1/22026年1月上海市普通高中學水平合格考試數(shù)學仿真模擬卷（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）一、填空題（本大題共12題，每小題3分，共36分）1．已知全設(shè)集，集合，那么．【提示】根據(jù)補集的概念即可得出答案；【答案】；【解析】因為，，所以，.故答案為：；【說明】本題考查了補集的概念及運算；2．關(guān)于的不等式的解集為.【提示】將所求不等式變形為，利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集；【答案】【解析】由可得，解得或.因此原不等式的解集為.故答案為：；【說明】本題主要考查了分式不等式的解法，不等式性質(zhì)與等價轉(zhuǎn)化思想；3．設(shè)為虛數(shù)單位，若復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)=【提示】由復數(shù)的運算結(jié)合共軛復數(shù)的概念可得；【答案】；【解析】由題意可得，所以.【說明】本題考查了復數(shù)代收形式的乘法運算、復數(shù)的除法運算、共軛復數(shù)的概念及計算。4．一扇形的圓心角，半徑cm，則該扇形的面積為（cm2）【提示】利用扇形弧長公式與面積公式即可得解；【答案】；【解析】因為，，所以該扇形的弧長為（cm），故該扇形的面積（cm2）．故答案為：.【說明】本題考查了扇形弧長公式與面積公式的應用；5．若，且為第三象限角，則等于【答案】7；【解析】因為，且為第三象限角，所以所以，【說明】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、用和、差角的正切公式化簡、求值；6．已知向量若，則.【提示】根據(jù)向量坐標的加減運算，利用垂直數(shù)量積為0的性質(zhì)即可得解；【答案】；【解析】由題意得，因為，所以，解得．故答案為：.【說明】本題考查了平面向量線性運算的坐標表示、垂直關(guān)系的向量表示、向量垂直的坐標表示、利用向量垂直求參數(shù)；7．已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′=C′O′=1，A′O′＝，那么原△ABC的面積是【提示】先由直觀圖還原，可得原圖底邊長和高，即可求出原圖的面積；【答案】；【解析】還原該坐標系和直觀圖可得：由斜二測畫法的規(guī)定可知：，，則.【說明】本題考查了由直觀圖還原幾何圖形、斜二測畫法中有關(guān)量的計算；8．函數(shù)的嚴格單調(diào)遞減區(qū)間是【提示】利用余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法直接求解；【答案】【解析】因為令求得可得函數(shù)的嚴格單調(diào)遞減區(qū)間為故答案為：【說明】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求cosx型三角函數(shù)的單調(diào)性；9．一個容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為【提示】根據(jù)百分位數(shù)的定義計算得出答案；【答案】；【解析】因為，，所以，第75百分位數(shù)為；故答案為：；【說明】本題主要考查總體百分位數(shù)概念與估計；10．袋中裝有大小、形狀完全相同的6個白球，4個紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為（用分數(shù)表示）【提示】利用古典概型概率的求法求解即可；【答案】；【解析】因為一共有10個球，所以從中任取一球的基本事件有10個，又因為有6個白球，所以取到白球的基本事件有6個，所以取到白球的概率為.故答案為：【說明】本題考查了計算古典概型問題的概率；11．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則的取值范圍為【提示】函數(shù)的對稱軸為，分兩種情況：和討論函數(shù)的最值，從而求得結(jié)果；【答案】【解析】因為，的對稱軸為（1）當時，即，，解得：不符合題意，舍去；（2）當，即，，符合題意，故；綜上可知，的取值范圍為故答案為：【說明】研究二次函數(shù)在區(qū)間上的最值，通常分為四種情況：（1）軸定區(qū)間定；（2）軸定區(qū)間動；（3）軸動區(qū)間定；（4）軸動區(qū)間動；這四種情況都需要按三個方向來研究函數(shù)的最值：對稱軸在區(qū)間的左側(cè)、中間、右側(cè)，從而知道函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最值.12．已知、是實數(shù)，寫出不等式等號成立的所有條件【提示】根據(jù)，，將證等號成立條件，轉(zhuǎn)化為證等號成立條件求解【答案】或；【解析】因為，，所以要證的等號成立條件，只需證的等號成立條件，即的等號成立條件，當時，；當時，；當且僅當時，即或時，等號成立；【說明】通過本題體驗了一下教材中“定理”的推導思路與三角不等式等號成立的條件，還考查了分析求解問題的能力；二、選擇題：本大題共14小題，每小題3分，共42分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的；13．“且”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【提示】根據(jù)充分條件、必要條件的概念得解；【答案】A；【解析】由不等式性質(zhì)，且可得，但當時，推不出且，例如；故且是的充分不必要條件.故選：A【說明】本題考查了判斷命題的充分不必要條件；14．設(shè)是第一象限的角，則所在的象限為（

