：若試驗(yàn)結(jié)果為“三次同面”，則Y取1；若試驗(yàn)結(jié)果為“三次非同面”，則Y取0.這樣，Y的所有可能取值為0,1.定義2.1.1定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，稱為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量一般用大寫(xiě)英文字母X,Y,Z等表示，而以小寫(xiě)英文字母x,y,z等表示實(shí)數(shù).一般地，設(shè)L是一些實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，將X在L上取值記為{X∈L},它表示事件{e|X(e)∈L，e∈S}，即由S中使得X(e)∈L的樣本點(diǎn)e構(gòu)成的集合，因此進(jìn)而有6例2.1.2(續(xù)例2.1.1)求解結(jié)合X的可能取值可知結(jié)合X,Y的可能取值易見(jiàn)，{X<Y}等價(jià)于{X=0}且{Y=1}，而僅在樣本點(diǎn)“反反反”上兩個(gè)隨機(jī)變量才這樣取值，故7謝謝！8中國(guó)人民大學(xué)出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第三版）9劉強(qiáng)郭文英孫陽(yáng)陳江榮10第二章隨機(jī)變量及其分布2.1隨機(jī)變量2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.3離散型隨機(jī)變量2.4連續(xù)型隨機(jī)變量2.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布11§2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)4定義2.2.1設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)．若隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b(a<b)，有分布函數(shù)有以下性質(zhì):(1)對(duì)任意的實(shí)數(shù)X，，且5(2)F(x)是單調(diào)不減函數(shù)；

(3)F(x)是右連續(xù)的，即F(x+0)=F(x).證只證（2）.對(duì)任意實(shí)數(shù)x1,

x2

(x1<x2)故F(x)單調(diào)不減.任意滿足上述三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)，一定可以作為某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，因此，滿足這三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)通常稱為分布函數(shù).例2.2.1設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，(1)證明(2)求(1)證任取單調(diào)遞增且以a為極限的數(shù)列{an},有從而(2)由(1)有由于F(x)單調(diào)有界，故16例2.2.2將兩枚質(zhì)地均勻的硬幣各拋一次，以X表示正面出現(xiàn)的次數(shù),求X的分布函數(shù).解

X的可能取值為0,1,2.為不可能事件，有當(dāng)x<0時(shí)，由當(dāng)0≤x<1時(shí),當(dāng)1≤x<2時(shí),當(dāng)x≥2時(shí),所以隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為17例2.2.3設(shè)有邊長(zhǎng)為1的正方體無(wú)蓋容器，內(nèi)部裝有3/4的液體，4個(gè)側(cè)面及底部隨機(jī)地出現(xiàn)一個(gè)漏洞，液體從漏洞漏出，以X表示液面最后的高度，求X的分布函數(shù)F(x).解依題意，隨機(jī)變量X可能的取值范圍是當(dāng)x<0時(shí)，當(dāng)0≤x<3/4時(shí)，當(dāng)x≥3/4時(shí)，所以隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為謝謝！18中國(guó)人民大學(xué)出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第三版）19劉強(qiáng)郭文英孫陽(yáng)陳江榮20第二章隨機(jī)變量及其分布2.1隨機(jī)變量2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.3離散型隨機(jī)變量2.4連續(xù)型隨機(jī)變量2.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布21§2.3離散型隨機(jī)變量2.3離散型隨機(jī)變量42.3.1離散型隨機(jī)變量及其分布律定義2.3.1若隨機(jī)變量的全部可能取值為有限個(gè)或可列無(wú)限個(gè)，則稱其為離散型隨機(jī)變量.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的全部可能取值為

，并且X

取xi

的概率為pi

，則稱表達(dá)式X的分布律.分布律也可以表示為為離散型隨機(jī)變量5隨機(jī)變量X的分布律具有如下基本性質(zhì):(1)(2)證

(1)顯然成立.(2)由隨機(jī)變量的定義及概率的可列可加性有例2.3.1設(shè)隨機(jī)變量X的分布律如下，其中a未知，求a的值.解由分布律的性質(zhì)有解得

