體系搭建體系搭建知識框架二、知識概念1、平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于任意這一平面內(nèi)的任意一向量，有且只有一對實數(shù)，使。（我們把不共線的向量叫做表示平面內(nèi)所有向量的一組基底）2、平面向量的坐標表示把一個向量分解成兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．在直角坐標系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)，使得，則把有序數(shù)對(，)叫做向量a的坐標．記作，此式叫做向量的坐標表示．在直角坐標平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．3、平面向量的坐標運算向量的加、減法若，，則，．即兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和(差)實數(shù)與向量的積若，則，即實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標向量的坐標已知向量的起點，終點，則，即向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標4、兩個向量共線的坐標表示設(shè)，，其中.則??5、兩個向量垂直的坐標表示設(shè)，，.則?例題分析例題分析考點1平面向量基本定理【例1】．如圖，在△ABC中，M為BC上不同于B，C的任意一點，點N滿足，若，則x2+y2的最小值為．變式訓(xùn)練【變1-1】（多選）．如果，平面a內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中正確的是（）A．λ+μ（λ，μ∈R）可以表示平面a內(nèi)的所有向量 B．對于平面a內(nèi)任一同量a，使a＝λ+μ的實數(shù)對（λ，μ）有無窮多個 C．若向量λ1+μ1與λ2+μ2共線，則有且只有一個實數(shù)λ，使得λ1+μ1＝λ（λ2+μ2） D．若存在實數(shù)λ，μ使得λ+μ＝0，則λ＝μ＝0【變1-2】．如圖，在△ABC的邊AB、AC上分別取點M、N，使，BN與CM交于點P，若，，則的值為（）A． B． C． D．6【變1-3】．如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為BC，CA，AB上的點，且CD＝，EC＝，AF＝，設(shè)P為四邊形AEDF內(nèi)一點（P點不在邊界上），若＝，則實數(shù)λ的取值范圍為．考點2平面向量的正交分解及坐標表示【例2】．已知，別是方向與x軸正方向、y軸正方向相同的單位向量，O為坐標原點，設(shè)＝（x2+x+1）﹣（x2﹣x+1）（x∈R），則點A位于第象限．變式訓(xùn)練【變2-1】．如果用，分別表示x軸和y軸正方向上的單位向量，且A（2，3），B（4，2），則可以表示為（）A．2+3 B．4+2 C．2﹣ D．﹣2+考點3平面向量加減運算的坐標表示【例3】．若，則a+b＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2變式訓(xùn)練【變3-1】．已知M（3，﹣2），N（5，﹣1），若，則P點的坐標為（）A．（3，2） B．（3，﹣1） C．（7，0） D．（1，0）【變3-2】．已知向量集合M＝{|＝（1，2）+λ1（3，4），λ1∈R}，N＝{|＝（﹣2，﹣2）+λ2（4，5），λ2∈R}，則M∩N＝．考點4平面向量數(shù)乘運算的坐標表示【例4】．已知向量＝（4，3），＝（﹣3，﹣1），點A（﹣1，﹣2）．（1）求線段BD的中點M的坐標；（2）若點P（2，y）滿足＝λ（λ∈R），求y與λ的值．變式訓(xùn)練【變4-1】．已知點O（0，0），A（﹣1，3），B（2，﹣4），．若點P在y軸上，則實數(shù)m的值為（）A． B． C． D．【變4-2】．設(shè)點A（2，0），B（4，2），點P在直線AB上，且||＝2||，則點P的坐標為．實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1．已知向量，，若，則＝（）A． B． C． D．2．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝BC＝CD＝1，E為AD的中點．則下列式子不正確的是（）A． B． C． D．3．向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若＝x+y（x，y∈R），x+y＝（）A．﹣ B． C．﹣4 D．44．已知平面四邊形ABCD滿足＝，平面內(nèi)點E滿足，CD與AE交于點M，若，則等于（）A． B． C． D．5．如圖所示的矩形ABCD中，E，F(xiàn)滿足，為EF的中點，若，則λμ的值為（）A． B． C． D．2（多選）6．如圖，圓O是邊長為2的等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，其與BC邊相切于點D，點M為圓上任意一點，＝x+y（x，y∈R），則2x+y可以取值為（）A． B． C． D．1（多選）7．已知點P為△ABC所在平面內(nèi)一點，且，若E為AC的中點，F(xiàn)為BC的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A．向量與可能平行 B．點P在線段EF上 C． D．S△PAB：S△PAC：S△PBC＝1：2：3（多選）8．已知向量＝（1，1），＝（cosθ，sinθ）（0≤θ≤π）．則下列命題正確的是（）A．若，則θ＝ B．存在θ，使得|+|＝|| C．與共線的單位向量為（，） D．向量與夾角的余弦值范圍是[]9．如圖所示，在同一個平面內(nèi)，向量滿足：與的夾角為α，且與的夾角為45°，若，則＝（）A．1 B． C． D．10．在△OAB中，，，AD，BC的交點為M，過M作動直線l分別交線段AC，BD于E，F(xiàn)兩點．若，（λ，μ＞0），則λ+μ的最小值為（）A． B． C． D．11．若是一組基底，向量，則稱（x，y）為向量在基底下的坐標，現(xiàn)已知向量在基底下的坐標為（﹣2，2），則在另一組基底下的坐標為．12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝b＝2，c＝3，點O為△ABC的外心，若＝+，則λ+μ＝．13．設(shè)O，H分別為斜△ABC的外心與垂心，若＝m（++）（m∈R），則m＝．14．在△ABC中，AB＝AC＝BC，D為BC上一點，E為AD上一點，F(xiàn)為EC上一點，且CD＝2BD，∠BEC＝90°，，，則λ+μ＝．15．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，△ABD是邊長為2的正三角形，P是平面ABCD內(nèi)的動點，，設(shè)，則λ+μ的取值范圍是．16．趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）．類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設(shè)，若，則λ﹣μ的值為．17．已知向量，，||＝1，||＝2，向量，的夾角的正切值為，＝﹣+2，＝k﹣．（1）求向量的模；（2）若⊥，求實數(shù)k的值．18．已知＝（1，0），＝（2，1）．（1）當k為何值時，k﹣與+2共線；（2）若＝2+3，＝+m，且A、B、C三點共線，求m的值．19．如圖，已知點G是△ABC的重心，點P是△GBC內(nèi)一點（包括邊界），設(shè)，．（1）試用，表示，并求；（2）若，求λ+μ的取值范圍．20．如圖，平行四邊形ABCD中，＝，N為線段CD的中點，E為線段MN上的點且＝2．（1）若＝+，求λμ的值；（2）延長MN、AD交于點P，F(xiàn)在線段NP上（包含端點），若＝t+（1﹣t），求t的取值范圍．21．如圖在△AOB中，D是邊OB的中點，C是邊OA上靠近O的三等分點，AD與BC交于M點．設(shè)＝，＝．（1）用，表示；（2）過點M的直線與邊OA，OB分別交于E，F(xiàn)．設(shè)＝p，＝q，求+的值．22．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝c，BC＝a，CA＝b，⊙O的半徑為r．（1）若+2+＝，試求∠BOC的大小；（2）若A為動點，∠BAC＝60°，＝，試