22.2二次函數(shù)與一元二次方程（教學(xué)設(shè)計）1.教學(xué)內(nèi)容本課時是人教版九年級上冊教材第二十二章二次函數(shù),22.2二次函數(shù)與一元二次方程，內(nèi)容為二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。2.內(nèi)容解析本節(jié)課研究二次函數(shù)與一元二次方程等其他知識的關(guān)聯(lián)，從函數(shù)視角更為宏觀的認(rèn)識理解方程，環(huán)環(huán)相扣，提高學(xué)生綜合運用知識解決數(shù)學(xué)問題的能力，掌握認(rèn)識事物的一般規(guī)律。通過一元二次方程和二次函數(shù)解析式與圖像兩個角度認(rèn)識方程是特殊的函數(shù)，函數(shù)能代表更為一般化的方程，深化函數(shù)與方程思想的認(rèn)識，提升學(xué)生對函數(shù)學(xué)習(xí)的一般思路的感受與理解。從函數(shù)角度認(rèn)識方程，能用函數(shù)的觀點解釋與求解方程的解，一方面深化學(xué)生對一元二次方程的認(rèn)識，另一方面發(fā)展學(xué)生運用二次函數(shù)解決一元二次方程解（近似解）的相關(guān)問題。教學(xué)目標(biāo)由一元二次方程根的情況，可以確定相應(yīng)二次函數(shù)圖像與軸的位置關(guān)系。（3）通過二次函數(shù)的圖像觀察解決一元二次方程的解（近似解）等問題。體會數(shù)形結(jié)合與函數(shù)與方程思想。2.目標(biāo)解析（1）理解二次函數(shù)確定的函數(shù)值帶入能夠構(gòu)造方程，即當(dāng)點的縱坐標(biāo)y確定，其橫坐標(biāo)即為構(gòu)造的一元二次方程的根。（3）學(xué)習(xí)二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，為進一步學(xué)習(xí)、研究函數(shù)、體會數(shù)形結(jié)合、方程和函數(shù)思想奠定基礎(chǔ)和積累經(jīng)驗。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，通過二次函數(shù)的圖像觀察解決一元二次方程的解（近似解）等問題，理解二次函數(shù)當(dāng)確定函數(shù)值求自變量，可以看作解一元二次方程的過程。體會數(shù)形結(jié)合與函數(shù)與方程思想。帶領(lǐng)學(xué)生通過基本研究思路與方法進行探究式學(xué)習(xí)，體會從特殊到一般，數(shù)形結(jié)合、函數(shù)的思想，逐步提高分析問題，解決問題的能力?；谝陨戏治觯_定本節(jié)課的教學(xué)難點為：理解二次函數(shù)當(dāng)確定函數(shù)值求自變量，可以看作解一元二次方程的過程。創(chuàng)設(shè)情景，引入新課1與2可以看作一次函數(shù)上點的縱坐標(biāo)，那么點的橫坐標(biāo)即為方程的解；我們可以將等號左右兩邊看作兩個函數(shù)，相等說明函數(shù)值一樣的情況，即方程的根為一次函數(shù)與常函數(shù)聯(lián)立，交點的橫坐標(biāo)即為方程的根。（設(shè)計意圖：找到研究新問題的類比源，通過回顧一次函數(shù)與一元一次方程的學(xué)習(xí)過程，為本節(jié)課的探究明確研究路徑。）問題：今天我們共同學(xué)習(xí)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，你能說說我們該如何展開研究嗎？教師引導(dǎo)類比一次函數(shù)與一元一次方程的研究過程，根據(jù)實際問題給出的函數(shù)解析式，通過畫出圖像、觀察位置、取點定解得到二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。（設(shè)計意圖：教師引領(lǐng)學(xué)生搭建研究框架，將未知轉(zhuǎn)化為已知，為后面的學(xué)習(xí)做好鋪墊。）探究點1利用函數(shù)圖象求一元二次方程的解問題如圖22.21，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，小球的飛行路線將是一條拋物線。如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h(單位：m)與飛行時間r(單位：s)之間具有函數(shù)關(guān)系h＝20t－5t2.考慮以下問題：（1）小球的飛行高度能否達到15m?如果能，需要多少飛行時間?將h=15代入解析式可得：15＝20t－5t2，t2－4t＋3＝0，t1＝1，t2＝3．

當(dāng)小球飛行1s和3s時，它的飛行高度為15m．學(xué)生在函數(shù)圖像上標(biāo)出兩點，觀察其位置關(guān)系，在同一條直線上。引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言說明兩點的軸對稱性。方程的解可以看作常函數(shù)y=15與二次函數(shù)y＝20t－5t2圖像求交點的問題。（2）小球的飛行高度能否達到20m?如果能，需要多少飛行時間?（3）小球的飛行高度能否達到20.5m?為什么?問題（2）示意圖問題（3）示意圖師生活動：類比上述過程，學(xué)生在函數(shù)圖像上標(biāo)出兩點，觀察二次函數(shù)圖像與常函數(shù)交點的情況，鼓勵學(xué)生用自己的語言說出自己的發(fā)現(xiàn)。（4）小球從飛出到落地要用多少時間?落地說明此時h=0，代入解析式可得：0＝20t－5t2，t2－4t＝0，t1＝0，t2＝4．當(dāng)小球飛行0s和4s時，它的高度為0m．這表明小球從飛行到落地要用4s．從上圖來看，0s時小球從地面飛出，4s時小球落回地面．解方程的過程就是求二次函數(shù)解析式與x軸交點的過程。