67例2.3.2已知隨機(jī)變量X的分布律為求：(1)X的分布函數(shù)F(x)；(2)

解

(1)由分布函數(shù)的定義，有:當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)x≥3時(shí),故X的分布函數(shù)為(2)26一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，分布律為則對(duì)任意的x∈R，有272.3.2常見(jiàn)分布1、0-1分布若隨機(jī)變量X的分布律為其中0<p<1為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為p的0-1分布,記為.2.二項(xiàng)分布若隨機(jī)變量X的分布律為其中0<p<1為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記為若，則當(dāng)時(shí)，X=k的概率最大.28例2.3.3一批商品共200件，該商品在運(yùn)輸過(guò)程中包裝損壞的概率是0.05，當(dāng)包裝損壞時(shí)商品損壞的概率是0.3，且運(yùn)輸過(guò)程中商品的包裝損壞與否相互獨(dú)立.求：(1)包裝損壞的商品件數(shù)不大于2的概率；(2)若包裝損壞的商品恰有5件，求商品損壞的件數(shù)為2的概率.解

(1)記200件商品中包裝損壞的件數(shù)為X，則X~b(200,0.05)，即因此故包裝損壞的商品件數(shù)不大于2的概率為0.002336.29(2)記損壞的商品件數(shù)為Y,當(dāng)包裝損壞的商品為5件時(shí)Y~b(5,0.3),即從而故商品損壞的件數(shù)為2的概率為0.3087.303.泊松分布若隨機(jī)變量X的分布律為其中λ>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記X~π(λ).

若X~π(λ)，則當(dāng)時(shí)，X=k的概率最大.31例2.3.4資料表明，某種商品每月的銷售量(單位：件)X~π(5)，問(wèn)月初至少應(yīng)保持多大庫(kù)存才能使當(dāng)月不脫銷的概率在0.9以上？

解設(shè)月初保持n件庫(kù)存.由有因此由附表Ⅱ查得n≥8，即月初至少應(yīng)保持8件庫(kù)存才能使當(dāng)月不脫銷的概率在0.9以上.32定理2.3.1(泊松定理)設(shè)隨機(jī)變量Xn~b(n,pn

)(n=1,2,…)，又設(shè)npn=λ>0是常數(shù)，則有證由于Xn~b(n,pn

)及npn=λ，因而對(duì)于任意正整數(shù)k，有謝謝！33中國(guó)人民大學(xué)出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第三版）34劉強(qiáng)郭文英孫陽(yáng)陳江榮35第二章隨機(jī)變量及其分布2.1隨機(jī)變量2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.3離散型隨機(jī)變量2.4連續(xù)型隨機(jī)變量2.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布36§2.4連續(xù)型隨機(jī)變量2.3離散型隨機(jī)變量42.4.1連續(xù)型隨機(jī)變量的定義及性質(zhì)定義2.4.1對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)，若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，使對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度.若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則X取任意單點(diǎn)值的概率為零.5概率密度f(wàn)(x)具有如下性質(zhì)：(1)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f(x)≥0；(2)；(3)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有(4)設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)，則在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處，有6例2.4.1設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為其中的a,b,c,d為未知常數(shù).求:(1)a,b,c,d的值;(2)X的概率密度f(wàn)(x).解(1)由分布函數(shù)的性質(zhì)有再由X分布函數(shù)F(x)為連續(xù)函數(shù)，有可解得c=1/2，d=1/2.7

(2)當(dāng)x<-1或x≥1時(shí)，F(xiàn)'(x)=0，當(dāng)-1≤x<1時(shí)，可得41例2.4.2設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求：(1)；(2)

X的分布函數(shù)F(x).解

(1)依題意有(2)由分布函數(shù)的定義，有：

當(dāng)x<0時(shí)，當(dāng)0≤x<1時(shí)，42當(dāng)1≤x<2時(shí)，當(dāng)x≥2時(shí)，故X的分布函數(shù)為432.4.2常見(jiàn)分布1.均勻分布若隨機(jī)變量X的概率密度為則稱X服從區(qū)間(a,b)內(nèi)的均勻分布,記為X~U(a,b)均勻分布的分布函數(shù)為442.指數(shù)分布

