27.4直線與圓的位置關(guān)系第27章

圓與正多邊形教師xxx滬教版

九年級(jí)第二學(xué)期直線與圓的位置關(guān)系切線的判定0102CONTANTS目錄直線與圓的位置關(guān)系01

點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有幾種？用數(shù)量關(guān)系如何來(lái)判斷呢？點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi).設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：r·OAPP’d＜r

d=r

d＞r點(diǎn)P在⊙O內(nèi)點(diǎn)P’在⊙O上點(diǎn)P”在⊙O外

思考

（1）在太陽(yáng)升起的過(guò)程中，太陽(yáng)和海平線會(huì)有幾種位置關(guān)系？如果我們把太陽(yáng)看作一個(gè)圓，把海平線看作一條直線，由此你能得出直線和圓的位置關(guān)系嗎？

如果從數(shù)學(xué)的角度來(lái)分析，把水面當(dāng)作一直線，太陽(yáng)當(dāng)作一個(gè)圓，請(qǐng)同學(xué)們利用手中的紙片圓和筆，再現(xiàn)海上日出過(guò)程？

再現(xiàn)海上日出過(guò)程中，你認(rèn)為直線和圓有幾種位置關(guān)系嗎？分類依據(jù)是什么？123直線l(水面）根據(jù)直線與圓之間公共點(diǎn)的數(shù)量分為以下三類情況：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)直線和圓只一個(gè)公共點(diǎn)直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)歸納總結(jié)ooo●●●1.直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，叫做直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線.2.直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做直線和圓相切，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn)。這條直線叫做圓的切線3.直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)，叫做直線和圓相離。思考：假設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，在直線與圓不同的位置關(guān)系中，d與

r具有怎樣的大小關(guān)系？反過(guò)來(lái)，你能根據(jù)

d與

r的大小關(guān)系來(lái)確定直線與圓的位置關(guān)系嗎？Odr可以怎樣表示呢？相離相切相交dd直線l和⊙O相交?d___r；直線l和⊙O相切?d___r；直線l和⊙O相離?d___r.＞＜=OlOlOlrd┐┐d┐d直線與圓的位置關(guān)系判定方法：無(wú)切線直線名稱無(wú)切點(diǎn)交點(diǎn)公共點(diǎn)名稱d>rd=r

d<r圓心到直線距離

d與半徑r關(guān)系01公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相離相切相交直線和圓的位置關(guān)系2割線直線和圓相交d<r直線和圓相切d=r直線和圓相離d>r位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)?

2個(gè)?

1個(gè)?

0個(gè)例1．直線L與半徑為r的⊙O相交，且點(diǎn)O到直線L的距離為6，則r的取值范圍是__________．r>6r=6變式1-1．直線L與半徑為r的⊙O相切，且點(diǎn)O到直線L的距離為6，則r的取值范圍是__________．變式1-2．直線L與半徑為r的⊙O相離，且點(diǎn)O到直線L的距離為6，則r的取值范圍是__________．r<6變式1-3．如圖，⊙O的直徑為10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求OP的長(zhǎng)度范圍．【詳解】解：如圖，連接OA，作直徑MN⊥AB，垂足為D，由垂徑定理可知：AD＝DB＝AB＝4(cm)，∵圓的直徑為10cm，∴DA＝5cm，由勾股定理得：OD＝3(cm)，∵垂線段最短，半徑最大，∴OP長(zhǎng)度范圍為：3≤OP≤5(cm)MND例2已知⊙O的半徑為5cm，圓心O到直線l的距離為5cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無(wú)法確定【答案】B【詳解】∵圓心到直線的距離5cm=5cm，∴直線和圓相切，故選B．變式2-1在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（3，2）為圓心、2為半徑的圓，一定（）A．與x軸相切，與y軸相切 B．與x軸相切，與y軸相離C．與x軸相離，與y軸相切 D．與x軸相離，與y軸相離【答案】B【詳解】∵是以點(diǎn)（2，3）為圓心，2為半徑的圓，則有2＝2，3＞2，∴這個(gè)圓與x軸相切，與y軸相離．故選B．切線的判定02切線的判定如圖，在⊙O中，經(jīng)過(guò)半徑OA的外端點(diǎn)A作直線l⊥OA，則圓心O到直線l的距離是多少？直線l和⊙O有什么位置關(guān)系？經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．lOA例1如圖，已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，BD＝OB，

點(diǎn)C在圓上，∠CAB＝30°.

求證：DC是⊙O的切線．

因?yàn)辄c(diǎn)C在圓上，所以連接OC，

證明OC⊥CD，而要證OC⊥CD，

只需證△OCD為直角三角形．導(dǎo)引：證明：如圖，連接OC，BC.∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝30°，∴BC＝AB＝OB.又∵BD＝OB，∴BC＝BD＝OB＝OD，∴∠OCD＝90°.∴DC是⊙O的切線．切線的判定方法有三種：①直線與圓有唯一公共點(diǎn)；②直線到圓心的距離等于該圓的半徑；③切線的判定定理．即

經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線.例3如圖，∠O＝30°，C為OB上一點(diǎn)，且OC＝6，以點(diǎn)C為圓心，半徑為3的圓與OA的位置關(guān)系是(

)A．相離B．相交C．相切D．以上三種情況均有可能C

例4

如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB與⊙O相切于點(diǎn)D.求證：AC是⊙O的切線.證明：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC，垂足為E，連接OD，OA.∵⊙O與AB相切于點(diǎn)D∴OD⊥AB又△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn).∴AO是∠BAC的平分線∴OE=OD，即OE是⊙O的半徑∴AC是⊙O的切線.?E變式4-1已知：直線AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB.求證：直線AB是⊙O的切線.OBAC證明：連接OC.∵OA＝OB，CA＝CB,

∴OC是等腰△OAB底邊AB上的中線.

∴AB⊥OC.

∵OC是⊙O的半徑，

∴AB是⊙O的切線.∟1.下列命題中，真命題是(

)A．垂直于半徑的直線是圓的切線B．經(jīng)過(guò)半徑外端的直線是圓的切線C．經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的直線是圓的切線D．圓心到某直線的距離等于半徑，那么這條直線是圓的切線D課堂練習(xí)2.如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BOD=100°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．50°B．80°C．100°D．130°D3.如圖，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割線，如果PB=2，PC=4，則PA的長(zhǎng)為（）A．2 B．C．4 D．

B4.如圖，一圓內(nèi)切四邊形ABCD，且AB=16，CD=10，則四邊形的周長(zhǎng)為（）A．50 B．52C．54 D．56B5.如圖，直線AB與⊙O相切于點(diǎn)A，⊙O的半徑為2，若∠OBA=30°，則OB的長(zhǎng)為（）A．4B．4C．2D．2B6.如圖，AB是⊙O的直徑，直線l1，

l2是⊙O的切線，A，B是切點(diǎn).l1，

l2有怎樣的位置關(guān)系？證明你的結(jié)論.l1∥l2，

證明：∵直線l1，l2是⊙O的切線，

∴l(xiāng)1⊥AB，l2⊥AB，

∴l(xiāng)1∥l2．7.如圖，△ABC中AB=AC，D是BC邊的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心的圓與AB相切于點(diǎn)E．求證：AC與⊙D相切．證明：作DF⊥AC于F，連接AD、DE．∵AB是⊙D的切線，∴DE⊥AB，∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD平分∠BAC又∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD=AD，∴△ADE≌△ADF，∴DF=DE，∴AC是⊙D的切線．8.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)P是CD延長(zhǎng)