）A．第一象限 B．第三象限C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限【答案】C【解析】因為是第一象限的角，所以，，所以，當時，，為第一象限角；當時，，為第三象限角.故選：C；【說明】本題考查了任意角的表示與集合的分類討論、終邊相同角的表示；15．若是第三象限角，則等于（

）A． B． C． D．【提示】運用同角的三角函數(shù)關(guān)系式直接求解即可.【答案】B；【解析】因為，是第三象限角，所以。，故選：B；【說明】本題考查了三角變換，已知正（余）弦求余（正）弦；16．在中，若其面積為S，且，則角A的大小為（

）A． B． C． D．【提示】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的定義及三角形面積公式求解.【答案】B；【解析】依題意，，，則，故，而，所以.故選：B【說明】本題綜合考查了三角形面積公式及其應用、用定義求向量的數(shù)量積；17．方程的解集為（

）A． B．C． D．或【提示】利用正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，即可得到答案；【答案】D；【解析】由，則內(nèi)的或又的周期，所以或即方程的解集為或.故選：D【說明】本題考查了已知三角函數(shù)值求角，考查了正弦的圖像與性質(zhì)；18．如果從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務，那么選中的2人都是男同學的概率為（

）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.1【提示】從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務，共有種，其中全是男生的有種，根據(jù)古典概型的概率公式計算即可，【答案】D；【解析】從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務，共有種，其中全是男生的有種，故選中的2人都是男同學的概率，故選：D；【說明】本題考查了計算古典概型問題的概率；19．如圖所示的莖葉圖記錄了甲?乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分).已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為106，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則x，y的值分別為（

）A．5，7 B．6，8 C．6，9 D．8，8【提示】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合中位數(shù)與平均數(shù)的概念，即可求出、的值；【答案】B；【解析】因為，甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為106所以，又因為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為所以，解得綜上，x，y的值分別為6，8故選：B【說明】本題考查了由莖葉圖計算中位數(shù)、由莖葉圖計算平均數(shù)；20．數(shù)列的前n項和，則（

）A．140 B．120 C．40 D．52【提示】利用與的關(guān)系即可求解.【答案】D；【解析】由，得.故選：D；【說明】本題考查了等車數(shù)列前n項和的本質(zhì)，與利用與關(guān)系求通項的方法；21．在等比數(shù)列中，，則（

）A．36 B． C． D．6【提示】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，，結(jié)合可得，再利用即可求解，注意等比數(shù)列奇數(shù)項、偶數(shù)項的符合分別相同.【答案】D【解析】，則，又，解得，因為，所以.故選：D.【說明】本題主要考查了等比數(shù)列下標和性質(zhì)及應用；22．關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性的說法正確的是（

）A．在上是增函數(shù) B．在上是減函數(shù)C．在區(qū)間上是增函數(shù) D．在區(qū)間上是減函數(shù)【提示】先求出函數(shù)定義域，再結(jié)合復合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)進行判斷即可；【答案】C；【解析】由函數(shù)的解析式知定義域為，設(shè)，顯然在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知在上是增函數(shù)，故選：C【說明】本題考查了復合函數(shù)的定義域、對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性、復合函數(shù)的單調(diào)性；23．已知，是空間兩個不同的平面，，是空間兩條不同的直線，下列說法中正確的是（