若隨機(jī)變量X的概率密度為其中θ>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布，記為指數(shù)分布的分布函數(shù)為45指數(shù)分布具有如下性質(zhì)：對(duì)于任意的s,t>0，有證這個(gè)性質(zhì)稱為指數(shù)分布的無(wú)記憶性.46例2.4.3設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，a為正常數(shù)，求解由指數(shù)分布的無(wú)記憶性，有473.正態(tài)分布若隨機(jī)變量X的概率密度為其中μ,σ(σ>0)為常數(shù)，則稱X

服從參數(shù)為μ,σ的正態(tài)分布或高斯分布，記為正態(tài)分布

的概率密度f(wàn)(x)具有如下性質(zhì):(1)關(guān)于x=μ對(duì)稱，當(dāng)x=μ時(shí)，f(x)取得最大值(2)概率密度f(wàn)(x)以x軸為漸近線.48對(duì)于正態(tài)分布

，當(dāng)固定μ時(shí)，σ的值越大，f(x)的最大值越小，曲線的形狀因此變得寬且平，反之曲線的形狀則變得窄且尖，稱σ為形狀參數(shù).當(dāng)固定σ且改變?chǔ)虝r(shí)，曲線的形狀不變，但位置發(fā)生平移，稱μ為位置參數(shù).49正態(tài)分布的分布函數(shù)為參數(shù)μ=0,σ=1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度為分布函數(shù)為分布函數(shù)Φ(x)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，50定理2.4.1若隨機(jī)變量

，令

，則

證記隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)為FY(y)，則令

，有即隨機(jī)變量Y~N(0,1).若隨機(jī)變量

，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，有51例2.4.4設(shè)隨機(jī)變量X~N(3,22)，求P{-3≤X≤5}，.解52當(dāng)隨機(jī)變量

時(shí)，有正態(tài)分布的這個(gè)特點(diǎn)稱為3σ原則.53設(shè)X~N(0,1)，若zα滿足則稱點(diǎn)zα為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位點(diǎn).下面列出了幾個(gè)常用的zα的值由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)可知54例2.4.5設(shè)計(jì)公交車(chē)的車(chē)門(mén)時(shí)，要求男性與門(mén)框上邊緣碰頭的可能性要小于0.01.設(shè)男性的身高(單位:cm)X~N(175,52)，問(wèn)車(chē)門(mén)的高度最低應(yīng)該是多少?解設(shè)車(chē)門(mén)的高度為h，由題意有即查附表Ⅰ有Φ(2.33)≈0.99，從而解得故車(chē)門(mén)的高度最低應(yīng)該為186.65cm.謝謝！55中國(guó)人民大學(xué)出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第三版）56劉強(qiáng)郭文英孫陽(yáng)陳江榮57第二章隨機(jī)變量及其分布2.1隨機(jī)變量2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.3離散型隨機(jī)變量2.4連續(xù)型隨機(jī)變量2.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布58§2.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布2.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布42.5.1離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例2.5.1設(shè)隨機(jī)變量X的分布律如下，求隨機(jī)變量2X+1，X2的分布律.解2X+1的可能取值為-1,1,3，并且故2X+1的分布律為5X2的可能取值為0,1，并且故X2的分布律為.一般地，設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為若隨機(jī)變量Y=g(X)，則Y的分布律為62.5.2連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例2.5.2設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1)，令Y=X2，求Y的概率密度.解設(shè)隨機(jī)變量X,Y的分布函數(shù)分別為FX(x),FY(y)，依題意，Y的取值范圍為[0,∞)，故當(dāng)y<0時(shí)，有當(dāng)y≥0時(shí)，有因此Y的分布函數(shù)與概率密度為7例2.5.3設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度如下，求Y=1-|X|的概率密度.解