歸納總結(jié)：通過上面的四個問題，我們可以發(fā)現(xiàn)對于二次函數(shù)y＝20t－5t2中，已知h的值求時間t，其實就是把h換成常數(shù)，求一元二次方程的解；反過來，一元二次方程的解我們也可以看作求二次函數(shù)和常函數(shù)交點的問題。當(dāng)小球飛行1s和3s時，它的飛行高度為15m.當(dāng)小球飛行2s時，它的飛行高度為20m.(4)小球的飛出時和落地時的高度都是0m，解方程當(dāng)小球飛行0s和4s時，它的高度為0m.這表明小球從飛出到落地要用4s.從圖22.21來看，0s時小球從地面飛出，4s時小球落回地面.典例分析【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)拋物線與軸的交點得出球落點的水平距離．球落點的水平距離是5米．（設(shè)計意圖：利用二次函數(shù)圖像理解一元二次方程的根不同的情況與二次函數(shù)圖像的對應(yīng)關(guān)系。）追問1：下列二次函數(shù)的圖象與軸有公共點嗎？如果有，公共點的橫坐標(biāo)是多少？追問2：上述三個二次函數(shù)中，當(dāng)取公共點的橫坐標(biāo)時，函數(shù)值是多少？由此，你能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎？當(dāng)取公共點的橫坐標(biāo)時，函數(shù)值是0；能，相應(yīng)的一元二次方程的根為取公共點的橫坐標(biāo)。歸納：典例分析(2)求證：不論為何值，該函數(shù)圖像與軸沒有公共點．【分析】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與x軸的交點問題，熟練掌握判別式與函數(shù)圖像與軸交點的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．∴不論為何值，該函數(shù)圖像與軸沒有公共點．（設(shè)計意圖：理解一元二次方程的根不同的情況與二次函數(shù)圖像的對應(yīng)關(guān)系。）探究點3利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解由上面的結(jié)論，我們可以利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根，由于作圖或觀察可能存在誤差，由圖象求得的根，一般是近似的。討論你能求出更準(zhǔn)確的近似根?我們還可以通過不斷縮小根所在的范圍估計一元二次方程的根.我們可以通過取平均數(shù)的方法不斷縮小根所在的范圍.例如，取2、3的平均數(shù)2.5，用計算器算得自變量為2.5時的函數(shù)值為一0.75，與自變量為3時的函數(shù)值異號，所以這個根在2.5，3之間.再取2.5，3的平均數(shù)2.75，用計算器算得自變量為2.75時的函數(shù)值為0.0625，與自變量為2.5時的函數(shù)值異號，所以這個根在2.5，2.75之間.典例分析(2)在右圖中畫出二次函數(shù)C的圖象；【分析】本題主要考查了把拋物線解析式化為頂點式，畫拋物線函數(shù)圖象，拋物線與不等式之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．（1）利用配方法把拋物線解析式化為頂點式即可；（2）先列表，然后描點，最后連線畫出函數(shù)圖象即可；（3）（4）利用圖象法求解即可．（2）解：如圖所示，即為所求；列表如下：…01234……3003…（設(shè)計意圖：利用二次函數(shù)圖像理解與一元二次方程的對應(yīng)關(guān)系。）x…01234…y…4414…(1)請直接寫出該拋物線的對稱軸：___________________________；(2)請直接寫出拋物線的解析式_______________________________________；【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)、待定系數(shù)法、二次函數(shù)與不等式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．（1）根據(jù)表格得對稱軸，即可得頂點坐標(biāo)；（2）將拋物線的解析式變?yōu)轫旤c式，利用待定系數(shù)法即可；∵該拋物線的開口向上，(設(shè)計意圖：拓展數(shù)形結(jié)合理解二次函數(shù)和方程、不等式的關(guān)系)習(xí)題22.2第1、2題答案：1.（1）圖象略，（2）3、1.2.圖象略，（1）2、1，(2)3.（設(shè)計意圖：學(xué)完新知識后及時進行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強化學(xué)生對新知的記憶，加深學(xué)生對新知的理解，還可以及時反饋學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生查漏補缺，幫助教師及時調(diào)整教學(xué)策略）1．（2025.江蘇連云港）如圖，小亮同學(xué)擲鉛球時，鉛球沿拋物線y＝a（x﹣3）2+2.5運行，其中x是鉛球離初始位置的水平距離，y是鉛球離地面的高度．若鉛球拋出時離地面的高度OA為1.6m，則鉛球擲出的水平距離OB為m．【解答】解：由題意，OA＝1.6m，得A（0，1.6），將A（0，1.6）代入y＝a（x3）2+2.5，得：1.6＝a（03）2+2.5，解得：a=?1∴y=?1令y＝0，得?1解得：x1＝8，x2＝2，∴OB為8m，故答案為：8．

（設(shè)計意圖：在學(xué)習(xí)完知識后加入中考等真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提