）A．，則B．，，則C．平面內(nèi)的不共線三點到平面β的距離相等，則與平行D．如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與此平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行【提示】，則或，判斷選項A，，，則或，判斷選項B，當兩個面相交時，可以在平面內(nèi)找到的不共線三點到平面β的距離相等，判斷選項C，根據(jù)平行的傳遞性判斷選項D；【答案】D；【解析】，則或，故選項A錯誤；，，則或，故選項B錯誤；當平面與平面相交時，可以在平面內(nèi)找到不共線三點到平面β的距離相等，故選項C錯誤；如果一條直線與一個平面平行，那么平面內(nèi)必有一條直線與給定直線平行，而平面內(nèi)與一條直線平行的直線有無數(shù)條，根據(jù)平行的傳遞性，這些直線都與給定直線平行，所以有無數(shù)條，故選項D正確.故選：D.【說明】本題考查了平行公理、判斷圖形中的線面關(guān)系、線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、判斷線面平行；24．公元前世紀，古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出：“球的體積（）與它的直徑（）的立方成正比”，此即，歐幾里得未給出的值．世紀日本數(shù)學家們對求球的體積的方法還不了解，他們將體積公式中的常數(shù)稱為“立圓率”或“玉積率”．類似地，對于等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱）、正方體也可利用公式求體積（在等邊圓柱中，表示底面圓的直徑；在正方體中，表示棱長）．假設(shè)運用此體積公式求得球（直徑為）、等邊圓柱（底面圓的直徑為）、正方體（棱長為）的“玉積率”分別為、、，那么為（）A． B．C． D．【答案】D；【詳解】因為，因為，因為，，所以，；【說明】本題考查了柱體體積的有關(guān)計算、球的體積的有關(guān)計算、立體幾何新定義；考查了類比推理。25．如圖，在直角梯形中，，，，為的中點，若，則的值（

）A． B． C．2 D．【提示】建立平面直角坐標系，由，利用向量相等求解.【答案】B；【解析】建立如圖所示平面直角坐標系：則，所以，因為，所以，則，解得，所以，故選：B【說明】本題考查了平面向量線性運算的坐標表示、由向量線性運算結(jié)果求參數(shù)、向量坐標的線性運算解決幾何問題；26．已知函數(shù)，其中，且．給出下列三個結(jié)論：①函數(shù)是單調(diào)函數(shù)；②當時，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；③當時，方程根的個數(shù)可能是1或2．其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【提示】討論與時，函數(shù)是否單調(diào)可判斷①；把函數(shù)圖象的對稱問題轉(zhuǎn)化為點的對稱問題即可證明②；直線與的位置關(guān)系即可判斷③．【答案】D；【解析】當時，在單調(diào)遞減，且，在單調(diào)遞減，且，故在上單調(diào)遞減；當時，在單調(diào)遞增，且，在單調(diào)遞增，且，故在上單調(diào)遞增；則①正確；設(shè)為圖象上的任一點，不妨設(shè)，因為則點關(guān)于直線對稱的對稱點為由得，所以點符合所以當時，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；故②正確；當時，令若，則；若，則化為．設(shè)，則，所以在點處的切線的斜率為當時，直線與相切，方程根的個數(shù)是1，當且時，直線與相交，方程根的個數(shù)是2，則③正確．故選：D【說明】分段函數(shù)的性質(zhì)及應用、求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)三、解答題：本大題共2小題，共22分，解答時，應寫成必要的文字說明、證明過程或驗算步驟27、（本題滿分10分）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，，.

（1）求三棱錐外接球的表面積；（2）求直線與平面所成角的正弦值；【提示】（1）將三棱錐補形為長、寬、高分別為的長方體，得到三棱錐外接球即為長方體的外接球即可求解；（2）設(shè)點O到平面的距離為d，由求出d即可由求解或建立空間直角坐標系，利用空間向量解之；【答案】（1）；（2）；【解析】（1）由題可將三棱錐補形為長、寬、高分別為的長方體，

所以三棱錐外接球即為長方體的外接球，所以所求外接球半徑為，三棱錐外接球的表面積為；（2）方法1：設(shè)點O到平面的距離為d，，所以，，則由，所以直線與平面所成角的正弦值為.方法2：由題意兩兩垂直，所以以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則根據(jù)題意可得：，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，所以平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.【說明】本題考查求球的表面積的有關(guān)計